Universidade Federal de Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
@
@
@
Prof. Jaime E. Muñoz Rivera
[email protected]
http//www.im.ufrj.br/˜rivera
@
@
@
Segunda Lista de Exercicios de Cálculo I
Rio de Janeiro 1 de abril de 2013
1. Encontre os valores de b de tal forma que o polinômio p(x) = 4x3 + 6ax2 + b tenha uma raiz no
intervalo [0, 1]. (Veja secção 7.7 do texto) Resp.- b ∈ [−4 − 6a, 0] se a > −2/3 b ∈ [0, −4 − 6a]
a < −2/3
2. Encontre as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito num cı́rculo de raio R.
3. Um corpo se está movimentando em linha reta, sobre uma superfı́cie rugosa, de coeficiente de
atrito igual a µ, pela ação de uma força constante aplicada ao corpo através de um cabo que faz
um ângulo de θ graus respeito a horizontal. Se o corpo se movimenta com velocidade constante,
calcule o ângulo que deve fazer o cabo com a horizontal, de tal forma que o movimento se realize
com a mı́nima força possı́vel.
4. Calcular as dimensões que deve ter uma caixa retangular sem tampa de maior volume possı́vel,
obtida a partir de uma lámina retângular a e b fazendo um corte de x unidades nos bordes.
5. Se quer produzir caixas fechadas, de volume constante igual a V0 unidades cúbicas. √
Suponha
que por razões estéticas a base caixa deve ser ser retangular com um dos lados igual a 2 vezes
o outro. Encontre as dimensões da caixa fabricado com o mı́nimo de material.
6. Quer se levar uma mercadoria de uma cidade A para outra cidade B ambas separadas por um
Rio. A cidade B está situada a 10 Km a direita da Cidade A e a 20 Km ao Norte de A. Suponha
que o Rio tem uma espessura de 10Km. Como se deve construir a estrada que vai da cidade
A para B, de tal forma que o transporte seja o mais rápido possı́vel, se o barco vai a uma
velocidade constante 20 Km/h e por terra a mercadoria é transportada a uma velocidade 60.
Resp.- x = 2.110149.
7. Encontre a trajetória que debe seguir um raio luminoso que parte do ponto A(0, −1) e chega o
B(2, 1), se o eixo das abscissas divide o espaço em dois medios homogêneos e as velocidades em
cada médio são tais que vA /vB = 3/4. Onde vA é a velocidade da luz no médio que esta debaixo
do eixo, e a velocidade vB é a velocidade da luz no médio acima do eixo.
8. Mostre a Lei de Snell da refração da Luz, utilizando o princı́pio de Fermat, que diz que a
trajetória que segue um raio luminoso, é aquela que minimiza o tempo de percorrido.
9. A resistência de uma viga retangular é conjuntamente proporcional a sua largura e áltura.
Encontre as dimensões da viga mais resistente que pode ser√cortada de uma barra da forma de
um cilindro circular reto de raio 72 cm. Resp. x = y = 72 2
1
10. Uma lata fechada de volume de 27 cm3 deve ter a forma de um cilindro circular reto. Se a tampa
e o fundo circulares são cortados de pedasos quadrados da chapa encontre o raio e a altura de
da lata para que a quantidade de material a ser usado seja mı́nima. Inclua o metal gasto para
se obter a tampa e o fundo. Resp. a) r = 3/2, h = 12/π.
11. Se quer fazer uma pirâmide de base quadrada a partir de uma lámina quadrada de lado L. De
que magnitude deve ser feito o corte x mostrado na figura, de tal forma que a pirâmide tenha a
maior volume possı́vel. (Veja seção 7.5 do texto)
x
d
L-2x
x
x
L-2x
x
12. Se quer construir uma pirâmide a partir de uma lámina de forma de um polı́gono regular de n
lados iguais a L. De que magnitude deve ser feito o corte x mostrado na figura, de tal forma
que a pirâmide tenha a maior volume possı́vel. (Prob. 7.5.15 do texto)
L
x
n=8
13. Utilizando o Teorema do Valor médio de Cauchy, mostre a regra da L’Hospital para calcular
limites com indeterminação da forma 0/0.
14. Calcular os seguintes limites
lim
x→0
ex
2 −x
− cos(2x2 )
,
ln(cos(x3 ))
cos(x2 − x) − x3 − x2 + x + 1
,
x→0
cos(cos(x3 ) − 1) − 1
lim
2
(x3 − 1)e−x − x3 + 1
x→0
cos(x3 ) − 1
lim
15. Quais das seguintes funções são convexas em todo R: a) f (x) = ln(x), b) f (x) = x4 + 3x2 − 5x,
c) f (x) = x6 + 3x3 + x2 − 4x
16. Calcule os extremos das seguintes funções
a) f : [−3, 4] → R, f (x) = 3x2 − 4x + 1,
2
b) f : [−1, 1] → R, f (x) =
x4 + 1
.
x2 − 9
f (x) = x3 − 4x2 + x + 1.
c) f : [−3, 3] → R,
17. Suponha que a posição de uma partı́cula está dada pela função f (t) = t3 − 2t + 1. Calcular a
velocidade e a aceleração que esta particula possui no ponto t = 2. Resp.- v(2) = 10 m/seg,
a(2) = 12 m/seg 2
18. Encontre os valores das constantes a, b, c e d de tal forma que a função f (t) = at3 + bt2 + ct + d
defina a posição de um corpo que se está deslocando com aceleração constante. Resp.- a = 0
19. Um corpo cai, devido ação das forças gravitacionais, de uma altura de 100 metros. Calcular o
tempo que demora em chegar a superfı́cie. Suponha que a aceleração da gravidade é constante
igual a 9.8 m/seg 2 e que o corpo parte do repouso. Resp.- t = 4.52.
20. Usando primeiras e segundas derivadas, faça o gráfico da função f (x) = x3 − 2x2 + x + 3
21. Encontre o máximo e o mı́nimo das seguintes funções: (Veja seção 7.20 do texto)
f (x) = |x − 1| + |2x + 1|,
f (x) = ||x| − 1|
no intervalo [−5, 5].
no intervalo [−5, 5].
22. Calcular os extremos relativos da função f (x) = x3 − 6x2 + x + 5, e indique o ponto de máximo
e o ponto de mı́nimo local. Resp.- x1 ≈ 3.914, mı́nimo x2 ≈ 0.085 máximo.
23. Calcular o máximo e o mı́nimo global da função f (x) = x3 +4x2 +5, no intervalo [−3, 3]. Resp.x = 3 ponto de máximo global e x1 = 0 ponto de mı́nimo.
24. Encontre a equação do cı́rculo, que tenha a mesma concavidade e que seja tangente a curva
4 2
16 2
y = x3 no ponto x = 1. Resp.- (x − 27
) + (y − 27
) = 1000
542
25. Calcular a velocidade máxima em que um veı́culo de pode-se deslocar no ponto (2, 7) numa
trajetória de forma de um arco de parábola de equação y = 2x2 − 1, se o coeficiente de fricção
é costante igual a µ = 0.5. Suponha que a aceleração da gravidade é igual a g = 9.8m/seg 2
Resp.- vmax = 50.27Km/hora.
26. Verifique se as funções são contı́nuas ou diferenciáveis no ponto x = 0.
2
−1
x sen ( x1 ) se x 6= 0
e x se x > 0
f (x) =
, g(x) =
0
se x = 0
0 se x ≤ 0
27. Uma escada com 7 metros está encostada em uma parede. Se a base da escada é arrastada em
direção a parede a 1.5m/seg, que tão rápido
√ o topo da escada está subindo pela parede quando
a base está a dois metros dela. Resp. 1.5 49 − a2 /a (a é a posição inicial da escada)
28. Calcular os extremos relativos e os extremos absolutos das funções:
f (x) = x3 + 3x2 − 9x;
em [−4, 4],
f (x) = 6x1/3 − 2x2/3
em [−7, 7].
e verifique sua respostas utilizando os critérios de segunda derivadas quando for o caso. Faça
um esboço dos gráfico. Resp. a) x = 1 min, x = −3 Max. b) x = 27/8 Max.
√
√
Resp. A 15( 20 − 15) metros de A.
3
29. Desenhe uma parte do gráfico de uma função contı́nua através do ponto onde x = c se as
seguintes condições são satisfeitas
(a) f 0 (c) = 0,
00
f 0 (x) < 0,
se
0
f 00 (x) > 0 se
x < c;
00
(b) f (c) = 0, f (c) = −1, f (x) < 0
f 00 (x) > 0 se x > c.
se
x > c.
x < c;
Resp.
6 f (c)
6f (c)
a)
b)
pp
pp
?
c
-
pp
ppp
?
c
-
30. Seja f : [a, b] → R tal que f 0 (x) = 0 para todo x. Mostre que f deve ser uma função constante.
√
2
2
5x − 4,
31. Encontrar
as
tangentes
comums
as
parábolas
y
=
x
+
9
e
y
=
x
−
6x
+
1
Resp.y
=
2
√
y = −2 5x + 16.
32. Usando o método de Newton, encontre uma raiz no intervalo ]0, 1[ do polinômio.
p(x) = x4 − 3x3 + x2 − 2x + 1
33. Seja f uma função de clase C 2 tal que f 00 (x) ≥ 0, então para todo θ ∈ [0, 1] temos que
f (θx + (1 − θ)y) ≤ θf (x) + (1 − θ)f (y).
34. Seja f : [a, b] → R tal que f 0 (x) = 0 para todo x. Mostre que f deve ser uma função constante.
35. Seja f : [a, b] → R uma função contı́nua, sejam x1 , · · · , xn pontos do intervalo [a, b]. Mostre que
existe um ponto χ em ]a, b[ de tal forma que se verifique
n
X
f (xi ) = nf (χ)
i=1
(Veja Exemplo 8.7.4 do texto).
Referência
1. Cálculo Diferencial & Integral Volume I.
Autor: Jaime Muñoz Rivera
4