Lista 4 - FVV
Funções de várias variáveis: máximos e mı́nimos, multiplicadores de Langrange.
1◦ quadrimestre de 2015 - Professor Maurı́cio Richartz
Leitura mı́nima recomendada: Stewart (7a ed.) - seções 14.7 (máx/mı́n) e 14.8 (mult. de
Lagrange).
Obs: a maioria dos exercı́cios foi retirada/adaptada dos livros do Stewart, do Anton e do Apostol.
1 — Determine e classifique os pontos crı́ticos das funções abaixo:
a) f (x, y) = 2x2 + y 2 + 4x − 4y + 5,
b) f (x, y) =
x3
+
y3
+ 3xy + 3,
d) f (x, y) = xye−x
e) f (x, y, z) =
c) f (x, y) = 2x3 − 3x2 + y 2 − 12x + 10,
2 −y 2
−x2
.
− y 2 − z 2 + 4y + 2z − 5
f) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + y − z + xy + 6
2 — Encontre os pontos crı́ticos da função f (x, y, z) = x4 +y 4 +z 4 −4xyz. Em particular, determine
a natureza do ponto crı́tico (1, 1, 1) através dos autovalores da matriz Hessiana associada.
3 — Para cada uma das funções abaixo, justifique por que um máximo global e um mı́nimo global
devem existir. Em cada caso, encontre esses valores de máximo e mı́nimo.
a) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy na região triangular de vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0),
b) f (x, y) = ex
2 +y 2 +y
; |x| ≤ 1, |y| ≤ 1,
c) f (x, y) = sen(x) + sen(y) + sen(x + y); 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ π/2.
d) f (x, y) = xy(1 − x2 − y 2 ) no quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
√
e) f (x, y) = x − y 3 no cı́rculo x2 + y 2 ≤ 4.
√
2
f) f (x, y) = x − y 3 na região x3 + y 2 ≤ 1.
g) f (x, y) = x2 − 2xy − y 2 no cı́rculo x2 + y 2 ≤ 1.
4 — Três alelos A, B e O, combinados dois a dois, determinam 4 tipos sanguı́neos possı́veis: tipo
A (dado pela combinação AA ou AO), tipo B (dado por BB ou BO), tipo AB (dado pela combinação
AB) e tipo O (dado pela combinação OO). A lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção P de
indivı́duos em uma população que carregam dois alelos distintos é:
P (p, q, r) = 2pq + 2pr + 2rq,
onde p, q e r são, respectivamente, as proporções dos alelos A, B e O na população. Use o fato de que
p + q + r = 1 (já que esses três alelos são os únicos possı́veis), para mostrar que P no máximo 2/3.
5 — Resolva os exercı́cios abaixo de duas maneiras: (i) sem usar multiplicadores de Lagrange e (ii)
usando multiplicadores de Lagrange
a) Determine a menor distância do ponto (2, 0, −3) ao plano x + y + z = 1
b) Quais são os pontos do cone z 2 = x2 + y 2 que estão mais próximos do ponto (4, 2, 0)?
c) Encontre 3 números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é maximo.
d) Encontre as dimensões de uma caixa retangular de 1000cm3 que possui a menor área superfı́cial
possı́vel.
e) A base de um aquário de volume V é feito de uma certa rocha, enquanto suas laterais são feitas
de vidro. Sabendo que a rocha em questão é, por unidade de área, cinco vezes mais cara que o
vidro, encontre as dimensões do aquário que minimizam o custo dos materiais.
f) Determine o volume máximo de uma caixa retangular inscrita no elipsóide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
6 — Determine os valores máximo e mı́nimo, se existirem, da função f (x, y) = x2 + y 2 + z 2 sujeita
aos vı́nculos x + y + z = 1 e x + 2y + 3z = 6.
7 — A interseção entre as superfı́cies x2 − xy + y 2 − z 2 = 1 e x2 + y 2 = 1 é uma curva. Encontre
os pontos dessa curva que são mais próximos à origem.
8 — (Método dos Mı́nimos Quadrados) Dados n números distintos x1 , ..., xn e mais n números (não
necessariamente distintos) y1 , ..., yn é, em geral, impossı́vel encontrar uma reta f (x) = mx + b que
passe por todos os pontos (xi , yi ) do plano R2 , i.e., que satisfaça yi = f (xi ) para todo i. Isso acontece
frequentemente quando estamos realizando um experimento (por exemplo no laboratório de Fı́sica ou
de Quı́mica). Fazemos as medidas, anotamos pares de valores na forma (xi , yi ) que deveriam estar
relacionados linearmente, mas quando plotamos o gráfico vemos que os pontos não estão exatamente
alinhados. Isso é natural e está relacionado, entre outras coisas, a erros experimentais. Mesmo assim,
é muito importante nos perguntarmos qual a reta (i.e. quais os coeficientes m e b) que melhor se
ajusta aos dados experimentais. Para quantificar isso, definimos uma função erro (que depende de m
e b) e mede o quão bem a reta f (x) = mx + b se aproxima dos dados experimentais. Essa função erro,
denominada “erro quadrático total” é dada por
E(m, b) =
n
X
2
(f (xi ) − yi ) =
i=1
n
X
(mxi + b − yi )2 .
i=1
Note que as únicas variáveis da função erro são m e b, uma vez que todos os pontos (xi , yi ) são
conhecidos (foram obtidos no experimento). Encontre, em função dos valores de xi e yi , quais são os
parâmetros m e b que minimizam a função erro E(m, b). Esse é Método dos Mı́nimos Quadrados para
se linearizar um conjunto de pontos. A figura abaixo ilustra graficamente o método.
Figura 1: figura retirada do livro do Stewart (7a. ed.)
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