Matemática e suas Tecnologias
Geometria Plana
Ensino Médio, 1º Série
Ângulos
Você sabia que...
...a reta é um conjunto infinito de pontos?
...é usual representar os pontos por letras maiúsculas (A,B,C,...,M,N,...)
E as retas por letras minúsculas (r,s,t,...)?
Obs: Nos conjuntos numéricos, a convenção é inversa: as letras
Maiúsculas designam conjuntos e as letras minúsculas os seus
elementos.
...Por dois pontos distintos A e B, passa uma única reta r ou AB?
•P
A
C
B
|
|
|
r
Reta: r ou AB
Semi-retas: ou CA e ou CB
AEe
PɆr
...Na figura estão definidas as semi-retas CA e, CB cuja origem comum é o ponto C?
... A reta ou AB é o suporte das semi-teras CA ou CB?
... A poção de uma reta r, definidas por dois de seus pontos P e Q, é chamada
segmento, e é representada por ou PQ?
... Medir um segmento é compará-lo com outro tomado como unidade?
... O número, resultante da medida de um segmento, é também chamado de distância
entre os dois pontos? T
... É comum dizer-se que o segmento PQ mede 3cm?
...isto significa que o resultado da medida é 3, adotando-se o centímetro como
unidade?
A
P u
|
C
u
1cm
|
u
|
u Q
|
|
B
|
r
D
m(PQ) = 3
(lê-se: a medida de PQ é igual a 3)
... É usual representar-se a medida do segmento de extremos P e Q.
Simplesmente por PQ ao invés de m (PQ)?
... Os segmentos da figura seguinte são chamados congruentes, porque apresentam a
mesma medida (adotando-se a mesma unidade)?
M
|
N
R
|
|
|
S
|
|
r
MN ≡ RS
(lê-se: MN é congruente a RS)
... neste caso, usando a notação (representação) simplificada, podemos
escrever - MN ≡ RS
... os segmentos definidos na mesma reta (isto é, que têm na mesma reta
suporte) são denominados colineares?
(adotando-se a mesma unidade)?
A
B
C
D
E
F
|
|
|
|
|
|
r
Segmentos colineares: AB, CD e EF
... os segmentos da figura a seguir são consecutivos, porque, considerados dois a dois,
só possuem um extremo em comum?
N
Q
M
P
MN ᵔ NP = (N)
NP ᵔ PQ = (P)
Segmentos consecutivos:
... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos?
... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta,
γ – gama, ...)?
... um plano contém uma infinidade de retas?
... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares?
r
s
t
(α)
Plano (α)
r⊂α
s⊂α
t⊂α
r, s e t São coplanares
... as retas coplanares que não tem ponto em comum são denominadas paralelas?
...as retas concorrentes ou incidentes são coplanares e apresentam somente um
ponto em comum?
... duas retas representadas pelo mesmo conjunto de pontos são chamadas
coincidentes (ou não-distintas)?
r
(α)
p
s
A
q
U
t
Retas paralelas: r e s
r⊂α
s⊂α
rᵔs = ø
r // s
Retas concorrentes: p e q { p ᵔ q = {A}
Retas coincidentes: u e t { u ᵔ t = u ᵕ t
... traçando uma reta, no chão de sua casa, e outra no teto, elas não se
encontram, e, entretanto, pode não ser paralelas? Examine a figura seguinte
(β)
s
(α)
r
... qualquer reta de um plano divide esse plano em regiões, denominadas
semiplanos?
(α1)
(α2)
r
r é a origem comum dos semiplanos
(α1) e (α2)
... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos?
... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos?
N
Q
M
P
MN ᵔ NP = (N)
NP ᵔ PQ = (P)
Segmentos consecutivos:
... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos?
... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta,
γ – gama, ...)?
... um plano contém uma infinidade de retas?
... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares?
r
s
t
(α)
Plano (α)
r⊂α
s⊂α
t⊂α
r, s e t São coplanares
POSTULADO – TEOREMA
As sentenças (matemáticas ou não) podem ser classificadas em dois grupos:
Postulados (ou Axiomas) - sentenças que são aceitas como verdadeiras sem prova.
São evidentes por si mesmas.
r
s
B
M
P
•
A
•
•
Exemplos:
1 - "A reta é ilimitada nos dois sentidos."
2 - "Por um ponto passa uma infinidade de retas."
3 - "Por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta."
r
B
A
•
•
(α)
(α)
2.1 – DEFINIÇÃO
Ângulo é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem
B
E
I
O
A
(α)
I Região interna
E Região externa
Ângulo AOB = OA ᵕ OB
2.2 – ÂNGULOS CONGRUENTES
São aqueles que podem coincidir por superposição
C
B
D
F
A
E
ABC ≡ DEF
(lê-se: o ângulo ABC é congruente
ao ângulo DEF)
2. 3 – BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
É a semi-reta que divide o ângulo em dois outros congruentes
B
C
O
A
OC (bissetriz)
AOC ≡ COB
Obs.: É comum assinalar os ângulos congruentes com igual número de traços
2. 4 – RETAS PERPENDICULARES: ÂNGULO RETO
Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam quatro ângulos
congruentes.
Denomina-se ângulo reto a qualquer um desses ângulos. Representa-se por r ou ( )
Obs.: Se os ângulos não forem congruentes (DEB e DEO), as retas são oblíquas.
BOD ≡ DOA ≡ AOC ≡ COB ≡ 1r
D
A
O
E
C
CD AB (lê-se: CD é perpendicular a AB)
DE AB (lê-se: DE é oblíqua a AB)
B
2.5 – MEDIDA DE ÂNGULOS (Sistema
sexagésima)
Grau
0
1° = 1r/90
Minuto
‘
1’ = 1°/60
Segundo
“
1” = 1’/60
2.6 – ÂNGULOS COVEXOS
São aqueles cuja medida está compreendida entre 0° e 180°.
Entre os ângulos convexos, distinguimos:
F
C
I
A
B
E
D
H
G
Reto
Agudo
Obtuso
ABC = 90°
0° < DEF < 90°
90° < GHI < 180°
2. 7 – ÂNGULOS CÔNCAVOS (ou NÃO-CONVEXOS)
São aqueles cuja medida está compreendida entre 180° e 360°
O
A
B
AOB > 180°
2.8 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES REPLEMENTARES
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°
(1 reto).
Neste caso, cada um deles diz-se complemento do outro.
Exemplo: O complemento de 28° é 62°, porque 28° + 62° = 90°.
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°
(2 retos).
Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°
(4 retos).
Daí, representando a medida de um ângulo por x, teremos:
Complemento
90° - x
Suplemento
180° - x
Replemento
360° - x
2.9 – ÂNGULOS ADJACENTES
dois ângulos são adjacentes quando têm o mesmo vértice e um lado comum,
compreendido entre os não-comuns
C
B
115°
D
35°
30°
A
O
AOB e BOC ; lado comum: OB
AOC e BOD ; lado comum: OB
AOC e COD ; lado comum: OC
Da figura acima você conclui que:
AOC + COD = 180°
De um modo geral, podemos dizer:
Teorema: “Dois ângulos adjacentes, que têm os lados não comuns em
linha reta, são suplementares.”
2.10 - ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P. V.)
Dois ângulos são opostos pelo vértice, quando o lado de um deles são as semi-retas
opostas dos lados do outro
B
C
d
a
O
b
c
D
A
AOC e BOD
AOD e BOC
2.11 – TEOREMA
"Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes."
Na figura acima temos: a = b ; c = d
2. 12 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – reduza à fração de grau:
a) 20° 36
b) 45° 12'
60’ → 1°
Solução: a)
→ x = 36/60 = Logo: 20° 36' = 20° + 0,6° = 20,6°
36’ → x
Observação:
1° → 60’
, concluímos que 0,1° = 6’
Da proporcionalidade
0,1° → x
b) pela observação, resulta: 12’ = 0,2°
assim: 45° 12’ = 45° + 0,2° = 45,2°
2 – Reduza à 4'48" a segundos.
Solução:
1’ → 60”
→ x = 240”
4’ → x
Logo: 4'48" = 240" + 48" = 248"
3.1 ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS
Dois ângulos de lados paralelos são:
Congruentes - se ambos forem agudos, retos ou obtusos
a
d
b
c
a≡b
c≡d
Suplementares - se ambos retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso
e
f
e + f 180°
3.2- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Dois ângulos de lados perpendiculares são:
Congruentes - se ambos agudos, retos ou obtusos
Suplementares - se ambos forem retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso
n
q
m
p
m=n
p + q = 180°
3 - DUAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
Região externa
b
t
A
a
r
c
Região interna
f
B
g
e
s
h
Região externa
Paralelas: r e s
Transversais: t
Os pares de ângulos (um com vértice em A e outro em B) são definidos da seguinte
forma:
Do mesmo lado da transversal
Ambos na região interna: Colaterais Internos
(d;e)
(c;f)
Ambos na região externa: Colaterais Externos
(a;h)
(b;g)
Uma na região interna e outro na externa: Correspondentes
(a;e) (b;f) (d;h) (c;g)
Em lados opostos da transversal
Ambos na região interna: Alternos Internos
(c;e) (d;f)
Ambos na região externa: Alternos Externos
(a;g) (b;h)
Conclusões:
Do conhecimento dos ângulos opostos pelo vértice (2.10 e 2.11) e dos de lados
paralelos (3.1), resulta que, na fig. 22:
a=c=e=g
Correspondentes
Alternos internos
Alternos externos
Colaterais interno
Colaterais externos
b = d =f = h
Congruentes
Suplementares