Universidade de Coimbra
mecânica Clássica II | 2009.2010
Problemas sobre osciladores acoplados /série 2
1. Um pêndulo duplo tem duas massas m1 e m2 penduradas em cordas de comprimento igual e massa desprezável.
(a) obtenha os modos normais de vibração
(b) mostre que quando a massa m2 do pêndulo inferior é muito menor que m1 as
duas frequências ressonantes são quase iguais.
(c) suponha que inicialmente o pêndulo está parado, estando o de baixo em
posição vertical e o de cima com um pequeno ângulo θ0 em relação à vertical, sendo assim largado. Descreva o movimento de ambos os pêndulos em
instantes posteriores. Mostre que nas condições da alı́nea anterior se obtêm
batimentos.
(d) calcule as coordenadas normais e interprete-as.
2. Três pêndulos idênticos, de comprimentos ℓ e massas m, estão suspensos de um suporte que pode oscilar, de maneira que os movimentos dos pêndulos estão acoplados.
A constante de acoplamento entre os pêndulos é ǫ (i.e. a energia de interacção entre
os pêndulos i e j é −ǫθi θj , sendo θi o ângulo do pêndulo i com a vertical). Esta
constante de acoplamento depende em última instância da estrutura de suporte.
(a) Calcule as frequências próprias e os estados próprios de pequena oscilação do
sistema.
(b) Verifique se há degenerescência das soluções e analise nesse caso a ortogonalidade dos vectores próprios.
3. A configuração de equilı́brio de uma molécula triatómica pode ser representada
por 3 átomos iguais de mass m localizados nos vértices de um triângulo rectângulo
isósceles, acoplados entre si por constantes elásticas equivalentes, K. Calcule as
frequências próprias (não nulas) de vibração desta molécula.