Fenômenos de Transporte
INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS
EM MOVIMENTO
1
Fenômenos de Transporte
1. Velocidade do fluido
Em primeiro lugar entre as propriedades de um escoamento, está
velocidade que variando numa região do espaço define um campo de
velocidades. De maneira geral, determinar o campo de velocidades de
um escoamento significa resolver o problema de escoamento.
Na descrição da velocidade de um fluido pode-se pensar em uma
pequena massa de fluido que ocupa um pequeno volume V que se move
com o escoamento.
Assim é possível descrever o movimento das partículas focalizado o
movimento das partículas individuais e estudar como a sua posição
varia com o tempo.
2
Fenômenos de Transporte
1.Velocidade do fluido
sx0 , y0 , z0 , t ; vx0 , y0 , z0 , t ; ax0 , y0 , z0 , t 
ponto inicial
x0 , y0 , z0 , t 
Descrição Lagrangeana (Joseph L. langrange – 1736 -1813):
É possível também descrever
o movimento das partículas
acompanhando como varia a velocidade em uma determinada região
do espaço.
vx, y, z, t 
ou
vx, y, z 
Se a velocidade não depende do tempo
A região onde varia a velocidade varia é o campo de velocidades
Campos de escoamento: região do espaço de interesse do
escoamento e na qual uma determinada propriedade está sendo
3
considerada.
Fenômenos de Transporte
1. Velocidade do fluido
Descrição Euleriana – Ref. Euleriano ( Leonhard Euler 1707 –1783)
vx, y, z, t   vx x, y, z, t i  vy x, y, z, t j  vz x, y, z, t k
Em alguns livros, por tradição, usa-se de u, v e w em substituição
a vx, vy e vz, se dá por motivos históricos.
4
Fenômenos de Transporte
1. Velocidade do fluido
vx, y, z, t   ux, y, z, t i  vx, y, z, t j  wx, y, z, t k
v  ui  vj  wk
Exercício 1
a)
b)
v  0,6i  0,8 j
u?;v?;w=?
V(0,0); v(1,-2);
v  x. yi  2 y 2 j
u?;v?;w=?
V(0,0); v(1,-2);
c)
v  x  2i  xtj   zk
d)
v  0,5  0,8i  1,5  0,8 y j
u?;v?;w=?
V(0,0,0,t=0s); v(1,-2,1,t=2s);
5
Fenômenos de Transporte
2.Tipos de escoamento em função da velocidade
Unidimensional
Bidimensional
Tridimensional
6
Fenômenos de Transporte
2.1. Regime permanente ( estado estacionário)
vx, y, z, t   vx r i
2.2. Regime transiente (não estacionário ).
vx, y, z, t   ur, t i
7
Fenômenos de Transporte
3.Velocidade do fluido. Linha de Corrente
vx, y, z, t   ux, y, z, t i  vx, y, z, t j  wx, y, z, t k
Linhas de corrente.
É uma linha imaginaria que define o lugar geométrico da tangentes
às velocidades de escoamento.
v  ui  vj  wk
V x dS  0
Produto vetorial (VxdS)= 0
8
Fenômenos de Transporte
3. Linha de corrente.
Exercício 2. O campo de velocidade para um escoamento é dado pela
expressão: v = 2xi-ytj (m/s), com x e y dados em metros e t segundos.
Determinar a linha de corrente que passa pelo ponto( 2,-1) quando t = 4s.
i
j
k
2 x  4 y 0  2 xdy  (4 ydx) k  0
dx dy 0
2 xdy  4 ydx  0
2xdy  4 ydxk  0
2 xdy  4 ydx
dy
dx
 y    2 x  ln y  2 ln x  ln C
C
C
y 2
 1  2  C  4
x
2
dy
dx
 2
y
x
ln y  ln Cx 2
4
y 2
x
9
3. Linha de corrente.
v = 2xi-4yj
y
4
x2
t =4 s
u
v
OBS 1. Linha de corrente
dx dy dz


Vx Vy Vz
u
10
4. Velocidade, velocidade média e vazão de um fluido.
Quanto sai de fluido por um tubo de secção A?
Q  V
t
 s
m
3
Depende da velocidade de escoamento e
da área da seção transversal do tubo
Vazão numa secção
dQ  v * dA  Q   v * dA
Velocidade média numa secção
Q  v * A   v * dA  v 
A
1
v * dA

AA
Vazão mássica de uma secção
  .Q  .v . A
m
11
4. Velocidade, velocidade média e vazão de um fluido.
Exercício 3. Sabendo-se que o perfil de velocidade de água escoando
num tubo , calcular a velocidade média do escoamento. 2
 r
v  vmax 1   
  R 



  r 2 
1
1
v   v.dA   vmax 1    2rdr 
AA
AA
  R  
  r  2 
1
R2
r dr 
v  2  v.dA  2  vmax 1     2

R A
R A
R R
  R  
v
2vmax

 1  x xdx  2v  1  x xdx
2
2
max
A
A
1
1
0
0
v  2vmax  xd  2vmax  x 3 d x  2vmax
v  vmax  vmax
1 vmax

2
2
1
1
 2vmax
2
4
12
4. Velocidade, velocidade média e vazão de um fluido.
Exercício 4. Água flui por com velocidade uniforme de 3 m/s por
dentro de um bocal que tem diâmetro de 10 cm. Calcular a vazão
volumétrica e mássica na saída desse bocal .
Fenômenos de Transporte
5. Escoamento laminar e turbulento
laminar
mantém-se linhas de corrente;não existe passagem de partíclas
de uma camada para outra.
turbulento
O movimento das partículas
ocorre de forma irregular e
aleatório, ocorre mistura de
partículas no fluido.
14
Fenômenos de Transporte
5. Escoamento laminar e turbulento
No. de Reynolds ( Osborne Reynolds – 1842-1912)
.V .L V .L
Re 



Re crítico = Rec
Laminar Re < Rec
Placa: V e l
Tubos: Vmédia> e D
Esferas: Vb e D
Turbulento Re > Rec
Placa plana rugosos Rec = 500 000
Tubos rugosos Rec= 2100
Esferas rugosos Rec= 0,1
15
Fenômenos de Transporte
5. Escoamento laminar e turbulento
Exercício 5
Água ; duto D = 1 in . Qual vmax para haver regime laminar?
Água ; duto D = 1 in . Se v mdia for 2,5 m/s qual o regime
de escoamento?
16
Fenômenos de Transporte
6. Aceleração convectiva, local e material
v  ui  vj  wk
v  v( x, y, z, t )  u( x, y, z, t )i  v( x, y, z, t ) j  w( x, y, z, t )k
v
v
v
v
dv


d
v
x
,
y
,
z

dx

dy

dz

dt
a
x
y
z
t
dt
dvx, y, z  v dx v dy v dz v dt
a




dt
x dt y dt z dt t dt
a
dvx, y, z  Dv v
v
v
v

 u  v  w
dt
dt x
y
z
t
Aceleração convectiva
Aceleração local
D 



 u  v w
dt x
y
z
t
Derivada substancial ou material
(derivada de uma prop. do sistema)
17
6. Aceleração convectiva, local e material
a
dvx, y, z  u.i  vj  wk 
u.i  vj  wk 
u.i  vj  wk 
u.i  vj  wk 

u
v
w
dt
x
y
z
t
a
u.i  vj  wk
u.i  vj  wk
u.i  vj  wk
u.i  vj  wk
u
v
w
x
y
z
t
a
u
u
u
v
v
w
w
w
w
u
v
w
iu  iv  iw  ju  jv 
jw 
ku 
kv 
kw  i  j 
k
x
y
z
x
y
z
x
y
z
t
t
t
u
u
u
u
ax i 
iu  iv  iw  i
x
y
z
t
ay j 
az k 
v
v
w
v
ju  jv 
jw  j
x
y
z
t
w
w
w
w
ku 
kv 
kw 
k
x
y
z
t
u
u
u
u
ax  u  v  w 
x
y
z
t
ay 
az 
v
v
w
v
u v
w
x
y
z
t
w
w
w
w
u
v
w
x
y
z
t
18
6. Aceleração convectiva, local e material
a
dvx, y, z  v
v
v
v
 u  v  w
dt
x
y
z
t
  u u 

u
u
   , ,   i  j  k
y
z
 x y z  x
  u u 





v.   , ,   u  v  w
x
y
z
 x y z 
v.v    , u , u   u v  v v  w v
x
y
z
 x y z 
a
a
dv  x , y , z 
v
 v. v 
dt
t
Dv
v
D

 v. v 

 v.  
Dt
t
Dt
t
19
Fenômenos de Transporte
6. Aceleração
Exercício 6:
a)
v  0,6i  0,8 j
b)
v  0,1 yi
c)
d)
v  x. yi  2 y 2 j
v  x  2i  xtj   zk
a(0,0,0); a(1,-2,1)
a(0,0,0); a(1,-2,1)
a(0,0,0); a(1,-2,1)
a(0,0,0,t=0s); a(1,-2,1,t=2s)
20
Fenômenos de Transporte
6. Aceleração
em C
Exercício 7:
ax 
ax 
ui
ui
ui
ui
u
v
w
x
y
z
t
ui
u
8,47  6,72
m
u
u
7,61  666 2
x
x
0,02
s
21
7. Tipos de movimento de um fluido
Translação
Vetor Taxa de translação
Rotação
v  ui  vj  wk
 AB   CD
2
v v
 B A
dx
 v dx 
v dx 
v

.

v

. 

 x 2
x 2  v




dx
x
v v
 D C
dy
z 
 AB
 AB
 CD
 CD

u dy 
u dy 

u

.

u

. 



y
2

y
2 
u



dy
y
1  v u 
 z    
2  x y 
22
7. Tipos de movimento de um fluido
Rotação
 AB   EF
2
v v
 AB   B A
dx

w dx 
w dx 
. 

w

.

w


2 
x

2
x

w


 AB   
x
dx
v  vE
 EF  F
dx

u dz 
u dz 
u  z . 2   u  z . 2  u



 EF  
z
dz
1  u w 
y   

2  z x 
y 
24
Rotação
 AB   EF
2
v v
 AB   B A
dx

w dx 
w dx 
w

.

w

. 



x
2

x
2 
w

 AB   

dx
x
v  vE
 EF  F
dx

u dz 
u dz 
u

.

u

. 


z 2 
z 2  u

 EF 

dz
z
1  u w 
y   

2  z x 
x 
7. Tipos de movimento de um fluido
Vetor Taxa de rotação
Vetor vorticidade
Vetor vorticidade
escoamento bidimensional
ω
1  w v   u w   v u  
 i   
 j    k 

2  y z   z x   x y  
 w v 
 u
w 
 v
u 
    i     j    k
 y z   z x   x y 
 v u 
ζ    k
 x y 
7. Tipos de movimento de um fluido
Deformação linear
Taxa de deformação linear
vB  v A
dx
 u dx 
u dx 
u  x . 2   u  x . 2  u


 xx   

dx
x
v
 yy 
x
w
 zz 
x
 xx 
Vetor taxa de deformação volumétrica
ε   xx   yy   zz 
u v w
 
x y z
27
Fenômenos de Transporte
7. Tipos de movimento de um fluido
Deformação por cisalhamento
1
 AB  CD 
2
  v
 u
 
.
dy
.
dt

 
.
dx
.
dt


y

x

 

 

dy  
  dx

 
1  

  1  v u 
 xy  
    
2
dt
 2  x y 








 xy 
28
Fenômenos de Transporte
7. Tipos de movimento de um fluido
Deformação por cisalhamento
 xy   AB  CD
  w
 u
 
.
dx
.
dt
.
dz
.
dt

 


x

z
 


dz  

  dx


1  

  1  w u 
 xz  
 
 
2
dt
2

x
z 










29
Fenômenos de Transporte
7. Tipos de movimento de um fluido
Deformação por cisalhamento
 xy   AB  CD
  w
 v
 
.
dy
.
dt
.
dz
.
dt

 
  y

z

 

 
dz  

  dy

 

  1  w v 
1  
 zy  
 
  
2
dt
2

y
z 










30
Fenômenos de Transporte
7. Tipos de movimento de um fluido
Tensor das taxas de deformação
y
x
z
 u
1  u v 
1  u w  

  
 

2  y x 
2  z x  
 x


v
1  v w  
 1  v  u 
 

 2  x y 
y
2  z y  


 1  w u 
1  w v 
w 

 
 
 

2

x

z
2

y

z

z



 

  xx  yx  zx 


  xy  yy  zy 


   
 xz yz zz 
31
Tensor das tensões
 xx   yx   zx 


 xy   yy   zy 


     
 xy yz zz 
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
Força de pressão em um elemento fluido
Pressão não causa nenhuma força líquida sobre um elemento fluido
a menos que varie espacialmente.
x
33
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
Força de pressão em um elemento fluido
p  px, y, z, t 
FX  pxa .z.y  pxax z.y  0
px a .z.y  p x a  x z.y
xyz
dFpressão
dV
 p p
p 
   i  j  k 
y
y 
 x
Fpressão
dV
 limx0
x
px a  px a  x p

x
x
Sendo f a força líquida
por elemento de
volume:
f pressão  p
O gradiente de pressão representa uma força de superfície que atua
sobre os lados do elemento.
34
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
Pode haver uma força de campo agindo sobre toda a massa do
elemento. A força da gravidade não pode ser desconsiderada.
dFgrav  mg  gdV
f grav 
dFgrav
dV
 g  γ
35
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
Forças viscosas. Em geral, deve haver uma força de superfície
devido ao gradiente de tensões viscosas. Pode ser demonstrado que
dFVISC  dτ xx .dy.dz  dτ yx dxdz  dτ zx dxdy
dτ xy .dy.dz  dτ yy dxdz  dτ zy dxdy
dτ xz .dy.dz  dτ yz dxdz  dτ zz dxdy
fVISC 
dFFV dτ xx dτ yx dτ zx



dV
dx
dy
dz
dτ xy
dτ yy
dτ zy
.dy.dz 
dxdz 
dx
dy
dz
dτ xz dτ yz dτ zz


 .
dx
dy
dz
36
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
O vetor resultante das forças de pressão, da gravidade e das
forças viscosas causa um movimento com aceleração a.
Da segunda lei de Newton:
a  f  f pressão  f grav  fVISC  p  g  
Reescrevendo esta equação, tem-se:
p   g  a  
37
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
p   g  a  
Examinando esta equação,
pode-se destacar alguns casos
especiais:
A. Fluido em repouso ou com velocidade constante (condição
p  g
hidrostática) v=cte a=0.

Termos aceleração e viscosos são nulos.
A pressão depende apenas da gravidade e da massa específica.
B. Translação de corpo rígido( não há movimento relativo).
Termos viscosos nulos.
p   g  a
A pressão depende apenas da aceleração, da aceleração da
gravidade, e da massa específica.
38
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
0
p   g  a  
C. Escoamento não viscoso. Termos viscosos nulos.
A pressão depende apenas da aceleração, da aceleração da
gravidade, e da massa específica. p   g  a


Escoamento viscoso e não viscoso
Não-viscoso: quando em relação a
outros fatores , os efeitos
dissipativos não são importantes.
39
8. A equação de Bernoulli
Foi enunciada em 1738 por Daniel Bernoulli e deduzida em 1755
por Euler.
Para um escoamento permanente, não-viscoso, incompressível ao
longo de uma linha de corrente, tem-se:
2
1
2
2
p1 V
p2 V

 z1 

 z2  constante
g 2 g
g 2 g
40
8. A equação de Bernoulli
Balanço de forças atuando no elemento de fluido ap longo de uma
linha de corrente
p   g  a  p  g   a
h
cos  
s
a
p
h
V
 g
  V
s
s
s
V2
p
 gh  cte
2
p
 g cos    a
s
DV s  v
v
v

v
v
Dt
s
t
s


V2
 p  
 gh  0
s 
2

p V2

 h  cte
g 2 g
41
8. A equação de Bernoulli
42
8. A equação de Bernoulli
43
8. A equação de Bernoulli
A lista completa de hipóteses que conduz à obtenção da equação de
Bernoulli a partir da equação da energia é:
• regime permanente;
• escoamento incompressível;
• escoamento sem atrito;
• escoamento ao longo de uma linha de corrente;
• ausência de trabalho de eixo entre 1 e 2;
• ausência de troca de calor entre 1 e 2.
Esta é a lista completa de hipóteses a ser considerada na aplicação da
equação de Bernoulli. Logo: cuidado com a aplicação da equação de
Bernoulli !!!
44
8. A equação de Bernoulli
Exemplos de regiões de validade e não validade da equação de Bernoulli.
45
8. A equação de Bernoulli
Exemplos de regiões de validade e não validade da equação de Bernoulli.
46
8. A equação de Bernoulli. Tubo de Pitot
Carga piezométrica
Carga total
p
z
g
V2
pT  pest
p

z
g 2 g
p

z
g
p = pressão estática
p2  p1 
V 2
2
V 
2P

47
8. A equação de Bernoulli. Tubo de Pitot
Linhas piezométrica
e de energia para o
escoamento sem
atrito em um duto
48
8. A equação de Bernoulli. Tubo de Pitot
p1
p2
Exercício 8. Em uma tempestade a velocidade do vento atinge 65 mph.
Calcular a forca do vento agindo sobre uma janela de 3ft x6ft de frente
para a tormenta. A janela está localizada num a ponto em que a velocidade
do vento não é afetada pelo solo, admitir  = 0,0024 lug/ft3.
49
8. A equação de Bernoulli. Tubo de Pitot
Exercício 9. A carga de pressão estática em uma tubulação de ar
é medida e indica 16 mm H2O. Um tubo de pitot indica na mesma
posição 24 mm H2O. Calcular a velocidade ar a 20 0C.Hg.
50
Perda de carga
V2
Fk  f * AS _ cilindro * 
2
F  P1  P2 * ATrans
P1  P2  
f*
AS _ cilindro
ATrans
P2  P1 * ATrans
V2
 f * AS _ cilindro * 
2
V2
*
2
2L * R
V2
2L
V2
2L
V2
L
V2
P1  P2   f *
*
 f*
*
 f*
*
 4. f . * 
D
R 2
2
R
2
2
D
2
2
hL

P2  P1 
L V2

 4* f * *

f Moody  2
D 2g
D P2  P1 
*
L
V 2
4*fF= fM
fM = fator de atrito de Moody
(adimensinal)
51
Perda de carga-fator
carga
de atrito (Diagrama de Moody)
52
Referências Bibliográficas:
[01] WHITE, FRANK M.; Mecânica dos Fluidos - 4a Edição; McGraw-Hill
Interamericana do Brasil Ltda.
[02] - POTTER, M.C. e WIGGERT, D. C. Mecânica dos fluidos.
Thomson Pioneira. 2004.
53