Prof. Robson Rodrigues da Silva
5.8 Raízes complexas
Teorema Seja p(x) um polinômio de coeficientes reais, ou seja, p(x)  R[x]. Se o número complexo z é raiz
de p(x) então o conjugado de z também é raiz.
Demonstração. Exercício.
5.9 Relações de Girard
Albert Girard (1595 – 1632) foi o primeiro matemático a perceber claramente
que, com a aceitação dos números complexos, o número de raízes de um
polinômio com coeficientes numéricos é igual ao seu grau. A visão e ousadia
matemática de Girard fizeram com que seu nome ficasse associado às relações
entre os coeficientes e as raízes de um polinômio.
5.9.1 Relações de Girard para um polinômio do 2o Grau
Considere o polinômio p(x) = ax2 + bx + c, com a  0, cujas raízes são x1 e x2. Então temos:
x1 + x2 = - b/a
x1.x2 = c/a
Esse resultado também é conhecido como soma e produto das raízes de uma equação de 2 o grau, e
pode ser encontrado utilizando identidade de polinômios.
5.9.2 Relações de Girard para um polinômio do 3o Grau
Sendo p(x) = ax3 + bx2 + cx + d um polinômio cujas raízes são x1, x2 e x3 temos:
x1 + x2 + x3 = - b/a
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
x1.x2.x3 = -d/a
Exercícios
1. Sendo x1, x2 e x3 as raízes do polinômio p(x) = x3 – 2x2 + 3x – 4, calcule:
a) a soma dos inversos da raízes de p(x);
b) a soma dos quadrados das raízes de p(x).
2. Determine as raízes de p(x) = x3 – 4x2 + 6x – 4 sabendo-se que 1 + i é uma de suas raízes.
3. Resolva a equação x3 + 5x2 – 12x – 36 = 0, sabendo-se que uma raiz é igual ao produto das outras
duas.
4. Resolva a equação x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0 sabendo-se que uma das raízes é a média aritmética das
outras duas.