1. Determine o valor de A, B e C em:
1
A
Bx + C
=
+ 2
x −1 x −1 x + x +1
3
A ( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1)
1
A
Bx + C
=
+
=
x3 − 1 x − 1 x 2 + x + 1
( x − 1) ( x 2 + x + 1)
1
x3 − 1
=
( A + B ) x2 + ( A − B + C ) x + A − C
x3 − 1
.
0 x2 + 0 x + 1 = ( A + B ) x2 + ( A − B + C ) x + A − C
A + B = 0
A − B + C = A − ( − A ) + ( A − 1) = 0
B = −A

→
A − B + C = 0 →
C = A − 1 A = 1 3, B = − 1 3, C = − 2 3
A − C =1

2. Dividindo o polinômio y ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 7 x − 3 por um polinômio h(x), obtém-se o
quociente q ( x ) = x − 1 e o resto r ( x ) = 2 x − 1 . Determine h(x).
numerador
resto
= quociente +
divisor
divisor
Se H = h( x)
x3 − 4 x 2 + 7 x − 3
2x −1
= x −1+
H
H
3
2
x − 4 x + 7 x − 3 − ( 2 x − 1) = ( x − 1) H
x3 − 4 x 2 + 5 x − 2
H=
= x2 − 3x + 2
x −1
2
h( x) = x − 3 x + 2
3. Calcule o valor de a sabendo que o polinômio y ( x ) = 2 x3 + 4 x 2 − 5 x + a é divisível
por h ( x ) = x − 1 .
y ( x) 2 x 3 + 4 x 2 − 5 x + a
=
=Q
h( x)
x −1
r e sto = 0
2 x3 + 4 x 2 − 5 x + a x −1
−2 x 3 + 2 x 2
2 x2 + 6 x + 1
0 + 6 x2 − 5x
−6 x 2 + 6 x
0 +x+a
− x +1
0 + a + 1 = resto = 0
→ a = −1
4. Determine o valor de m, n e p para que:
( mx
2
+ nx + p ) ( x + 1) = y ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 − 2 x − 3
( mx
2
+ nx + p ) ( x + 1) = y ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 − 2 x − 3
mx3 + ( n + m ) x 2 + ( p + n ) x + p = 2 x 3 + 3 x 2 − 2 x − 3
por comparação: m = 2, n + m = 3 → n = 1, p = −3
5. Calcule as divisões abaixo:
8x5 − 6 x2
= 4 x 4 − 3x
2x
2
3 x y − 18 xy 2
c)
= x − 6y
3 xy
a)
e)
10 x 3 − 31x 2 + 26 x − 3
= 2x − 3
5x2 − 8x + 1
15 x 3 − 4 x 2
4
= −3 x 2 + x
−5 x
5
2
2
4 x y + 2 xy − 6 xy
d)
= −2 x + 3 y − 1
−2 xy
b)
f)
7 x3 + 27 x 2 − 3 x + 4
= 7 x2 − x + 1
x+4
6. Um polinômio corta o eixo das abscissas em -1, 2 e 5, quando a variável dependente
é igual a zero. Calcule pelo menos um polinômio de grau 3 que passa pelos pontos.
se a variável dependente y ( x) é zero,
então x1 = −1, x2 = 2 e x3 = 5 são as raízes do polinômio.
Portanto ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = y ( x) = 0
y ( x) = ( x + 1)( x − 2 )( x − 5 )
y ( x) = ( x 2 − x − 2 ) ( x − 5 )
y ( x) = x 3 − 7 x 2 + 3 x + 10
7. Um polinômio de grau 2 possui raízes x1= -1 e x2=1. Esta função tem um mínimo
em y=-2. Determine esta equação.
y ( x) = ax 2 + bx + c
Para y ( x) = 0 → x1 = −1, x2 = 1
∆
b
→ ∆ = b 2 − 4ac e xmin = −
4a
2a
O valor de xmin é o valor de simetria entre as raízes, isto é, xmin = 0
O ponto de mínimo é ymin = −2, mas ymin = −
b
=0→b =0
2a
b 2 − 4ac 4ac
ymin = −
=
= c = −2, portanto y ( x) = ax 2 + bx + c = ax 2 − 2
4a
4a
−
As raízes são: ax 2 − 2 = 0 → x = ±
2
a
→
x1 = −1 = −
2
a
e
x2 = 1 =
2
a
2
2
=1→ =1→ a = 2
a
a
portanto y ( x) = 2 x 2 − 2
8. Uma reta passa pelos pontos (x=1, y=2) e (x=2, y=4). Determine a equação desta
reta. Outra reta, paralela a esta, passa pelo ponto (x=0, y=5). Determine a equação
desta reta.
y ( x) = ax + b
a=
∆y y2 − y1 4 − 2
=
=
=2
∆x x2 − x1 2 − 1
Para x = 1, y = 2
y ( x) = 2 x + b = 2 + b = 2 → b = 0
y ( x) = 2 x
Uma reta é paralela se possui o mesmo coeficiente angular, logo:
como passa no ponto x = 0, y = 5
y paralela ( x) = 2 ⋅ 0 + bparalela = 5 → bparalela = 5
y paralela ( x) = 2 x + 5
9. Uma reta passa pela origem e pelo ponto (x=1,
y=2).
Ela corta outra reta
perpendicularmente a esta, que passa pelo mesmo ponto (x=1, y=2). Determine a
equação destas retas.
y ( x) = ax + b , passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2)
y⊥ ( x) = a⊥ x + b⊥ , passa pelo ponto (1, 2)
a=
∆y y2 − y1 2 − 0
=
=
=2
∆x x2 − x1 1 − 0
e y (0) = 2 ⋅ 0 + b = 0 → b = 0
θ = arctan ( 2 ) ≈ 0, 35π
Se y⊥ ( x) é perpendicular a y ( x), então existe um ângulo de 90o , ou
θ⊥ = θ +
π
2
π
2
, entre as retas
≈ 2,678
a⊥ = tan (θ ⊥ ) = tan ( 2,678 ) = −
1
2
1
1
5
y⊥ ( x) = a⊥ x + b⊥ = − x + b⊥ → y⊥ (1) = − ⋅1 + b⊥ = 2 → b⊥ =
2
2
2
1
5
y⊥ ( x ) = − x +
2
2
10. Uma tela retangular com área de 9600 cm2 tem de largura uma vez e meia a sua
altura. Quais são as dimensões desta tela?
área = 9600 área = a = h ⋅ l
 1
mas l = 1 +  h
 2
5
 1
a = h 1 +  h = 9600 → h 2 = 9600 → h 2 = 3840 → h ≈ 62
2
 2
l ≈ 155
11. O número x= –3 é raiz da equação y ( x ) = x 2 − 7 x − 2c . Determine o valor de c.
y ( x ) = x 2 − 7 x − 2c
( x + 3)( x − r ) = 0
x 2 + ( 3 − r ) x − 3r = 0
3 − r = −7 → r = 10
− 3r = −2c → c = 15
12. O polinômio y ( x) = x ² – ( p + 5 ) x + 36 o possui raízes reais e iguais, então, determine
o valor de p.
y ( x) = x ² – ( p + 5 ) x + 36
y ( x) = ( x − r )( x − r ) = x ² – 2rx + r 2
r 2 = 36 → r = ±6
–2r = – ( p + 5 ) → p + 5 = 2r → p = 2 ( ±6 ) − 5 → p1 = 7, p2 = −17
13. Se p(x) é um polinômio de grau 5, calcule o grau do
polinômio
1
h ( x ) =  p 2 ( x ) + 2 p ( x ) + 1 2 .
h ( x ) =  p 2 ( x ) + 2 p ( x ) + 1
1
2
1
2
h ( x ) = ( p ( x ) + 1)  = p ( x ) + 1


Portanto h( x) também tem grau 5.
2
14. Dado o polinômio y ( x ) = x n + x n −1 + ... + x 2 + x + 3 , se n for ímpar, calcule y(–1).
y ( x ) = x n + x n −1 + ... + x 2 + x + 3
( −1)
par
=1 e
( −1)
ímpar
= −1
como o primeiro elemento x n = xímpar = −1 e x n −1 = x par = 1
portanto, a soma até x 2 é nula.
logo y ( −1) = −1 + 3 = 2
15. Dado o polinômio p ( x ) = x3 – 2 x 2 + mx –1 , onde m é um número real.
p(2)=3.p(0), calcule o valor de p(m).
p ( x ) = x3 – 2 x 2 + mx –1
p ( 2) = 3 ⋅ p (0)
23 – 2 ⋅ 2 2 + m ⋅ 2 – 1 = 3 ( –1
)
2 m = −2
m = −2
3
2
p (m) = ( −2 ) – 2 ( −2 ) + ( −2 )( −2 ) – 1
p (m) = −13
Se
16. Um polinômio de grau 2 tem raízes 1 e 3. Este polinômio possui um ponto de
mínimo em y = –k. Determine este polinômio.
y = ( x − k )( x − m ) = x 2 − (k + m) x + km
xmin =
k +m
b
b
=−
→ k + m = − → b = − ( k + m) a
2
2a
a
2
ymin
2
2
(k + m) a = s
b 2 − 4ac
4ac − b 2 4ac − ( k + m ) a
=−
=s→
=
=c−
4a
4a
4a
4
( k + m)
c= s+
2
a
4
2
y ( x ) = ax − ( k + m )
2
(k + m)
ax + s +
y ( x ) = x − 4x + s + 4
4
2
a