Prova Final em Álgebra Linear: 18.06
21 de Dezembro de 2000
9:00 – 12:00
Professor Strang
Seu nome é:___________________________ Classificação
1
2
3
4
5
6
7
8
Faça um círculo em sua recitação:
1)
M2
2-131
Holm
2-181
3-3665
tsh@math
2)
M2
2-132
Dumitriu
2-333
3-7826
dumitriu@math
3)
M3
2-131
Holm
2-181
3-3665
tsh@math
4)
T10
2-132
Ardila
2-333
3-7826
fardila@math
5)
T10
2-131
Czyz
2-342
3-7578
czyz@math
6)
T11
2-131
Bauer
2-229
3-1589
bauer@math
7)
T11
2-132
Ardila
2-333
3-7826
fardila@math
8)
T12
2-132
Czyz
2-342
3-7578
czyz@math
9)
T12
2-131
Bauer
2-229
3-1589
bauer@math
10)
T1
2-132
Ingerman
2-372
3-4344
ingerman@math
11)
T1
2-131
Nave
2-251
3-4097
nave@math
12)
T2
2-132
Ingerman
2-372
3-4344
ingerman@math
13)
T2
1-150
Nave
2-251
3-4097
nave@math
Responda às oito questões nestas folhas (25 partes, 4 pontos cada). Esta é uma prova tipo
quebra-cabeça. Não é permitido o uso de calculadoras (por questão de justiça com todos os
participantes), pois elas não são necessárias. Somente seu instrutor tem conhecimento da
classificação. Felicidades para o verão. Nossos agradecimentos por ter escolhido o 18.06. GS
1
(a) Explicar porque os autovetores de A estão ou no espaço de coluna C (A) ou no
espaço nulo N (A) (ou explique porque essa afirmação é falsa).
(b) A partir de A = SËS-1 encontre A matriz de autovalores e a matriz de autovetores para
AT. Como os autovalores de A e de AT se relacionam?
(c) Suponha Ax = 0 e ATy = 2y. Deduza que x é ortogonal a y. Você pode provar isso
diretamente ou usar as idéias do subespaço em (a) ou as matrizes de autovetores em
(b). Responda de maneira clara.
2
2
(a) Suponha que A seja uma matriz simétrica. Se você subtrair primeiro três vezes a
linha 1 da linha 3 e, a seguir, subtrair três vezes a coluna 1 da coluna 3, a matriz B
resultante ainda será simétrica? Sim ou Não necessariamente, com uma razão.
(b) Crie uma matriz definida simétrica positiva (mas não diagonal) com autovalores
1,2,4.
(c) Crie uma matriz não simétrica (se possível) com aqueles autovalores. Crie uma
matriz de classificação um (se possível) com esses autovalores.
3
3
Gram-Schmidt é A = QR (comece da retangular A com colunas independentes, produza Q
com colunas ortogonais e triangular superior R). O problema é produzir o mesmo Q e R a
partir de eliminação ordinária (simétrica) em ATA, o que resulta em
(a) Como você sabe que os pivôs são positivos, de modo que
forneça números
reais?
(b) A partir de ATA = RTR mostre que a matriz Q = AR-1 tem colunas ortonormais (qual é
o teste?). Então teremos A = QR.
(c) Aplique Gram-Schmidt a esses vetores a1 e a2 produzindo q1 e q2. Registre seu
resultado como QR:
4
4
Os números de Fibonacci F0, F1, F2, F3, F4, ... são 0, 1, 1, 2, 3,... e obedecem à regra
Fk+2 = Fk+1 + Fk. Em forma de matriz isto fica
ou
Os autovalores desta matriz A especial serão chamados de a e b.
(a) Que equação quadrática ligada a A tem as soluções (as raízes) a e b?
(b) Encontre uma matriz que tenha os autovalores a2 e b2. Que equação quadrática tem as
soluções a2 e b2?
(c) Se você calcular diretamente A4 você terá
Faça uma suposição nas entradas de Ak, envolvendo os números de Fibonacci. A
seguir, multiplique por A para mostrar porque sua suposição está correta. Qual é a
determinante de Ak (não é uma pergunta difícil!)?
5
5
Suponha que A seja 3 por 4 e sua formação escalonada reduzida de linha seja R:
(a) Os quatro subespaços associados com A original são N(A), C(A), N(AT) e C(AT).
Forneça a dimensão de cada subespaço e, se possível, forneça uma base.
(b) Encontre a solução completa (quando existe uma solução?) para as equações
(c) Encontre uma matriz A com entradas diferentes de zero (se possível) cuja formação
escalonada reduzida de linha seja o mesmo R.
6
6
Suponha A como uma matriz 3 por 3 e que você conheça as três saídas y1 = Ax1 , y2 = Ax2
e y3 = Ax3 a partir dos três vetores independentes de entrada x1, x2, x3.
(a) Encontre a matriz A usando esta sugestão: Coloque os vetores x1, x2, x3 nas colunas
de uma matriz X e multiplique AX. Porque eu precisei que os x fossem
independentes?
(b) Sob que condições em A as saídas y1, y2, y3 serão uma base para R3? Explique sua
resposta.
(c) Se x1, x2, x3 é a base de entrada e y1, y2, y3 é a base de saída, qual é a matriz M que
representa essa mesma transformação linear (definida por T (x1) = y1, T(x2) = y2,
T(x3) = y3)?
7
7
(a) Encontre os autovalores da matriz antidiagonal
(b) Encontre tantos autovetores quanto possíveis, com as melhores propriedades
possíveis. Há quatro autovetores independentes ? Há quatro autovetores
ortonormais?
(c) Qual é a classificação de A + 2I? Qual é a determinante de A + 2I?
8
8
(a) Se UΣVT é a decomposição de valor único de A (m por n) dê a fórmula para a melhor
solução em quadrados mínimos
para Ax = b. (Simplifique sua fórmula o mais
possível).
(b) Registre as equações para que a linha reta b = C + Dt passe por todos os quatro
pontos (t1, b1), (t2, b2), (t3, b3), (t4, b4). Esses quatro pontos ficam em uma linha desde
que o vetor b = (b1, b2, b3, b4) fique em ____________________________________.
(c) Suponha que S seja o subespaço alcançado pelas colunas de alguma matriz A m por
n. Dê a fórmula para a matriz de projeção P que projete cada vetor em Rm no
subespaço S. Explique de onde vem essa fórmula e qualquer condição em A para
que ela esteja correta.
(d) Suponha que x e y estejam ambos no espaço de linha de uma matriz A, e Ax = Ay.
Mostre que x – y está no espaço nulo de A. Então, prove que x = y.
9