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Geometria Analı́tica e Sistemas Lineares
Tutoria - Lista de Exercı́cios no 02
1). Considere os vetores U = (2, a, −1), V = (3, 1, −2) e W = (2a − 1, −2, 4). Determine a de modo
que U.V = (U + V ).(V + W ).
2). Dados os vetores U = (2, 1, α), V = (α + 2, −5, 2) e W = (2α, 8, α), determine o valor de α para
que o vetor U + V seja ortogonal a W − U .
3). Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por U = (m, −3, 1) e
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V = (1, −2, 2) seja igual a 26 2 .
√
√
4). Considere o vetor V = (5, −3, 2). Seja W um vetor de norma igual a 3 e que forma um ângulo
π
de rad com o vetor V . Calcule o valor do seguinte produto escalar:
(4V − W ).(W − 3V ).
6
√
√
5). Considere os vetores V = (3, 0, −4) e W = (3 3, 5, −4 3). Encontre os vetores de norma igual
a 5 que sejam ortogonais aos vetores V e W simultaneamente.
6). Seja U um vetor paralelo ao vetor W do exercı́cio anterior e que forma uma ângulo obtuso com o
vetor V do exercı́cio anterior. Sabendo que o paralelogramo determinado por U e V tem área igual
a 100 u.a., encontre o vetor U . Justifique sua resposta.
7). Considere vetores não nulos no espaço U , V e W . Sabendo que U × V = (2, −2, 1), W é um vetor
paralelo ao vetor (3, 2, −1) e que o volume do paralelepı́pedo determinado por U , V e W é 6 u.v.,
encontre:
a). os possı́veis vetores ”W”que satisfazem as condições acima.
b). a área do paralelogramo determinado pelos vetores 2U e V .
8). Sejam A = (2, 1, 3), B = (m, 3, 5) e C = (0, 4, 1) vértices de um triângulo.
a). Para que valor de m o triângulo é retângulo em A?
b). Calcule a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC. (use o m encontrado em
(a)).
2
−→
−→
9). Considere um triângulo ABC onde AB = (−2, −2, 0) e AC = (1, −1, −3). Se P é um ponto
2
sobre o segmento BC que divide tal segmento em duas partes tais que BP = BC, encontre as
3
−→
componentes do vetor AP .
−→
−−→
10). Num triângulo ABC, seja M o ponto médio do lado BC. Se AB = (3, 1, 2) e AM = (−1, 0, 1),
−−→ −
→
encontre as componentes dos vetores BC e Ac.
11). Mostre que, para quaisquer vetores U e V , o vetor W1 =k V k U + k U k V é ortogonal ao vetor
W2 =k V k U − k U k V .
12). Calcule k 3U + 2V k2 , sabendo que k U k= 5, k V k= 10 e o ângulo entre U e V mede
2π
rad.
3
13). Calcular o valor de m de modo que o ângulo entre o vetores U = (1, −2, 1) e V = (−2, 1, m + 1)
seja de 120o .