Aritmética de Números
Cardinais
André Vitor de Almeida Palmares (avap)
Rodrigo Alves Costa (rac2)
Somas infinitas e produtos de
números cardinais
• No cap 5, vimos operações aritméticas em números cardinais. É
razoável generalizar estas operações e definir somas e produtos de
números cardinais. É natural esperar que:
• Ou, de maneira mais geral:
• A soma de dois números cardinais
cardinalidade de
, sendo
que
e
e
e
foi definida como a
conjuntos disjuntos tais
• Assim, é possível generalizar a definição de soma da maneira a
seguir.
Somas infinitas e produtos de
números cardinais
• Definição: seja
disjuntos, e seja
soma de
um sistema de conjuntos mutuamente
para todo
. Podemos definir a
por
• A definição de
usa conjuntos particulares
. No
caso finito, quando
e
, mostramos
que a escolha de
e
é irrelevante. Provamos que se
é um outro par de conjuntos disjuntos tais que
então
Somas infinitas e produtos de
números cardinais
• Em geral, é necessário usar o Axioma da Escolha para provar o
lema correspondente a somas infinitas. Sem o Axioma da Escolha,
não é possível excluir a possibilidade a seguir: podem existir dois
sistemas
de conjuntos mutualmente
disjuntos tais que cada
e cada
possua dois elementos, mas
que
não seja equipotente a
…
• Por causa disso, e devido ao fato de muitas considerações a seguir
dependem do Axioma da Escolha, o mesmo será usado sem que
isto seja sempre explicitado.
• Lema: se
e
são sistemas de conjuntos
mutualmente disjuntos tais que
para todo
, então
Somas infinitas e produtos de
números cardinais
• Lema: se
e
mutualmente disjuntos tais que
• Prova: para todo
em
. Então
em
são sistemas de conjuntos
para todo
, então
, escolha um mapeamento um-para-um
é um mapeamento um para um de
de
• Este lema torna a definição de
legítima. Uma vez que
uniões infinitas de conjuntos são associativas, as somas infinitas de
cardinais também são associativas. A operação
tem outras
propriedades razoáveis, como: se
para todo
então,
. Entretanto, se
para todo
não é necessariamente verdade que
Somas infinitas e produtos de
números cardinais
• Se os termos da soma são todos iguais, então a afirmativa a seguir
é verdade, da mesma forma que no caso finito:
se
para todo
, então:
• Também não é difícil avaliar somas infinitas. Por exemplo,
considere:
É fácil ver que esta soma é igual a
.
• Teorema: Seja um cardinal infinito, sejam
cardinais diferentes de zero, e seja
Então:
números
Somas infinitas e produtos de
números cardinais
• Teorema: Seja um cardinal infinito, sejam
cardinais diferentes de zero, e seja
Então:
números
• Prova: Por um lado,
para cada
, entao
>
Por outro lado, percebemos que
Temos também
:a
soma
é um limitante superior dos
e é o menor
limitante superior. Uma vez que tanto
quanto
são
verifica-se que
, que é maior que os dois, também é
A conclusão deste teorema é agora uma consequência do Teorema
de Cantor-Bernstein.
Produto
• O produto de dois cardinais
e
foi previamente definido como
a cardinalidade do produto cartesiano
, onde
e
são conjuntos arbitrários tais que
e
. Isto é
generalizado da seguinte forma:
• Definição: Seja
uma família de conjuntos tais que
para todo
. Definimos o produto de
por:
• Assim como para soma, a definição de
conjuntos
particulares.
não depende de
Produto
• Lema: Se
e
são tais que
para todo
, então
.
• Prova: para cada
, escolha um mapeamento um-para-um
de
em
. Seja
uma função em
definida da maneira
seguir: se
seja
.
Então
é um mapeamento um-para-um de
em
• Os produtos infinitos possuem muitas propriedades de produtos finitos
de números naturais. Por exemplo, se ao menos um
é 0, então
. Os produtos também são associativos; uma outra
propriedade simples é que se
para todo
, então
. Se todos os fatores
são iguais a , então
temos, assim como no caso finito,
Produto
• As regras a seguir, que envolvem exponenciação, também são
generalizadas do caso finito (para o infinito):
• Produtos infinitos são mais difíceis de avaliar do que somas
infinitas. Em alguns casos especiais, como ao avaliar o produto
<I
de uma sequência crescente
de cardinais,
algumas regras podem ser provadas. Vamos considerar o caso a
seguir:
Produto
• Primeiro, notamos que:
• Temos que:
• E então concluímos que:
• Podemos então provar um teorema importante, que pode ser usado
para derivar várias desigualdades na aritmética de cardinais… o
teorema de Konig.
Teorema de Konig
• Teorema de Konig: se
se
para todo
e
são número cardinais, e
, então.
• Prova: primeiro, vamos mostrar que
Sejam
e
tais que
e
para todo
e os
são mutuamente disjuntos. Podemos
assumir que
para todo
. Podemos achar um
mapeamento um-para-um de
em
Escolhemos
para cada
, e definimos uma
função f a seguir: para todo
, seja
o único i tal
que
. Seja
onde
Teorema de Konig
• Se
seja
e
e mostremos que
Se ix = iy = i, então
enquanto
. Se
então
enquanto
. Em ambos os casos,
e então f é um-para-um.
• Agora, vamos mostrar que
. Seja
que
para todo
. Se o produto
a soma
, poderíamos achar subconjuntos
disjuntos do produto cartesiano
tal que
todo i e
tal
fosse igual
mutuamente
para
Teorema de Konig
• Podemos mostrar que isto é impossível. Para cada
, seja,
(1.8)
(observe a figura)
• Para todo
, temos
, já que
Então existe
tal que
. Seja
, pode-se
mostrar facilmente que b não é um membro de nenhum
Para qualquer
, e então, por (1.8),
. Então
não é todo o conjunto
, uma contradição.
Teorema de Konig
• Podemos usar o Teorema de Konig na seção 3; no momento
apenas mencionamos que o teorema (e sua prova), são
generalizações do Teorema de Cantor que fala que
para todo . Se expressarmos
como a soma infinita
e
como o produto infinito
podemos aplicar o Teorema de Konig (já que 1 < 2) e obter