Exercı́cios de Análise Infinitesimal I / Cálculo I - Folha 6
6.1. Mostre que as seguintes equações têm soluções nos intervalos indicados:
a) x = cos x, x ∈ [0, π/2]
b) x = − log x, x ∈]0, 1]
c) 2 + x = ex , x ∈ R
d) x = f (x), x ∈ [a, b] onde f : [a, b] → [a, b] é uma função contı́nua com
valores no intervalo [a, b].
6.2. Considere o polinómio de coeficientes reais e de grau n > 0
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 . Mostre que
a) Se n é ı́mpar, f tem, pelo menos, uma raiz real.
b) Se a0 an < 0, f tem, pelo menos, uma raiz positiva.
c) Se a0 an < 0 e n é par, f tem, pelo menos, duas raı́zes, uma positiva e outra
negativa.
6.3. Seja f : R → R uma função contı́nua tal que os limites seguintes existem
e são finitos: A+ = lim f (x) e A− = lim f (x)
x→+∞
x→−∞
a) Dê um exemplo de uma função nestas condições sem máximo nem mı́nimo.
b) Dê um exemplo de uma função nestas condições, com A+ = A− , que não
tenha mı́nimo (respectvamente máximo).
c) Mostre que qualquer função f nestas condições é limitada.
d) Mostre que qualquer função nas condições acima com A+ = A− , ou tem
mı́nimo ou tem máximo.
6.4. Em cada uma das alı́neas seguintes esboce o gráfico de uma função f
definida em [0, 1] e satisfazendo (se possı́vel) as condições dadas:
a) f contı́nua em [0, 1] com valor mı́nimo 0 e valor máximo 1.
b) f contı́nua em [0, 1[ com valor mı́nimo 0 e sem valor máximo.
c) f contı́nua em ]0, 1[ assume os valores 0 e 1 mas não assume o valor 21 .
d) f contı́nua em [0, 1],não constante, não assume valores inteiros.
e) f contı́nua em [0, 1] não assume valores racionais.
f) f contı́nua em [0, 1], assume apenas dois valores distintos.
g) f não contı́nua em ]0, 1[ tem por imagem um intervalo fechado e limitado.
h) f contı́nua em ]0, 1[ tem por imagem um intervalo ilimitado.
i) f contı́nua em [0, 1] tem por imagem um intervalo ilimitado.
j) f não contı́nua em [0, 1] tem por imagem o intervalo [0, ∞[.
j) f contı́nua em [0, 1[ tem por imagem um intervalo fechado e limitado.