Matemática LIVRO 3 | Unidade 2 | Avaliação Capítulos 4, 5 e 6
1. Uma caixa sem tampa é feita a partir de um pedaço quadrado de cartolina de 18 cm de lado, removen-
do de cada canto um pequeno quadrado de lado x e dobrando as abas resultantes. Qual deve ser o valor de x para que o volume da caixa seja de 432 cm3?
2. As dimensões de um paralelepípedo reto e retângulo são dadas pelas raízes do polinômio
p(x) = 3x3 - 13x2 + 7x -1. Determine o volume e a área lateral desse paralelepípedo.
3. Determine o número de pontos que são comuns aos gráficos dos seguintes polinômios: f(x) = 4 – x2 e
g(x) = x6 + 5.
4. Determine o resto na divisão do polinômio p(x) = x98 + x – 1 por d(x) = x2 – 1.
5. Quantas raízes racionais possui o polinômio p(x) = x5 – x3 + 2x2 – 2? E irracionais?
6. Considere o número complexo z =
√2+√2 i
.
2
2
a) Escreva a forma polar de z.
b) Calcule: 1 + z + z2 + z3 + ... + z15
7. Seja z = a + bi um número complexo tal que z + |z| = 8 + 4i. Determine o valor do módulo de z.
8. Representando no plano complexo as imagens das raízes cúbicas da unidade e unindo os pontos des-
sas representações, obtemos um polígono regular. Nessas condições, faça o que se pede:
a) Encontre as raízes cúbicas da unidade.
b) Calcule a área e o perímetro do polígono formado.
9. Encontre as raízes reais do polinômio p(x) dado abaixo:
x
1
-2
3
0 (x - 2)
5
1
p(x) = 0
0 (2x - 6)
5
0
0
0
(x + 5)
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Texto para questão 10.
“Vejamos a energia elétrica em corrente alternada que abastece nossas residências e as empresas pelo mundo
afora. Foi no final dos anos 1800 que ela passou a ter condições de sair dos laboratórios para ser oferecida ao
público, mas assim que as primeiras redes começaram a serem estendidas, nos EUA, os engenheiros depararamse com problemas técnicos que não eram capazes de elucidar. Thomas Alva Edison, que inventara a lâmpada
elétrica em 1879 e criara sua empresa de eletricidade, ficou tão perplexo diante daqueles problemas que chegou
a pensar em abandonar as correntes alternadas e apenas trabalhar com correntes contínuas, mas isso também
implicava enormes dificuldades tecnológicas à época. As coisas encontravam-se nesse impasse quando, em
1889 o matemático alemão Karl Steinmetz desembarcou em Nova York e conseguiu um emprego na General
Electric. Ali, ficou sabendo das dificuldades dos engenheiros com os cálculos envolvendo as correntes alternadas e decidiu ajudá-los. Não tardou muito e ele constatou que os problemas que desafiavam os engenheiros
poderiam ser resolvidos por meio dos chamados números complexos, mais especificamente pela utilização
da fórmula de Euler (ei = cos + isen), descoberta por ele no século XVIII e que, aparentemente, não tinha
nenhuma utilidade prática.”
Garbi, Gilberto G.
Para que serve isso?
Revista do Professor de Matemática, no 63. São Paulo, IME – USP, 2007, p. 03.
10. Utilizando a fórmula de Euler, escreva a forma exponencial do seguinte número complexo: z = 1 + √ 3 i.
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Respostas
1. x = 3 cm
2. Esse paralelepípedo possui volume igual a 1/3 unidades de volume e área lateral de 14/3 unidades de
área.
3. Zero, pois f(x)  4  x  R e g(x)  5  x  R.
4. R(x) = x
3
5. P(x) possui 2 raízes racionais (1 e -1) e 1 raiz irracional ( √ -2)
6. a) z = cos45° + i.sen45°.
b) 0
7. |z| = 5
1 +√a i
1 √a i
8. a) wo = 1, w1 = 
e w2 = 
2
b) A =
2
2
2
a√ a
unidades de área e P = 3 √ 3 unidades de comprimento.
4
9. S = {-5, 0, 2, 3}
i
10. z = 2.e 3