OPERAÇÕES COM
CONJUNTOS
Operações com conjuntos
União de conjuntos
A região hachurada
representa A  B.
A = {2, 3, 5, 7}
B = {0, 2, 4, 6}
A  B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Operações com conjuntos
União de conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o
conjunto formado por todos os elementos que
pertencem a A ou a B.
A  B = {xx ϵ A ou x ϵ B}
Operações com conjuntos
Intersecção de conjuntos
A = {xx é um número natural menor que 8}
B = {xx é um número natural par menor que 10}
A região hachurada
representa A  B.
A  B = {0, 2, 4, 6}
Operações com conjuntos
Intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B é
o conjunto formado por todos os elementos que
pertencem a A e a B.
A  B = {xx ϵ A e x ϵ B}
EXEMPLOS
1. Determinar A  B, sabendo que:
A = {xx é um número natural menor que 8} e
B = {xx é um número natural entre 7 e 11}.
Resolução
Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos
A e B. Assim, temos:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {8, 9, 10}
Desse modo: A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
EXEMPLOS
1. Determinar A  B, sabendo que:
A = {xx é um número natural menor que 8} e
B = {xx é um número natural entre 7 e 11}.
Resolução
Representando a união desses conjuntos em um diagrama,
temos:
A região hachurada representa A  B.
EXEMPLOS
2. Determinar A  B, sabendo que:
A = {xx é um número natural maior que 9} e
B = {xx é um número natural menor que 9}.
Resolução
Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos
A e B. Assim, temos:
A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, ...} e
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Como não há elementos em comum, A  B =
.
EXEMPLOS
3. Considerar os conjuntos representados abaixo.
Resolução
a) Inicialmente, vamos determinar os
elementos pertencentes a cada
conjunto. Assim: A = {1, 2, 3, 4},
B = {1, 2, 6, 7} e C = {1, 3, 5, 7}
Agora, determinamos (A  B):
A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}
Determinar:
a) (A  B)  C
b) (A  B)  C
Depois, determinamos a intersecção
desse conjunto com C e obtemos:
(A  B)  C = {1, 3, 7}
EXEMPLOS
3. Considerar os conjuntos representados abaixo.
a) (A  B)  C
Resolução
a) Representando em um diagrama
de Venn:
A parte laranja representa (A  B)  C.
EXEMPLOS
3. Considerar os conjuntos representados abaixo.
b) (A  B)  C
Resolução
b) Primeiro, determinamos (A  B):
A  B = {1, 2}
Depois, determinamos a união desse
conjunto com C:
(A  B)  C = {1, 2, 3, 5, 7}
EXEMPLOS
3. Considerar os conjuntos representados abaixo.
b) (A  B)  C
Resolução
b) Representando em um diagrama
de Venn:
A parte azul representa (A  B)  C.
EXEMPLOS
4. Sabendo que A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e
A  B = {4 ,5}, escrever duas possibilidades diferentes
para A e B.
Resolução
Como A  B = {4, 5}, devemos considerar que os elementos
4 e 5 pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.
Sabemos também que os conjuntos A e B são formados
necessariamente pelos elementos que pertencem a A  B.
Assim, podemos escrever:
A = {1, 4, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} ou
A = {3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 4, 5}
Há outras possibilidades além dessas.
Operações com conjuntos
Diferença de conjuntos
A = {xx é um número natural e está entre 20 e 30}
B = {xx é um número primo menor que 30}
A região hachurada representa A  B.
A – B = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}
Operações com conjuntos
Diferença de conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B
é o conjunto formado pelos elementos que
pertencem a A, mas não pertencem a B.
A – B = {xx  A e x  B}
Complementar de um conjunto
Dados os conjuntos A e B, o complementar do
conjunto B em relação a A é a parte laranja da figura.
= A – B, com B  A
EXEMPLOS
5. Determinar A – B sabendo que:
A = {xx é um número natural menor que 10} e
B = {xx é um número natural e está entre 3 e 7}.
Resolução
Enumerando os elementos de A e B, temos:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {4, 5, 6}
Como a diferença de A e B é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A mas não pertencem a B, temos:
A – B = {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}
EXEMPLOS
6. Descrever a parte azul do diagrama por meio de
operações de conjuntos.
Resolução
Observando a figura, vemos que nenhuma parte do conjunto
B está colorida, assim como nenhuma parte do conjunto C.
Devemos observar ainda que somente uma parte do
conjunto A está colorida de azul. Como essa parte representa
os elementos de A que não pertencem a B nem a C, podemos
escrever a seguinte operação para representar a parte azul
da figura: A – B – C ou A – C – B
EXEMPLOS
7. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0,
10} e U = {xx é um número natural menor ou
igual a 15}. Determinar:
a) Ac
b)
c)
, com E =
Resolução
a) Como o conjunto U é um conjunto finito, para facilitar a
resolução podemos enumerar seus elementos:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
Determinando U – A, encontramos:
Ac = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}
EXEMPLOS
7. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15},
B = {0, 10} e U = {xx é um número natural menor ou
igual a 15}. Determinar:
b)
c)
, com E =
Resolução
b) Nesse caso, devemos determinar A – B. Assim:
= {5, 15}
c) Inicialmente, devemos encontrar os elementos do
conjunto E.
Como E =
, temos: E = {5, 15}.
Agora, determinamos U – E e encontramos:
= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.
EXEMPLOS
8. Dados os conjuntos U = {3, 6, 9, 12, 15, 18},
AC = {3, 6, 9} e BC = {15, 18}, determinar:
a) o conjunto A.
b) o conjunto B.
Resolução
a) Como AC = {3, 6, 9}, os elementos de U que não pertencem
a AC pertencem ao conjunto A; portanto: A = {12, 15, 18}
b) Como BC = {15, 18}, os elementos de U que não pertencem
a BC pertencem ao conjunto B; portanto: B = {3, 6, 9, 12}
PROBLEMAS COM CONJUNTOS
EXEMPLOS
9. (Esportes) Em uma pesquisa com uma turma de Ensino Médio,
verificou-se que 15 alunos praticavam basquete como
atividade esportiva, 25 alunos praticavam futebol e 7 alunos
praticavam duas atividades: basquete e futebol. Determinar
quantos alunos participaram da pesquisa, sabendo que todos
optaram por pelo menos um dos dois esportes.
Resolução
15 alunos praticavam basquete, 25 alunos praticavam futebol
e 7 alunos praticavam as duas atividades. Determinar quantos
alunos foram pesquisados.
Somente B
n(A  B) = 8 + 18 + 7 = 33
EXEMPLOS
10. (Consumidor) Após uma pesquisa com os clientes de um
supermercado, verificou-se que 150 pessoas compraram o
refrigerante da marca C e 75 compraram o da marca P.
Sabendo que 200 pessoas participaram da pesquisa,
determinar quantas compraram refrigerantes das duas
marcas.
Resolução
10. De 200 pesquisados, 150 compraram o refrigerante da
marca C e 75 compraram o da marca P. Determinar quantas
compraram refrigerantes das duas marcas.
123
Marca C e marca P: x
Marca C: 150 – x
Marca P: 75 – x
N(C  P) = (150 – x) + x + (75 – x)
200 = (150 – x) + x + (75 – x)
x = 150 + 75 – 200  x = 25
Assim, concluímos que 25 pessoas compraram refrigerantes
das duas marcas.
EXEMPLOS
11.(Carnaval) Uma empresa faz colares para o carnaval. As
matérias-primas utilizadas são plásticos rosa e verde. Em
um ano, foram produzidos 1.750 colares com o plástico
rosa, 1.200 colares com plástico verde e rosa e uma certa
quantidade de colares feitos somente com o plástico verde.
Quantos colares foram fabricados apenas com o plástico
rosa?
Resolução
11. 1.750 colares com o plástico rosa, 1.200 colares com plástico
verde e rosa. Quantos colares foram fabricados apenas
com o plástico rosa?
R  conjunto dos colares com o plástico rosa
V  conjunto dos colares com o plástico verde
O número de colares feitos apenas com o plástico rosa é:
1.750 – 1.200 = 550
Então, 550 colares foram feitos apenas com o plástico rosa.
EXEMPLOS
12. (Cultura) Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de
identificar o tipo de leitura preferida de 145 alunos de Ensino
Médio. Nessa pesquisa, história em quadrinhos teve 60
votos, romance, 85 votos, e ficção científica, 55. Sabe-se
ainda que 20 alunos votaram em história em quadrinhos e
em romance, 30 votaram em romance e em ficção, 10
votaram em história em quadrinhos e em ficção e 5 alunos
votaram nos três tipos. Determinar quantos alunos votaram
somente em romance.
Resolução
12. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos,
60 votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história
em quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30;
história em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5.
Determinar quantos votaram apenas em romance.
35
40
20
Portanto, 40 alunos votaram somente em romance.