Tı́tulo : Teorema dos Quatro Vértices
Autor:Gilvan
Alves Nascimento
Instituição de Origem:Faculdade José Augusto Vieira (FJAV)
Sessão temática:Geometria Diferencial.
RESUMO
Nosso trabalho visa demonstrar o teorema dos quatro Vértices. Observe que n(s) e t(s) são
funções diferenciáveis. Como ∀s ∈ I, temos ||t(s)|| = 1, derivando igualdade a < t(s), t(s) >= 1, teremos
2 < t0 (s), t(s) >= 0, ou seja, t0 (s) é ortogonal a t(s) e portanto,
t0 (s) = k.n(s).
A função k : I 7→ R2 é chamada curvatura de α em s ∈ I.
Notemos que que < t0 (s), n(s) >= k(s) e dai temos que k(s) = −x00 (s).y0 (s) + y00 (s).x0 (s).
Podemos definir também para cada t ∈ I, θ(t) como o ângulo que o vetor t0 (s) forma com o eixo x. Nos
intervalos que x0 não se anula, temos,
y0 (t)
θ0 (t) = arctan 0 ;
x (t)
caso contrário, temos.
1
θ0 (t) =
1+
y 0 (t)
x0 (t)
2 ×
−x00 (s).y0 (s) + y00 (s).x0 (s)
= k(t).
x0 (t)2
Isto sugere a definição da seguinte função globalmente diferenciável
θ : [0, `] 7→ R2,
θ(t) =
Z
t
k(s)ds.
0
como ainda
θ0 = k;
esta função concorda com aquela função local dada anteriormente, a menos de constantes. Intuitivamente,
θ(s) mede a rotação total do vetor tangente, ou seja, o ângulo descrito pelo vetor tangente quando pecorremos α de 0 a s. Se α for uma curva regular fechada, este ângulo é um múltiplo de 2π, isto é
Z
`
k(s)ds = θ(`) − θ(0) = 2πI.
0
O número I é chamado de ı́ndice de rotação da curva α., I = 0.
Curva Regular Convexa
Definição 1 Uma curva regular α : I = [0, `] 7→ R2 é dita convexa se para t ∈ I, o traço da curva está
contida em um dos semi-planos fechado determinados pela tangente à curva em t.
Teorema 0.0.1 (Rotação das tangentes) O ı́ndice de uma curva regular fechada (i.é, sem auto-intersecções)
é ±1, onde o sinal depende da orientação da curva.
Estamos interessados na demonstração do seguinte Teorema
1
Teorema 0.0.2 (Quatro vértices) Uma curva regular fechada simples convexa tem ao menos quatro
vértices.
Antes da prova do teorama, vamos provar o seguinte Lema.
Lema 0.0.3 Seja α : I = [0, `] 7→ R2 uma curva plana, regular, fechada e parametrizada pelo comprimento
de arco. Dados quaisquer números A, B e C, temos:
Z
`
(A.x(s) + B.y(s) + C) .k 0 (s)ds = 0
0
Demonstração
Como a curva é fechada temos:
Z
`
k 0 (s)ds = k(`) − k(0) = 0
0
Integrando por partes temos,
Z
`
xk 0 (s)ds = x(`)k(`) −
0
Z
`
x0 k(s)ds = −
0
Z
`
kx0 ds,
0
pelo fato de ser uma curva fechada. Sabemos que
t0 (s) = k.n(s),
ou seja
x00 (s) = −k(s)y0 (s)
e
y00 (s) = k(s)x0 (s).
Dai,
Z
`
xk 0 (s)ds = −
0
Z
`
kx0 ds = −
0
Z
`
y00 ds = y0 (`) − y0 (0) = 0,
0
pois a curva é fechada.
Assim,
Z
`
x(s)k(s)0 ds = 0
0
e analogamente
Z
`
yk 0 (s)ds = 0.
0
A demonstração do Teorema
Considere a curva I = [0, `] 7→ R2 , parametrizada pelo comprimento de arco. Como k(s) é uma função
contı́nua definida no intervalo I, ela atinge um máximo e um mı́nimo. Se nem o máximo e nem o mı́nimo
são atingindos em 0 ou `, então já temos dois vértices s1 e s2 , pontos de máximo e mı́nimo, respectivamente(
pois dai, k 0 (s1 ) = k 0 (s2 ) = 0). Se o máximo for atingindo em 0(e portantoem, `, pois k(0) = k(`)) e além
disso, k 0 (0) < 0 (não ser positiva pois dai 0 seria mı́nimo local), terı́amos que k 0 (`) = k 0 (0) < 0, e dai, ` seria
mı́nimo local.Assim, k 0 (`) = k 0 (0) = 0. Analogamente para quando o m´‘ınimo é atingigo em 0. Portanto
podemos supor que o máximo e mı́nimo sâo atingidos em dois vértices distintos s1 e s2 , respectivamente,
e denotaremos u1 = α(s1 ) e u2 = α(s1 ). Resta encontramos os outros dois vértices.
2
Sejam β e γ os dois arcos de α determinados por u1 e u2 e L a reta definida por esses pontos. Afirmo que
cada um desses arcos está contido num dos semi-planos fechado definido por L. Caso isso não acontecesse,
L encontraria β ou γ em um ponto r distintos de u1 e u2 . Suponha u1 entre u2 e r. pela convexidade da
curva a única possibilidade deste fato seria quando a tangente do ponto intermediário é a própia L.
Novamente por convexidade, L deverá ser tangente a u1 , u2 e r. Mais um ponto próximo de u1 terá
u2 e r em lados distintos de sua tangente(ver fig. abaixo). Isso só não ocorre quando todo segmemto está
contido na curva, mas daı́, k 0 (s1 ) = k 0 (s2 ) = 0, e então k ≡ 0 na curva, pois s1 e s2 , eram pontos de
máximo e um mı́nimo, respectivamente. Assim, β e γ estão num único lado de L. Suponha a equação de
L como ax + by + c = 0. Um dos arcos está em ax + by + c ≤ 0 e o outro está em ax + by + c ≥ 0. Logo,
se o sinal de k 0 não mudar ao longo da curva, podemos montar uma intergral como no lema estritamente
positiva. isto mostra que existe mais um vértice na curva, onde k 0 troca de sinal; digamos em γ. Como u1
e u2 definem pontos de máximo e mı́nimo, k 0 deve trocar mais uma vez em γ, e este é o quarto vértice.
Referências Bibliográficas
1. Carmo,M.P Elementos de Geometria Diferencial, Rio de Janeiro, Livro Técnico,1971.
2. Tenenblat,K. Introdução à Geometria Diferencial, Editora UnB, 1988.
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