Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
MA23 - Geometria Analı́tica
Unidade 2 - Vetores no Plano
Exercı́cios recomendados
1) Prove que:
(a) Os vetores |u|v e |v|u tem a mesma norma.
(b) Se |u| = |v|, então os vetores u − v e u + v são perpendiculares.
2) Usando vetores, normas e produto interno, prove que a soma dos quadrados
dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é o dobro da soma dos
quadrados dos comprimentos dos lados. Isto é, vale a lei do paralelogramo:
|u + v|2 + |u − v|2 = 2|u|2 + 2|v|2 .
Obtenha o teorema de Pitágoras aplicando a lei do paralelogramo num quadrado.
3) Prove que |u ± v| ≥ ||u| − |v||, para quaisquer vetores u e v do plano.
4) Para quais valores de a os pontos A = (2, 1), B = (a + 1, 2) e C = (−3, −1)
são vértices de um triângulo ?
5) Prove que se os vértices de um triângulo são pontos cujas coordenadas são
números racionais, então a área deste triângulo é um número racional.
−→
−→
6) Sejam u = AB e v = AC 6= 0 vetores representados por segmentos orientados
com a mesma origem. Seja B 0 o pé da perpendicular baixada do ponto B
sobre a reta que contém os pontos A e C. A projeção do vetor u na direção
−−→
v.
do vetor v é o vetor P rojv (u) = AB 0 . Mostre que P rojv (u) = hu,vi
|v|2
7) Sejam u = (1, 3), v = (−1, 2) e w = (6, −2).
(a) Determine a projeção do vetor u na direção dos vetores v e w.
(b) Determine o vetor unitário que bissecta o ângulo entre v e w.
8) Dados a e b números reais positivos, mostre que 4 ≤ ( a1 + 1b )(a + b).
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