Lista 1
Espaços Vetoriais, Subspaços
Funcionais Lineares, Axioma da Escolha, Base
Exercícios
Exercício 1. Em cada um dos próximos items determine se são espaços vetoriais ou não.
1. O conjunto de todas as funções racionais.
2. O conjunto de todas as funções f /g com o grau de f 6 o grau de g.
3. O conjunto das funções reais com f (0) = f (1).
4. Todas as funções pares
5. Todas as funções impares
6. Todas as funções limitadas
7. Todas as funções crescentes
8. Todas as funções tais que lim x→∞ f (x) = 0
9. Todas as funções integráveis em [0, 1] com
R
1
0
f (x) dx = 0
10. Todas as funções integráveis em [0, 1] com
R
1
0
f (x) dx > 0
11. O conjunto das sequências reais limitadas.
12. O conjunto das sequências reais convergentes
13. O conjunto de vetores (x, y, z) em R 3 que satisfazem x=0
14. O conjunto de vetores (x, y, z) em R 3 que satisfazem x=0 ou y=0
15. O conjunto de vetores (x, y, z) em R 3 que satisfazem 2x+4y-1=0
16. O conjunto de todos os vetores em R n que são combinação linear de dois vetores u e v.
Exercício 2. Dado C[ − 1, 1] o espaço das funções contínuas em [ − 1, 1]. Quais dos seguintes funcionais são
lineares
1. f →
R
1
−1
f (x)dx
2. f →
R
1
−1
f 2(x)dx
3. f → f (0) (delta de Dirac)
4. f →
R
1
−1
f (x)g(x)dx com g(x) uma função contínua fixa.
Exercício 3. Dado K ∞ o conjunto de todas as sequências com ai ǫK com adição coordenada a coordenada e
multiplicação por escalares coordenada a coordenada. Quais dos seguintes conjuntos são subspaços:
1. O conjunto das sêquencias com apenas um número finito de coordenadas diferentes de zero.
1
2. Nenhuma coordenada igual a 1
Nos dois próximos itens K = R
3. O conjunto das séries de Cauchy, ou seja, as sequencias tais que dado ǫ > 0 existe N > 0 tal que
|xn − xm | < ǫ para n, m > N .
4. As séries tais que
P∞
n=1
|an | < ∞
5. As sêquencias limitadas.
Exercício 4. Dado K um corpo finito com q elementos. Quantos elementos possui o espaço vetorial K n.
Pn
Quantas soluçãoes possui a equação
i=1 aixi=0?
Exercício 5. Pn(x) o conjunto de todos os polinômios com coeficientes num corpo F de grau menor igual a
n. Mostre que:
a) 1, x, ...xn é uma base para L. As coordenadas do polinômio nessa base são os seus coeficientes.
b) 1, x − a, (x − a)2, .(x − a)n uma base de L. Se char(K) = p > n então as coordenadas do polinômio
nessa base são {f (a), f ′(a),
f ′′(a)
,
2
f n!(a) }
n
Exercício 6. Dado V um espaço vetorial sobre F . Prove que:
1. 0v = 0 para todo v ∈ V . Descreva os diferentes significados de 0 nessa equação.
2. Se rv = 0 então ou r = 0 ou v = 0.
3. Se rv = v então ou v = 0 ou r = 1.
Exercício 7. Prove que a intersecção de subspaços vetoriais é um subspaço vetorial.
Exercício 8.
1. Prove que os únicos subspaços de R, são o próprio R e o subspaço nulo
2. Prove que todos os subspaços de R 2 são o próprio R 2 , o subespaço nulo ou o subspaço consitindo de
um múltiplo de um vetor fixo em R 2 .
3. Quais são todos os subspaços de R 3?
Exercício 9. Dados W1 e W2 dois subespaços de um espaço vetorial V tal que a união deles seja subespaço.
Prove que W1 ⊂ W2 ou que W2 ⊂ W1.
2