Mecânica dos Fluidos
Fundamentos da Cinemática
dos Fluidos
Tópicos
> Introdução
> Descrição do movimento dos fluidos
Descrição Lagrangiana e Euleriana do movimento
Velocidade
Linhas de trajetória, Linhas de Emissão e Linhas de correntes
Aceleração
> Classificação de Escoamento
Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais
Escoamentos Viscoso e Não-viscosos
Escoamentos Laminares e Turbulentos
Escoamentos Incompressíveis e Compressíveis
O que estuda a
Cinemática?

A cinemática dos fluidos
estuda o movimento dos
fluidos em termos dos
deslocamentos,
velocidades e
acelerações, sem levar
em conta às forças que o
produzem;
Campo de velocidade

A cinemática dos fluidos estuda o movimento dos
fluidos em termos dos deslocamentos, velocidades
e acelerações, sem levar em conta às forças que o
produzem;
 dr




V  ux, y, z, t i  vx, y, z, t  j  wx, y, z, t k
z
V
A
dt
Trajetória da partícula
Partícula A
no instante t
rA(t)
rA(t+dt)
X
Partícula A
no instante
t+dt
y
Métodos para o estudo da
cinemática dos fluidos

Método de Lagrange

Método de Euler
Método de Lagrange



Descreve o movimento de cada partícula acompanhandoa em sua trajetória real;
Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas;
Para a engenharia normalmente não interessa o
comportamento individual da partícula e sim o
comportamento do conjunto de partículas no processo de
escoamento.
Método de Euler


Consiste em adotar um intervalo de tempo,
escolher uma seção ou volume de controle no
espaço e considerar todas as partículas que
passem por este local;
Método preferencial para estudar o movimento
dos fluidos: praticidade.
Campo de velocidade: Euleriano vs. Lagrangiano
Euleriano: O movimento do fluido é descrito pela especificação completa das
propriedades necessárias (pressão, densidade, velocidade) em função das
coordenadas espaciais e temporais. Obtemos informações do escoamento em
função do que acontece em pontos fixos do espaço.
Lagrangiano: Envolve seguir as partículas fluidas e determinar como as
propriedades da partícula variam em função do tempo.
Medição da temperatura
Euleriano
Lagrangiano
Se temos muitos dados,
podemos obter informações
Eulerianas a partir de
informações Lagrangianas, ou
vice-versa.
Métodos Eulerianos são muito
usados em experimentos e
análises — um probe colocado
em um ponto do escoamento.
Métodos Lagrangianos podem
ser usados se queremos
“etiquetar” partículas de fluido
no escoamento.
Definições Importantes
Trajetória
 Linha de Corrente (Linha de fluxo)
 Tubo de corrente
 Linha de emissão (filetes)

Trajetória

Linha traçada por uma dada
partícula ao longo de seu
escoamento
z
Partícula no instante t3
Partícula no instante t2
Partícula no instante t1
X
y
Linha de Corrente


Linha que tangencia os vetores velocidade
de diversas partículas, umas após as
outras
Duas linhas de corrente não podem se
interceptar (o ponto teria duas
z
velocidades)
Partícula 2
no instante t
v2
Partícula 1
no instante t
v1
X
Partícula 3
no instante t
v3
y
Linha de Corrente
Analiticamente, para escoamentos 2D, a inclinação da linha de corrente deve
ser igual a tangente do ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo x, ou
seja:
Experimentalmente, a visualização do
escoamento com corantes pode facilmente
produzir linhas de corrente para um
escoamento permanente, mas para
escoamentos não permanentes este tipo de
experimento não necessariamente oferece
informação sobre as linhas de corrente.
Tubo de Corrente (tubo de
fluxo)


No interior de um fluido
em escoamento existem
infinitas linhas de
corrente definidas por
suas partículas fluidas
A superfície constituída
pelas linhas de corrente
formada no interior do
fluido é denominada de
tubo de corrente ou veia
líquida
Linha de Emissão (filete)

Ponto de
Referência

Linha definida pela
sucessão de
partículas que
tenham passado
pelo mesmo ponto;
A pluma que se
desprende de uma
chaminé permite
visualizar de forma
grosseira uma linha
de emissão;
Classificação do
Escoamento

Classificação Geométrica;

Classificação quanto à variação no tempo

Classificação quanto ao movimento de rotação

Classificação quanto à trajetória (direção e
variação)
Classificação Geométrica
do Escoamento
Escoamento Tridimensional:
As grandezas que regem o escoamento variam nas
três dimensões.
Escoamento Bidimensional:
As grandezas do escoamento variam em duas
dimensões ou são tridimensionais com alguma
simetria.
Escoamento Unidimensional:
São aqueles que se verificam em função das linhas de
corrente (uma dimensão).

Classificação do
Escoamento

Quanto à variação no tempo:


Permanente:
As propriedades médias estatísticas das
partículas fluidas, contidas em um volume
de controle permanecem constantes.
Não Permanente
Quando as propriedades do fluido mudam
no decorrer do escoamento;
Escoamento: Permanente e Não Permanente
Dependência com o Tempo
Não Permanente

0
t
Permanente

0
t
Classificação do
Escoamento

Quanto à Variação da trajetória:


Uniforme:
Todos os pontos de uma mesma trajetória
possuem a mesma velocidade.
Variado:
Os pontos de uma mesma trajetória não
possuem a mesma velocidade.
Classificação do
Escoamento

Quanto ao movimento de rotação (atrito):


Rotacional: A maioria das partículas
desloca-se animada de velocidade angular
em torno de seu centro de massa;
Irrotacional: As partículas se
movimentam sem exibir movimento de
rotação (na maioria das aplicações em
engenharia despreza-se a característica
rotacional dos escoamentos)
Classificação do
Escoamento

Quanto à compressibilidade:


Compressível: as propriedades do fluido
variam conforme a posição da partícula;
Imcompressível: as propriedades não
mudam com a posição.
Classificação do
Escoamento

Quanto à Direção da trajetória:
 Escoamento Laminar:
As partículas descrevem trajetórias
paralelas. O fluido flui em camadas ou
lâminas. (Re < 2000)

Escoamento turbulento:
As trajetórias são caóticas. Escoamento
tridimensional das partículas de fluido. As
componentes da velocidade apresentam
flutuações ao redor da média (Re > 4000).
Classificação do
Escoamento
Laminar
Turbulento
Conseqüências do desprendimento de vórtices:
Ponte sobre o Rio Tacoma, USA
Visualização de escoamentos
Injeção de corante
Filmes:
* Laminar and Turbulent Flows
* Drag and Lift
Visualização de escoamentos:
Campo de velocidades: representação gráfica dos vetores
velocidade do escoamento.
Velocidades próximas à
superfície do nariz de um
trem de alta velocidade (TGV)
Planos de velocidades instantâneas (em instantes de tempo diferentes) - Re = 104
Visualização de escoamentos:
Campo de vorticidade: representação gráfica dos vetores vorticidade do
escoamento.
CILINDRO
Vorticidade:


   V
Plano de velocidades
instantâneas, ReD = 104
Campo instantâneo de vorticidade, ReD = 4300.
Detalhe com os vetores velocidade
Aceleração de uma partícula fluida:





 DV V
V
V
V
a

u
v
w
Dt
t
x
y
z
aceleração
local
aceleração
convectiva

Du u
u
u
u

u
v
w
a x 
Dt
t
x
y
z


Dv v
v
v
v

u
v
w
a y 
Dt
t
x
y
z


Dw w
w
w
w

u
v
w
a z 
Dt
t
x
y
z

Em coordenadas cartesianas:
Q  
 
V  n dA
Vazão mássica:
  
m
 
 V  n dA
Velocidade média:
V
Vazão ou descarga:
A
A
Q
A
Exercício 1
Dado o campo de velocidades:




2
2
V  10  i  x  y  j  2xy  k


Qual é a aceleração do fluido no ponto
(3, 1, 0)?
Exercício 2
Dado o campo de velocidades:




2
2
V  6  2xy  t  i  xy  10t  j  25  k




Qual é a aceleração do fluido no ponto
(3, 1, 0) e no instante t = 1?
Taxas de escoamentos
Vazão ou descarga
Vazão mássica
Velocidade média
Taxas de escoamentos

Vazão em Volume
Vazão é a quantidade em volume de fluido
que atravessa uma dada seção do escoamento por
unidade de tempo.
Vazão ou descarga:
Q  
A
 
V  n dA
Taxas de escoamentos

Vazão em Massa
Vazão em massa é a quantidade em massa do fluido
que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade
de tempo.
Vazão mássica:
  
m
A
 
 V  n dA
Taxas de escoamentos

Velocidade média
É uma velocidade hipotética, constante ao
longo de toda a seção transversal do tudo de
corrente, que nos permite calcular a vazão num
dado instante.
Exercício 3
A velocidade axial do escoamento laminar
(completamente desenvolvido) em um conduto
circular de raio R está dado por:

r2 
u  umax 1  2 
 R 
Determine a vazão, a velocidade média
e a tensão de cisalhamento.
Escoamento
Turbulento
Escoamento
laminar no
fundo e
turbulento na
superfície
Escoamento
Turbulento
Classificação de Escoamento
forças de inercia
VL VL
Re 


forças de vis cosidade


V - velocidade média do fluído
L - longitude característica do fluxo, o
diâmetro para o fluxo no tubo
 - viscosidade cinemática do fluído
ρ – massa específica
Classificação de Escoamento
Re  2000  Escoam entoLa min ar
2000 Re  4000  Transição
Re  2000  Escoam entoTurbulento
PROBLEMAS CLASSIFICAÇÃO
DOS ESCOAMENTOS
Exercício 4
Considere cada um dos seguintes escoamentos
e diga se pode ser aproximado como
escoamento, uni, bi ou tridimensional
a) 2D (r, z) b) 2D (x, y)
c) 2D (r, z) d) 2D (r, z)
e) 3D (x, y, z)
f) 3D (x, y, z)
g) 2D (r, z) h) 1D (r)
Exercício 5
Ar a 400C
escoa em um duto de aquecimento
retangular de 30x6cm a uma velocidade média de
4m/s. O escoamento é laminar ou turbulento?
Exercício 6
Um escoamento de água em um canal retangular
muito largo, de profundidade H, apresenta um
perfil de velocidades laminar dado por u = Uo (1
– h2/H2). Se Uo = 2,8 ft/s e H = 8 ft, calcule a
vazão e a velocidade média nessa seção. Calcule
a tensão de cisalhamento no fundo do canal.
Exercício 7
Um campo de velocidade é dado por
V=(2t+2)i+2tj (m/s). Esboce a linhas de
trajetória de uma partícula até t=5s, que parte
da origem em t=0. Esboce também as linhas de
corrente em t=5s.