ISSN 2317-3297
Frequências e modos de vibração de duas cordas acopladas
Vinicius Weide Rodrigues
Universidade Federal de Santa Maria
Programa de Pós-Graduação em Matemática
97105-900, Cidade Universitária, Santa Maria, RS
E-mail: [email protected]
Rosemaira Dalcin Copetti
Universidade Federal de Santa Maria
Departamento de Matemática
97105-900, Cidade Universitária, Santa Maria, RS
E-mail: [email protected]
Palavras-chave: Cordas, frequêcias naturais, modos de vibração, Bernoulli-Fourier
Resumo: Neste trabalho consideremos um sistema composto por duas cordas homogêneas de
mesmo comprimento, conectadas paralelamente por uma camada elástica tipo Winkler. São
consideradas as pequenas vibrações do sistema livre e o termo de amortecimento é desconsiderado. As frequências e os modos de vibração do sistema são encontrados através do Método de
Bernoulli-Fourier. São considerados três casos, os quais dependem da frequência do sistema
acoplado e da frequência natural de um sistema discreto com dois graus de liberdade formado
por dois sólidos rı́gidos que modelam as cordas conectadas pelo elemento elástico. Cada caso é
resolvido utilizando-se as condições iniciais e de contorno do problema.
1
Introdução
O estudo de problemas que envolvem vibrações são assuntos importantes em diversas áreas das
engenharias e tem sido objeto de muitas pesquisas realizadas nos últimos anos. Sistemas envolvendo cordas, cabos e correntes, embora sejam sistemas mais simples, frequentemente aparecem
em estruturas modernas de engenharia, ressaltando a importância de estudos envolvendo estes
elementos. A análise do movimento transversal de uma corda é assunto constante de cursos
básicos, mas também é objeto de estudos mais avançados [4]. No desenvolvimento destes estudos, são utilizadas diferentes técnicas de resolução de equações diferenciais parciais bem como
o uso de métodos numéricos eficientes para a análise dos resultados encontrados. Neste trabalho obtemos, pelo método de Bernoulli-Fourier, as frequências e os modos de vibração ou
autofunções de um sistema formado por duas cordas homogêneas de mesmo comprimento, sujeitas a uma tensão constante e acopladas através uma camada elástica [2]. Na sequência deste
trabalho, os modos de vibração são escrito em termos de uma base gerada pela solução de um
problema de valor inicial [1], que devido as condições iniciais reduz os cálculos das constantes
a serem determinadas. Vibrações forçadas para este problema são consideradas no trabalho de
Oniszczuk, [3] e também será objeto de nosso estudo.
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Vibrações Livres
Consideremos um sistema formado por duas cordas homogêneas paralelas de mesmo comprimento L, conectadas por uma camada elástica Winkler e apoiadas nas extremidades. As cordas
estão sujeitas a uma tensão constante. Considerando pequenas vibrações do sistema e desprezando o amortecimento, as equações que governam as deflexões transversais são dadas por:
m1 ẅ1 − S1 w100 + k(w1 − w2 ) = 0,
m2 ẅ2 −
S2 w200
+ k(w2 − w1 ) = 0,
(1)
(2)
onde, wi = wi (x, t) é a deflexão transversal da corda, x, t são,respectivamente, as coordenadas
espacial e temporal, k é o módulo de rigidez do modelo elástico de Winkler, Si é a tensão da
∂wi
0
i
corda, ẇi = ∂w
∂t e wi = ∂x sendo i = 1 para a primeira corda e i = 2, para a segunda. As
condições de contorno para o sistema composto pelas duas cordas apoiadas são:
w1 (0, t) = w2 (0, t) = 0,
(3)
w1 (L, t) = w2 (L, t) = 0,
(4)
w1 (x, 0) = w10 (x),
(5)
ẇ1 (x, 0) = v10 (x),
(6)
w2 (x, 0) = w20 (x),
(7)
ẇ2 (x, 0) = v20 (x).
(8)
com condições iniciais dadas por:
Neste trabalho, é usado o método de Bernoulli-Fourier para determinar as frequências e os
modos de vibração para o sistema acoplado. Os modos de vibração satisfazem um conjunto de
duas equações diferenciais ordinárias:
S1 X100 + (m1 ω 2 − k)X1 + kX2 = 0,
S2 X200 + (m2 ω 2 − k)X2 + kX1 = 0.
(9)
As soluções da equação caracterı́stica são dadas a partir de uma equação biquadrada e
permitem dividir o problema em três casos, considerados a partir da frequência do sistema:
quando ω 2 > ω02 , ω 2 < ω02 e quando ω 2 = ω02 , onde ω0 é a frequência natural de um sistema
discreto com dois graus de liberdade formado por dois sólidos rı́gidos que modelam as cordas
conectadas pelo elemento elástico. Se ω 2 > ω02 , a equação caracterı́stica do sistema (9) possui
quatro raı́zes reais. Pelo princı́pio da superposição, os modos de vibração podem ser escritos na
forma
X1 (x) =
X2 (x) =
2
X
[Ai sin(ki x) + Bi cos(ki x)],
i=1
2
X
[Ci sin(ki x) + Di cos(ki x)].
(10)
(11)
i=1
Usando as condições de contorno (3) e (4) obtemos a condição
sin(ki l) = 0,
(12)
nπ
portanto os autovalores ki são da forma kn =
, n = 1, 2, ... A partir daı́, pode-se encontrar
l
as frequências associadas e finalmente escrever as vibrações livres da forma:
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w1 (x, t) =
w2 (x, t) =
∞
X
2
X
sin(kn x)
[Ain sin(ωin t) + Bin cos(ωin t)],
(13)
[Ain sin(ωin t) + Bin cos(ωin t)]ain
(14)
n=1
∞
X
2
X
n=1
i=1
i=1
sin(kn x)
onde ai é constante para cada n e depende dos parâmetros do sistema.
Usando-se as condições iniciais (5)-(8) e a ortogonalidade das autofunções, encontram-se as
constantes envolvidas na solução acima:
−1
Z
l
(a2n v10 − v20 ) sin(kn x) dx,
A1n = (c1n ω1n )
0
−1
Z
A2n = (c2n ω2n )
l
(a1n v10 − v20 ) sin(kn x) dx,
0
B1n = (c1n )−1
Z
l
(a2n w10 − w20 ) sin(kn x) dx,
0
−1
Z
B2n = (c2n )
l
(a1n w10 − w20 ) sin(kn x) dx.
0
O caso em que ω 2 < ω02 se reduz ao caso anterior, ao passo que para o caso ω 2 = ω02 a solução
é nula e, portanto, sem interesse.
3
Conclusão
Neste trabalho consideramos o problema de determinar as frequências e os modos de vibração
ou autofunções resultantes de um sistema de duas cordas acopladas elasticamente. A análise
das soluções encontradas permite concluir que as vibrações livres para o sistema são realizadas
por dois tipos de movimento, sı́ncrono e assı́ncrono, dependendo da frequência do sistema. Para
frequências mais altas, o modo de vibração do sistema é assı́ncrono, ao passo que para frequências
mais baixas é sı́ncrono.
Referências
[1] J. R. Claeyssen and G. Canahualpa and C. Jung, A Direct Approach to Second-Order
Matrix Non-Classical Vibrating Equations, Appl. Numer. Math., 30(1) (1999) 65-78.
[2] Z. Oniszczuk, Transverse vibrations of elastically connected double-string complex system
Part I: Free Vibrations, J. Sound V., (2000), 232(2), 355-366.
[3] Z. Oniszczuk, Transverse vibrations of elastically connected double-string complex system
Part II: Forced Vibrations, J. Sound V., (2000), 232, 367-386.
[4] D. Wolf, H.Müller. Normal vibration modes of stiff strings, J. Acoust. Soc. Am., 44, (1968),
1093-1097.
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