8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 4 8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s 8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO hoje 8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDOs 8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS 8. EDO’s 8.3.1. INTRODUÇÃO Se para calcular y i yxi , usamos apenas yi 1 yxi 1 , então dizemos que o Método é de Passo Um ou de Passo Simples. Porém se usarmos mais valores teremos um Método de Passo Múltiplo. Para PVI’s de primeira ordem temos que yx0 y 0 é uma aproximação inicial para a solução. Problema auto-iniciante. Para Métodos de Passos Múltiplos devemos ter estratégias para as aprox. iniciais. 8. EDO’s 8.3.2. Métodos de Adams-Bashforth Considere a EDO d y y f x, y dx Suponha que exista uma única solução do problema no intervalo de interesse. Suponha que conhecemos aproximações para y (x) em x0 , x1 , x2 , ...., xn e que xi 1 xi h para i 0,1,2....,n 8. EDO’s 8.3.2. Métodos de Adams-Bashforth Os procedimentos do tipo Adams-Bashforth consistem em integrar a EDO d y y f x, y dx de xn até xn1 , ou seja, xn 1 x n y ( x) dx xn 1 x f x, y ( x) dx n y ( x n 1 ) y ( x n ) x n 1 x f x, y ( x) dx n e resolver a integral por quadratura numérica. 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Se aproximarmos a integral utilizando xn , xn1 , xn2 , ...., xnm então temos um método explícito. Vamos aproximar f ( x, y ( x)) por um polinômio p m (x) de grau m , que interpola f ( x, y ( x)) em xn , xn1 , xn2 , ...., xnm y( xn1 ) y( xn ) xn 1 x n pm(x) dx 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Se escolhermos m 3 a função f ( x, y ( x)) será aproximada por p3 ( x) . Chamando f n j f x n j , y n j onde j 0,1,2,3 e x j 1 x j h f ( x, y ( x)) y ( x) p3 ( x) L3 f n3 L2 f n2 L1 f n1 L0 f n onde as formas de Lagrange são dadas por x x0 x x1 ............x xk 1 x xk 1 ...........x xn Lk ( x) xk x0 xk x1 ............xk xk 1 xk xk 1 ...........xk xn 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Então: x xn2 x xn1 x xn 1 x xn2 x xn1 x xn L3 ( x ) 3 h 2h 3h 6h x xn3 x xn1 x xn 1 x xn3 x xn1 x xn L 2 ( x ) 3 h h 2h 2h x x n3 x x n2 x x n 1 L1 ( x) 3 x x n 3 x x n 2 x x n 2h h h 2h x xn3 x xn2 x xn1 1 x xn3 x xn2 x xn1 L0 ( x) 3 3h2hh 6h 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Fazendo a mudança de variáveis x xn x xn s h s h temos que dx h ds e x h s xn . Segue que: x x n3 s 3 h x x n1 s 1 h x x n2 s 2 h x xn s h onde x n3 x n 3h , x n2 x n 2h ... 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Através da mudança de variáveis L3 1 1 x xn2 x xn1 x xn s 2s 1s 3 6 6h 1 x xn3 x xn1 x xn s 3s 1s L 2 ( x ) 3 2 2h 1 1 1 s 3s 2s L1 ( x) 3 x x n 3 x x n 2 x x n 2 2h L0 ( x) 1 6h 1 s 3s 2s 1 x x x x x x n 3 n2 n 1 3 6 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Enfim, y ( x n1 ) y ( x n ) xn 1 xn xn 1 x n p3(x) dx 1 h p3(x) dx f n 3 s 2s 1s ds 0 6 1 h f n2 s 3s 1s ds 0 2 1 h f n 1 s 3s 2s ds 0 2 1 h fn s 3s 2s 1 ds 0 6 onde 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Enfim, xn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) p3(x) dx xn h 55 f n 59 f n1 37 f n2 9 f n3 y n 1 y n 24 Neste ponto fica claro que temos um método de passos múltiplos explícito, pois para calcular y n1 utilizamos f n , f n1 , f n2 , f n3 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Sobre os erros do Método de AdamsBashforth Explícito Da teoria de interpolação, quando interpolamos f por um polinômio de grau m=3, o erro cometido é localmente de grau 5. 1 e( x n1 ) 4! h5 4! xn 1 x x xn3 x xn2 x xn1 x xn f iv x , y x dx n xn 1 x n s 3s 2s 2s f iv x , y x dx 8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos Se aproximarmos a integral utilizando xn1 , xn , xn1 , ...., xnm então temos um método implícito. Vamos aproximar f ( x, y ( x)) por um polinômio pm1 ( x) , onde m 2 , que interpola f ( x, y ( x)) em xn1 , xn , xn1 , xn2 . y n 1 y n yn xn 1 x p3 ( x) dx n x L2 ( x) f n2 L1 ( x) f n1 L0 ( x) f n L1 ( x) f n1 xn 1 n 8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos onde: x xn1 x xn x xn1 1 x xn1 x xn x xn1 L 2 ( x ) 3 3h 2h h 6h x xn2 x xn x xn1 1 x xn2 x xn x xn1 L1 ( x) 3 h h 2h 2h x xn2 x xn1 x x n1 1 L0 ( x) 3 x x n2 x x n1 x x n1 2h h h 2h x xn2 x xn1 x xn 1 x xn2 x xn1 x xn L1 ( x) 3 3h2hh 6h 8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos De modo análogo, fazendo x xn x xn s h s h temos que dx h ds e x h s xn . Segue que: x x n2 s 2 h x x n1 s 1 h x x n1 s 1 h x xn s h 8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos Através da mudança de variáveis 1 1 s 2 s s 1 L ( x ) s 1 s s 1 1 L2 2 6 1 1 s 2s 1s 1 L1 ( x) s 2s 1 s L0 ( x) 2 6 Enfim, h y n1 y n 9 f n1 19 f n 5 f n1 f n2 24 que é um método de passos múltiplos implícito. 8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos Sobre os erros do Método de AdamsBashforth Implícito Da teoria de interpolação, quando interpolamos f por um polinômio de grau m=3, o erro cometido é localmente de grau 5. 1 e( x n1 ) 4! h5 4! xn 1 x x xn2 x xn1 x xn x xn1 f iv x , y x dx n xn 1 x n s 2s 1s s 1 f iv x , y x dx 8. EDO’s 8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo Exemplo 1: Para o PVI dado, estime y (1) . PVI: y 0.04 y com y(0) 1000 Pelo Método de Runge-Kutta com: • • • • 1ª ordem y (1) 1040.604 2ª ordem y (1) 1040.8101 3ª ordem y (1) 1040.8107 4ª ordem y (1) 1040.8107 Com h=0.25 Com h=1 8. EDO’s 8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo Exemplo 1: Para o PVI dado, estime y (1) . PVI: y 0.04 y com y(0) 1000 Utilizando h 0.2 e os quatro dados iniciais y 0 ( x0 0) 1000 y 2 ( x 2 0.4) 1016.1287 y1 ( x1 0.2) 1008.0321 , , y 3 ( x3 0.6) 1024.2903 8. EDO’s 8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo xn yn f n f ( xn , y n ) y n sol. exata 0.0 1000 40 1000 0.2 1008.0321 40.321284 1008.0321 0.4 1016.1287 40.645148 1016.1287 0.6 1024.2903 40.971612 1024.2903 0.8 1032.517487 41.30069948 1.0 1040.810756 Roxo: 4 dados iniciais 1032.5175 1040.810774 Laranja: Valores calculados