15/06/2015 5a Lista de GAAL-COMPUTAÇÃO, LICENCIATURA Geometria Analı́tica 1. Obtenha 2⃗u e k⃗v sendo ⃗u = (1, 2, −3) e ⃗v = (2, −4, 5). 2. Calcule o módulo de ⃗v = (−5, 2, 4). Verifique se o vetor é unitário. Caso o vetor não seja unitário, calcule o seu versor e verifique qual o valor do módulo do versor. 3. Obtenha o módulo do vetor (1, −1). Verifique se o vetor obtido é unitário. 4. Calcule o produto escalar entre s vetores ⃗u = (−1, 2, 5) e ⃗v = (−1, 4, 10). Verifique se esta operação é comutativa. 5. Ache x de modo que ⃗u seja perpendicular a ⃗v , em que ⃗u = (x, 0, 3) e ⃗v = (1, x, 3). 6. Ache ⃗u ortogonal a ⃗v = (4, −1, 5) e a w ⃗ = (1, −2, 3) e que satisfaz ⃗u · (1, 1, 1) = −1. 7. Prove que ABC é um triãngulo retângulo, sendo A(3, −2, 8), B(0, 0, 2) e C(−3, −5, 10). 8. Ache a medida em radianos do ângulo entre ⃗u = (1, 0, 1) e ⃗v = (−2, 10, 2). √ 9. Determine o valor de a para que seja 60o o ângulo entre os vetores ⃗u = (1, a, 3) e ⃗k. 10. Calcule a distância entre dois pontos A1 (x1 , y1 , z1 ) e A2 (x2 , y2 , z2 ). 11. Sabendo que a distância entre os pontos A(−1, 2, 3) e B(1, −1, m) é 7, calcule m. 12. Sabendo que a distância entre os pontos A(2, x, 3) e B(1, −1, m) é 8, calcule x. 13. Calcule o produto vetorial dos vetores ⃗u × ⃗v e de ⃗v × ⃗u em que ⃗u = 5⃗i + 4⃗j + 3⃗k e ⃗v = ⃗i + ⃗k. 14. Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ⃗u = 2⃗i − 6⃗j + 3⃗k e ⃗v = 4⃗i + 3⃗j + ⃗k. 15. Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ⃗u = (1, 3, −3) e ⃗v = (4, 2, 5). 16. Sejam os vetores ⃗u = 3⃗i +⃗j − ⃗k e ⃗v = a⃗i + 2⃗k, calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determindo por ⃗u e ⃗v seja 2. 17. Sejam os vetores ⃗u = 3⃗i−⃗j +2⃗k e ⃗v = (1, a, 3), calcule o valor de a para que a área do paralelogramo determindo √ por ⃗u e ⃗v seja 2 6. 18. Calcule o produto vetorial entre os vetores ⃗u = (−1, 2, 5) e ⃗v = (−1, 4, 10). 19. Dados os vetores ⃗u = (−2, 1, 2), ⃗v = (1, −1, 1) e w ⃗ = (1, 1, 1), determine: a) (⃗u, ⃗v , w); ⃗ b) (w, ⃗ ⃗u, ⃗v ); c) (⃗u, w, ⃗ ⃗v ). 20. Qual o valor de x para que os vetores ⃗u = (3, x, −2), ⃗v = (3, 2, 0) e w ⃗ = (1, −3, 1) sejam coplanares? 21. Mostre que os pontos A(4, 5, 1), B(−4, 4, 4), C(0, −1, −1) e D1 = (3, 9, 4) são coplanares. 22. Mostre que os pontos A(1, 2, 4), B(−1, 0, −2), C(0, 2, 2) e D1 = (−2, 1, −3) estão no mesmo plano. 23. Qual deve ser o valor de m para que os vetores ⃗u = (m, 2, −1), ⃗v = (1, −1, 3) e w ⃗ = (0, −2, 4) sejam coplanares? 24. Calcular a área do triângulo de vértices: a) A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1), C(0, 1, 3) b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1), C(1, 2, 0) c) A(2, 3, −1), B(3, 1, −2), C(−1, 0, 2) 25. Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determiados pelos vetores 2⃗u e −⃗v , sendo ⃗u = (2, −1, 0) e ⃗v = (1, −3, 2). 26. Determinar o vetor projeção do vetor ⃗u = (1, 2, −3) na direção de ⃗v = (2, 1, −2). 27. Qual o comprimento do vetor projeção de ⃗u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x? 28. Os vetores ⃗u = (2, −1, −3), ⃗v = (−1, 1, −4) e w ⃗ = (m + 1, m, −1) determinam um paralelepı́pedo de volume 42. Calcular m. 29. Dados os pontos A(1, −2, 3), B(2, −1, −4), C(0, 2, 0) e D1 = (−1, m, 1) determinar o valor de m para que seja −−→ −→ −−→ de 20 unidades de volume o volume do paralelepı́pedo determinado pelos vetores AB, AC, AD. 30. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados: a) A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) e D1 = (4, 2, 7); b) A(−1, 3, 2), B(0, 1, −1), C(−2, 0, 1) e D1 = (1, −2, 0)