Teste Pré-P3 de Cáculo 2 - turma C
RA:
Nome:
Assinale com χ as alternativas válidas (pode ter mais de uma)
1. Considere a função f (x, y) = x2 − y 2 e o problema de calcular os pontos de máximo e mı́nimo
global de f na região R = [−1, 1] × [−1, 1].
( ) Essa função não tem mı́nimo nem máximo, pois o único ponto crı́tico é (0, 0), ponto de
sela.
( ) Os pontos de máximo e de mı́nimo globais devem estar num dos vértices, A(−1, −1),
B(−1, 1), C(1, 1) ou D(1, −1), pelo Teorema Fundamental da Programação Linear.
(χ) P1 (1, 0) e P2 (−1, 0) são pontos de máximo e P3 (0.1) e P2 (0, −1) são pontos de mı́nimo. (
) f (0, 1) = −1 é ponto de mı́nimo e f (1, 0) = 1 é ponto de máximo.
2. Para calcular o ponto mais alto e mais baixo (com altura medida no eixo Oz) de uma superfı́cie
tipo elipsóide de equação F (x, y, z) = 0 usando multiplicadores de Lagrange, fazemos:
(χ) Função a otimizar f (x, y, z) = z e vı́nculo F (x, y, z) = 0;
( ) Função a otimizar f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e vı́nculo z = 0;
( ) Função a otimizar F (x, y, z) e vı́nculos x = 0; y = 0 (equações do eixo Oz);
( ) Função a otimizar: F (x, y, z) = 0, vı́nculo z
3. Se f (x, y) é uma função diferenciável, com derivadas parciais de até segunda ordem contı́nuas
2 (P ) = 0, então:
numa vizinhança do ponto crı́tico P (x0 , y0 ), e com fxx (P )fyy (P ) − fxy
( ) P não pode ser nem ponto de máximo, nem de mı́nimo, nem de sela.
(χ) P pode ser ponto de mı́nimo, ou de máximo ou de sela.
( ) P é simultaneamente ponto de mı́nimo, de máximo e de sela.
( ) P é um ponto onde f não é diferenciável.
4. Sejam f (x, y, z) = 0 e g(x, y, z) = 0 definindo uma curva suave C como intersecção das
superfı́cies. O ponto de C mais próximo da origem O = (0, 0, 0) é um ponto
(χ) onde uma esfera x2 + y 2 + z 2 = r2 tangencia a curva C.
(χ) onde o gradiente de F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 é coplanar com os gradientes de f e g,
simultaneamente.
(χ) solução do seguinte sistema de equações: {2x = λfx + µgx ; 2y = λfy + µgy ; 2z =
λfz + µgz ; f = 0, g = 0}
( ) onde as funções f e g são otimizadas pelo vı́nculo x2 + y 2 + z 2 = r2 .
5. Seja f (x, y, z) = 0 definindo uma superfı́cie suave S, e f diferenciável com derivadas parciais
contı́nuas numa vizinhança de S. Seja P ∈ S.
(χ) Se fz (P ) 6= 0, então a equação define uma função implı́cita z = z(x, y) para (x, y, z(x, y))
próximo de P e tem-se que zx = −fx /fz e zy = −fy /fz .
∂(f,z)
6= 0, então a equação define uma função implı́cita z = z(x, y)
( ) Se o jacobiano J = ∂(x,y)
para (x, y, z(x, y)) próximo de P e tem-se que zx = −Jx /J e zy = −Jy /J.
( ) Se fy (P ) 6= 0 e fz (P ) 6= 0, então a equação define uma função implı́cita x = x(y, z) para
(x(y, z), y, z) próximo de P e tem-se que xy = −fx /fy e xz = −fx /fz .
(χ) Se fz (P ) 6= 0, então a superfı́cie em volta de P é gráfico de uma função z = z(x, y), pelo
menos perto de P .
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Teste Pré-P3 de Cáculo 2 - turma C
RA:
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Assinale com χ as alternativas válidas (pode ter mais de uma)
1. Considere a função f (x, y) = x2 − y 2 e o problema de calcular os pontos de máximo e mı́nimo
global de f na região R = [−1, 1] × [−1, 1].
(χ) P1 (1, 0) e P2 (−1, 0) são pontos de máximo e P3 (0.1) e P2 (0, −1) são pontos de mı́nimo. (
) f (0, 1) = −1 é ponto de mı́nimo e f (1, 0) = 1 é ponto de máximo.
( ) Essa função não tem mı́nimo nem máximo, pois o único ponto crı́tico é (0, 0), ponto de
sela.
( ) Os pontos de máximo e de mı́nimo globais devem estar num dos vértices, A(−1, −1),
B(−1, 1), C(1, 1) ou D(1, −1), pelo Teorema Fundamental da Programação Linear.
2. Para calcular o ponto mais alto e mais baixo (com altura medida no eixo Oz) de uma superfı́cie
tipo elipsóide de equação F (x, y, z) = 0 usando multiplicadores de Lagrange, fazemos:
( ) Função a otimizar F (x, y, z) e vı́nculos x = 0; y = 0 (equações do eixo Oz);
( ) Função a otimizar: F (x, y, z) = 0, vı́nculo z;
(χ) Função a otimizar f (x, y, z) = z e vı́nculo F (x, y, z) = 0;
( ) Função a otimizar f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e vı́nculo z = 0
3. Se f (x, y) é uma função diferenciável, com derivadas parciais de até segunda ordem contı́nuas
2 (P ) = 0, então:
numa vizinhança do ponto crı́tico P (x0 , y0 ), e com fxx (P )fyy (P ) − fxy
( ) P é simultaneamente ponto de mı́nimo, de máximo e de sela.
( ) P é um ponto onde f não é diferenciável.
( ) P não pode ser nem ponto de máximo, nem de mı́nimo, nem de sela.
(χ) P pode ser ponto de mı́nimo, ou de máximo ou de sela.
4. Sejam f (x, y, z) = 0 e g(x, y, z) = 0 definindo uma curva suave C como intersecção das
superfı́cies. O ponto de C mais próximo da origem O = (0, 0, 0) é um ponto
(χ) solução do seguinte sistema de equações: {2x = λfx + µgx ; 2y = λfy + µgy ; 2z =
λfz + µgz ; f = 0, g = 0}
( ) onde as funções f e g são otimizadas pelo vı́nculo x2 + y 2 + z 2 = r2 .
(χ) onde uma esfera x2 + y 2 + z 2 = r2 tangencia a curva C.
(χ) onde o gradiente de F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 é coplanar com os gradientes de f e g,
simultaneamente.
5. Seja f (x, y, z) = 0 definindo uma superfı́cie suave S, e f diferenciável com derivadas parciais
contı́nuas numa vizinhança de S. Seja P ∈ S.
∂(f,z)
6= 0, então a equação define uma função implı́cita z = z(x, y)
( ) Se o jacobiano J = ∂(x,y)
para (x, y, z(x, y)) próximo de P e tem-se que zx = −Jx /J e zy = −Jy /J.
( ) Se fy (P ) 6= 0 e fz (P ) 6= 0, então a equação define uma função implı́cita x = x(y, z) para
(x(y, z), y, z) próximo de P e tem-se que xy = −fx /fy e xz = −fx /fz .
(χ ) Se fz (P ) 6= 0, então a superfı́cie em volta de P é gráfico de uma função z = z(x, y),
pelo menos perto de P .
(χ) Se fz (P ) 6= 0, então a equação define uma função implı́cita z = z(x, y) para (x, y, z(x, y))
próximo de P e tem-se que zx = −fx /fz e zy = −fy /fz .
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