Matemática / Estatística
REDE DOCTUM DE ENSINO
CURSO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS
Prof. REGINALDO NASCIMENTO ROCHA
www.professorreginaldo.com
Matemática / Estatística
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
a) 15.( 5 )
b) 150÷30
c) Raiz quadrada de 81
d) (- 12).(- 3)
f) 4. (-15)
g) (-10) ÷ (2)
h) 25 ÷ (-5)
i) (-100) ÷ (-20)
k) (15 ÷ 3) . (- 2) - 20 + 10
L) 2 . 4 - 10 - 38
m) (23 -30) . (0) n) (0) ÷ 100
e) (-5).( 30)
j) 12 . (- 5) . (-3)
0) 25 ÷ 0
p) Um menino tinha 100 bolinhas. Ele decidiu fazer as seguintes operações: vendeu 1/4 do total de 100 bolinhas; deu de
presente 1/5 do total de 100 bolinhas ao seu irmão. Após essas operações, ele decidiu ficar com 28 bolinhas e dividir o
restante entre três amigos. Com quantas bolinhas cada amigo ficou?
q) Uma caixa d'água de 5.000 litros foi preenchida com 2/3 de água. Uma outra caixa d'água de 10.000 litros foi
preenchida com 3/5 de água. Qual a quantidade total de água usada nas duas caixas?
r) Quanto vale 20% de 100?
s) Quanto vale 35% de 160?
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Chamamos equação do 1º grau toda equação do tipo: ax + b = 0 , em que “x” é a variável e “a” e “b” são coeficientes reais.
Exemplo: Na equação de 1º Grau -2x + 3 = 0, o valor do coeficiente “a” será sempre aquele que acompanha o “X”, e o
valor do coeficiente “b” será o número que aparece sozinho. Quando não existir esse número sozinho é porque ele vale
“zero”. Assim, no exemplo dado:
a=-2 e b=3
Exercícios: Identifique os coeficientes a e b das equações abaixo:
a) 8x – 240 = 0
b) 5x + 10 = 0 c) - 3x = 0 d) x + 12 = 0
Matemática / Estatística
RAIZ DA EQUAÇÃO DE 1º GRAU
Considere a equação do 1º grau 6x - 72 = 0. Vejamos o que acontece quando substituímos a variável “x” pelos valores 2, 10,
e 12:
X = 2 => 6x - 72 = 0 => 6. 2 - 72 = 0 => 12 – 72 = 0 = > - 60 = 0 (falso)
X = 10 => 6x - 72 = 0 => 6. 10 - 72 = 0 => 60 – 72 = 0 = > – 12 = 0 (falso)
X = 12 => 6x - 72 = 0 => 6. 12 - 72 = 0 => 72 – 72 = 0 = > 0 = 0 (verdadeiro)
Note que, para x = 12 a equação transforma-se numa sentença verdadeira. O valor 12 é chamado raiz da equação. Logo,
Raiz de uma equação de 1º grau é o número real que transforma essa equação numa sentença matemática verdadeira.
Exercícios: Ache as raízes das equações seguintes:
a) x – 6 = 0
b) 5x + 20 = 0
c) – 6x + 30 = 0
d) x + 6 = - 2x
e) 21x - 42 = 0
f) 7x + 12 = x + 24
g) - 6x + 6 = - 5x
h) x – 6 = - 3x + 2
i) x – 2 = - 2
j) 8x + 12 = 12
FUNÇÃO DE 1º GRAU:
Chama-se Função de 1º grau toda função do tipo f(x) = ax + b . A nomenclatura f(x) é comumente chamada de “y”. O gráfico
de uma função de 1º grau é uma reta.
Veja o seguinte exemplo: sabe-se que uma bactéria, ao entrar no organismo humano, se multiplica segundo a seguinte
fórmula: y = 2x + 1. Sendo “y” o número de bactérias e “x” o número de dias em que ela, e sua descendência, permanece no
organismo. Pede-se:
a) No décimo dia, quantas bactérias existirão?
b) Construa o gráfico da evolução da quantidade de bactérias.
Matemática / Estatística
FUNÇÃO DE 1º GRAU:
Para se fazer o gráfico de uma função de 1º Grau siga as seguintes dicas:
1) Deve-se escolher valores para “x”
2) Depois substituir os valores escolhidos para “x” na função y = 2x + 1
3) Para cada “x” escolhido será achado um “y” correspondente, formando “pontos” de um gráfico.
4) Esses pontos “x” e “y” devem ser marcados e interligados no gráfico, onde “x” é a abscissa (linha horizontal) e “y” é a
ordenada (linha vertical).
- EXERCÍCIOS: FAÇA O GRÁFICO DAS FUNÇÕES DE 1º GRAU SEGUINTES:
a) y = x + 3
b) y = 3x
c) y = x
- RESOLVA OS PROBLEMAS SOBRE FUNÇÃO DE 1º GRAU:
- Uma árvore cresce segundo a função de 1º grau seguinte: y = 2x, onde “y” representa o tamanho (altura) da árvore em
metros e “x” representa o tempo em anos. Pede-se:
a) Qual será o tamanho da árvore após 12 anos?
b) Depois de quantos anos a árvore terá atingido 30 metros de altura?
- Um vírus, ao se infiltrar no corpo humano, se multiplica com alta velocidade, segundo a fórmula y = 4x + 1. Sendo “y” o
número de vírus e “x” o número de dias que o vírus permanece no organismo, Pede-se:
a) Qual a quantidade de vírus estará presente no organismo após 75 dias?
b) Após 1 ano (365 dias), qual a quantidade de vírus no organismo?
Matemática / Estatística
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Chamamos equação do 2º grau toda equação do tipo: ax2 + bx + c = 0 , em que “x” é a variável e “a”, “b” e “c” são coeficientes
reais, com a # 0.
Exercícios: Identifique os coeficientes “a”, “b” e “c” das equações abaixo:
a) x2 + 8x – 240 = 0
b) 3x2 + 5x + 10 = 0 c) - 3x2 - 2x = 0 d) 5x2 + 12 = 0
RAÍZES DA EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Raiz de uma equação de 2º grau é o número real que transforma essa equação numa sentença matemática verdadeira. Mas
como achar essas raízes?
-Segue a fórmula de Bhaskara:
∆= b2 - 4ac
-Seguem as fórmulas para achar as raízes:
REGRAS:
Se ∆ > 0, então existem duas raízes para o problema.
Se ∆ = 0, então existe apenas uma raiz para o problema.
Se ∆ < 0, então não existem raízes para o problema.
Exercícios: Ache as raízes das equações de 2º grau seguintes:
a) x² + x – 6 = 0
b) 2x² + 5x + 2 = 0
c) x² – 6x + 5 = 0
d) 5x² + 6 = 0
e) X² + 8x + 12= 0
Matemática / Estatística
Os testes estatísticos são utilizados para:
¤ Comparar amostras
(saber se houve modificação dos grupos inicialmente
semelhantes após o início da intervenção)
¤ Detectar variáveis interferentes
¤ Analisar se o tratamento depende de outras
variáveis (peso, idade, sexo)
Margotto, PR (ESCS)
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Matemática / Estatística
A ciência não é um conhecimento definitivo sobre a
realidade, mas é um conhecimento hipotético que
pode ser questionado e corrigido.
Ensinar ciências não significa apenas descrever fatos,
anunciar leis e apresentar novas descobertas, mas
Ensinar o método científico
Maneira crítica e racional de
buscar conhecimento: Método
Indutivo; Dedutivo;
Descritivo.
Margotto, PR (ESCS)
Vieira S., 1991.
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Matemática / Estatística
-
Variáveis (dados):
- Qualitativas :(diferentes categorias sem valores numéricos):
-
-
Quantitativos ou Contínuos: (dados expressos por nº): idade,
altura, peso, renda familiar
População e Amostra:
- População: Conj. de elementos com determinada característica
- Amostra:
Subconjunto com menor nº de elementos
- Independentes: grupo selecionados com tratamento distinto
- Dependentes: para cada elemento do grupo tratado existe
um grupo controle semelhante (sexo, idade, etc)
Matemática / Estatística
Nascidos vivos na Maternidade “X” segundo o ano de registro
Título
Cabeçalho (separado do corpo por um traço horizontal)
Ano de Registro
1998 (1)
Freqüência
8328
Freqüência relativa
32,88 (8828/25494)
1999 (1)
8214
32,22
2000 (1)
8898
34,90
Coluna indicadora
Total
25494
100
Fonte: Margotto, PR (2001)
Nota: dados retirados do livro da sala de parto
(1): os RN < 500g não foram incluídos.
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Matemática / Estatística
Tabela de Contingência ou de Dupla Entrada
(cada entrada é relativa a um dos fatores)
Gestantes sem pré-natal/gestantes com pré-natal
e mortalidade perinatal
Fator
Mortalidade Perinatal
Total
Sim
Não
Gestantes sem pré-natal
55
833
938
Gestantes com pré-natal
156
6720
6876
Permite calcular o risco, a freqüência (incidência) entre expostos e não
expostos a um determinado fator (será discutido adiante).
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INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
05
COLETA E APRESENTAÇÃO DE DADOS:
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
GRÁFICOS PARA APRESENTAÇÃO DE DADOS:
AMO STRA Nº 20
D E F E IT O S
F R E Q U Ê N C IA
A
28
B
20
C
14
D
13
E
10
F
5
DIRETA
OBSERVAÇÃO
COLETA
06
C Q - 0 1 /0 2/ 99
BA RRA S
C O L UNA S
INDIRETA
30
F
TABELAS
APURAÇÃO E
E
DEFEI TO S
FREQUÊNCIA
25
20
15
D
C
10
B
APRESENTAÇÃO
5
GRÁFICOS
A
0
A
B
C
D
E
F
0
10
D EF EIT O S
E x p o rta ç õ e s b ra s ile ira s
E x p o r t a ç õ e s b r a s ile ir a s
0 3 /9 5
0 3 /9 5
20
30
F REQ U Ê NC IA
L IN H A S
P IZ Z A
30
1344
542
RS
332
ES
285
PN
250
SC
202
1000
500
0
F o n te : S E C E X
20
E
11 %
15
10
D
14 %
5
SP
MG
RS
ES
Es t a d o
PN
A
31 %
F
6%
25
1500
FREQUÊNCI A
MG
US $ m ilh õ e s
SP
SC
B
22 %
0
A
B
C
D
D EF EIT O S
E
F
C
16 %
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
08
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
A Distribuição de freqüência compreende um
Tipos de freqüências:
arranjo tabular dos dados por classes, juntamente
Freqüência absoluta ( fi ) são os valores
com suas freqüências correspondentes.
que realmente representam o número de
10
å fi
=n
fri =
fi
dados de uma classe.
Dados Brutos e Rol:
Freqüência relativa ( fri ) são os valores
das razões entre as freqüências simples e
AMOSTRAS
10
8
3
15
7
5
19
18
12
AMOSTRAS
3
5
7
8
10
12
15
18
19
a freqüência total.
Freqüência acumulada ( Fi ) é o total da
das freqüências de todos os valores infe-
å fi
Fi = å fi
riores ao limite superior do intervalo de
Classes
Intervalos de variação de uma variável.
uma dada classe.
AMOSTRAS
Freqüência acumulada relativa ( Fri ) é
00 |---------- 05
li
05 |---------- 10
10 |---------- 15
15 |---------- 20
Li
a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total.
Fri = Fi
å fi
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
11
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Regras gerais de uma distribuição de freqüências:
12
Histogramas:
1 - Após ordenação dos dados de forma tabulada, deter-
ESTATURADEALUNOS
ESTATURADEALUNOS
minar o maior e menor número e, então, calcular a
2 - Definir o número de classes ( K );
3 - Determinar as freqüências de classe ( fi , fri , Fi e Fri ).
10
100%
8
80%
FREQ.
FREQ.
amplitude total do rol ( R );
6
4
2
Exemplo:
60%
40%
20%
0
0%
158
164
ESTATURAS DE ALUNOS [ cm ]
170
176
182
188
158
ESTATURAS[ cm]
155
158
162
164
165
166
167
168
168
170
170
171
172
173
174
174
175
176
176
177
178
178
180
183
183
184
184
185
188
190
164
170
176
182
188
ESTATURAS[ cm]
Polígonos:
UFES
ESTATURADEALUNOS
ESTATURAS
xi
fi
fri
FI
[ cm ]
10
100%
8
80%
155 |----- 161
158
2
0,067
2
0,067
2
161 |----- 167
164
4
0,133
6
0,200
3
167 |----- 173
170
7
0,233
13
0,433
4
173 |----- 179
176
9
0,300
22
0,733
2
5
179 |----- 185
182
5
0,167
27
0,900
0
185 |----- 191
188
3
0,100
30
1,000
30
1,000
FREQ.
1
6
ESTATURADEALUNOS
Fr i
FREQ.
i
6
4
60%
40%
20%
0%
158
164
170
176
ESTATURAS[ cm]
182
188
158
164
170
176
182
ESTATURAS[ cm]
188
Matemática / Estatística
Tabelas de distribuição de freqüências:
Peso ao nascer de nascidos vivos, em Kg
-
2,522
3,200
1,900
4,100
4,600
3,400
2,720
3,720
3,600
2,400
1,720
3,400
3,125
2,800
3,200
2,700
2,750
1,570
2,250
2,900
3,300
2,450
4,200
3,800
3,220
2,950
2,900
3,400
2,100
2,700
3,000
2,480
2,500
2,400
4,450
2,900
3,725
3,800
3,600
3,120
2,900
3,700
2,890
2,500
2,500
3,400
2,920
2,120
3,110
3,550
2,300
3,200
2,720
3,150
3,520
3,000
2,950
2,700
2,900
2,400
3,100
4,100
3,000
3,150
2,000
3,450
3,200
3,200
3,750
2,800
2,720
3,120
2,780
3,450
3,150
2,700
2,480
2,120
3,155
3,100
3,200
3,300
3,900
2,450
2,150
3,150
2,500
3,200
2,500
2,700
3,300
2,800
2,900
3,200
2,480
-
3,250
2,900
3,200
2,800
2,450
-
Menor peso:
1570g
Maior peso:
4600g
Como transformar está tabela em uma
Tabela de Distribuição de Freqüência ?
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Matemática / Estatística
Tabela de distribuição de freqüências
Definir as faixas de peso (Classes em Kg):
-
PESOS
Ponto Médio
Freqüência
1,5Ι— 2,0
1,75
3
2,0Ι— 2,5
2,25
16
2,5Ι— 3,0
2,75
31
3,0Ι— 3,5
3,25
34
3,5Ι— 4,0
3,75
11
4,0 Ι— 4,5
4,25
4
4,5Ι— 5,0
4,75
1
- Cálculo do R (Amplitude Total = maior valor - menor valor).
-N º de classes: K = Raiz de n (<100) ou K = 1+ 3,222 log n (≥ 100)
no exemplo: K = 1 + 3,222 log 100 = 7,444 (7 ou 8 classes)
- Intervalo de classe (h) = R / K
- Extremos da classe: limites inferior (1,5) e limite superior (2,0)
Obs: pertencem à 1ª classe os Valores  1,5 e inferiores à 2,0 Kg.
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Medidas de Tendência Central
MÉDIA / MODA / MEDIANA
•Para dados não agrupados
(quando se tem uma quantidade pequena de dados)
Peso ao nascer em Kg de 12 RN
2,5
2,0
3,0
4,0
3,0
1,0
1,5
2,5
3,5
1,5
2,5
1,0
Obs: coloque sempre os dados na ordem crescente.
A média: X = 1,0+1,0+1,5+ ... 4,0 = 2,3 ….e a Moda e Mediana?
12
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
26
Relações entre a Média, Moda e Mediana:
Assimetria Positiva ou à direita
Mo
Md
MEDIDAS DE POSIÇÃO
19
Exemplos de Média aritmética para dados agrupados:
1º - Sem intervalo de classe:
COMPOSIÇÃO FAMILIAR
Média
fi
xi fi
0
2
0
1
6
6
2
10
20
3
12
36
4
4
16
34
78
Nº DE MENINOS
Simetria
X =
å x f
å f
i
=
i
i
Média = Md = Mo
78
= 2 , 29
34
2º - Com intervalo de classe:
EST ATU RA DE ALUNO S
Assimetria Negativa ou à esquerda
Média
Md
Mo
i
ES T A T U R AS [ c m ]
xi
fi
x if i
1
1 5 0 | --- -- 1 5 4
152
4
608
2
1 5 4 | --- -- 1 5 8
156
9
14 0 4
3
1 5 8 | --- -- 1 6 2
160
11
17 6 0
4
1 6 2 | --- -- 1 6 6
164
8
13 1 2
5
1 6 6 | --- -- 1 7 0
168
5
840
6
1 7 0 | --- -- 1 7 4
172
3
516
40
64 4 0
X =
å x f
å f
i
i
Margotto, PR (ESCS)
i
=
6440
40
= 161
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
21
A Moda para dados agrupados:
MEDIDAS DE POSIÇÃO
22
Exemplo de Moda para dados agrupados:
EST ATU RA DE ALUNO S
1º Caso: Sem intervalos de classe
Ex.:
CO MP O SIÇÃO F AMI LI AR
M E NIN OS
fi
0
2
1
6
2
12
3
4
4
1
so ma :
25
Ô
Mo = 2
i
ES T A T U R AS [ c m ]
xi
fi
x if i
1
1 5 0 | --- -- 1 5 4
152
4
608
2
1 5 4 | --- -- 1 5 8
156
9
14 0 4
3
1 5 8 | --- -- 1 6 2
160
11
17 6 0
4
1 6 2 | --- -- 1 6 6
164
8
13 1 2
5
1 6 6 | --- -- 1 7 0
168
5
840
6
1 7 0 | --- -- 1 7 4
172
3
516
40
64 4 0
Mo = l * +
D1
´ h*
D1 + D2
2º Caso: Com intervalos de classe
Mobruta
l * + L*
=
2
Mo = l * +
D1
´ h*
D1 + D2
Margotto, PR (ESCS)
D1 = f * - f ( ant ) = 11 - 9 = 2
D1 = f * - f ( ant )
D2 = f * - f ( post )
D2 = f * - f ( post) = 11 - 8 = 3
Mo = 158 +
2
´ 4 = 159,6
2+3
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
24
A Mediana para dados agrupados:
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Exemplo de Mediana para dados agrupados:
i
1º Caso: Sem intervalos de classe
Exemplo.:
CO MP O SI ÇÃO F AMI LI AR
M E NIN OS
fi
0
2
1
6
2
12
3
4
4
1
so ma:
25
å fi = 25 = 12,5
2
2
Þ 3ª classe
Md = 2
25
E STATUR AS
xi
fi
FI
[ cm ]
1
1 5 0 | - - - -- 1 5 4
152
4
4
2
1 5 4 | - - - -- 1 5 8
156
9
13
3
1 5 8 | - - - -- 1 6 2
160
11
24
4
1 6 2 | - - - -- 1 6 6
164
8
32
5
1 6 6 | - - - -- 1 7 0
168
5
37
6
1 7 0 | - - - -- 1 7 4
172
3
40
Ô Md
40
é å fi
ù *
F
ê
( ant ) ú h
2
û
Md = l * + ë
f *
2º Caso: Com intervalos de classe
é å fi
ù *
F
ê
( ant ) ú h
2
û
Md = l * + ë
f*
é 40
ù
13
êë 2
úû 4
Md = 158 +
11
Md = 160 ,5 cm
Margotto, PR (ESCS)
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Matemática / Estatística
MEDIDAS DE DISPERSÃO
29
As medidas de Dispersão ou Variabilidade
MEDIDAS DE DISPERSÃO
31
Desvio-padrão ( S ):
descrevem a diversificação dos valores de uma
Raiz quadrada média dos quadrados dos desvios
variável em torno de um valor de tendência
tomados em relação à média.
central tomado como ponto de comparação.
Dados não - agrupados Dados agrupados
Sejam os Conjuntos:
S =
A = ( 70 , 70 , 70 , 70 , 70 )
x = 70
B = ( 68 , 69 , 70 , 71 , 72 )
C = ( 10 , 50 , 70 , 90 , 130 )
å (x
i - x
n -1
)
2
S =
å f (x
i
i - x
n -1
)
2
Obs.: n - 1 graus de liberdade.
Quando n > 30 , usar somente n no denominador,
Como representar uma população, amostra
ou conjunto de dados ?
ao invés de n-1.
Exemplo:
A = ( 2 , 3 , 6 , 8 , 11)
x = ( 2 + 3 + 6 + 8 +11) / 5 = 6
As medidas de dispersão são:
- Amplitude Total.
- Variância.
- Desvio Médio.
- Desvio Quartílico.
- Desvio Padrão.
- Desvio Percentílico.
- Coeficiente de Variação.
Margotto, PR (ESCS)
S=
(2 - 6)2 + (3 - 6)2 + (6 - 6)2 + (8 - 6)2 + (11- 6)2
5 -1
S=
16+ 9 + 0 + 4 + 25
=
4
54
= 13,5 = 3,67
4
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