FÍSICA EXPERIMENTAL III
1o semestre
1992
12a EXPERIÊNCIA
Objetivos:
- Obter no osciloscópio as conhecidas ‘Figuras de Lissajous’.
- Utilizá-las na determinação da razão entre as frequências de duas voltagens senoidais.
- Utilizá-las na determinação da diferença de fase, no caso em que as frequências são
iguais.
Material utilizado:
- 1 osciloscópio
- 2 geradores de tensões senoidais
Introdução
Parte 1
Estudaremos agora o análogo elétrico do sistema mecânico mostrado na Fig.24, em
que o movimento do centro de massa do corpo resulta da composição de duas oscilações
harmonicas ortogonais. Com a origem no ponto de equilı́brio, o vetor posição será dado
por:
r(t) = ix(t) + jy(t)
onde
x(t) = Ax sin(ωx t + φx )
y(t) = Ay sin(ωy t + φy )
No que se segue, é interessante lembrarmos da seguinte noção da geometria: dois
segmentos de reta, de comprimentos l e l0 , são ditos serem comensuráveis se existir pelo
menos um segmento de comprimento u que esteja contido um número inteiro de vezes
tanto em l como em l0 , ou seja, tal que sendo m e n dois números inteiros não nulos:
l0 = nu
l = mu
Lembremos também, que um importante subconjunto dos números reais é aquele
constituido pelos números racionais—aqueles que podem ser expressos como a razão entre
dois números inteiros. Ora, temos que
l/l0 = m/n
ou seja, a razão entre duas quantidades comensuráveis é um número racional. A √
diagonal
e o lado de um quadrado são incomensuráveis e sua razão é o número irracional 2.
Ainda que as oscilações componentes sejam periódicas, a trajetória descrita no plano
só o será se formar uma curva fechada, ou seja, se existir um perı́odo comum T , tal que
y(t0 ) = y(t0 + T )
x(t0 ) = x(t0 + T )
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por substituição direta, obtem-se que
ωy T = 2π · ny
ωx T = 2π · nx
onde ny e nx são inteiros não nulos. Dividindo membro a membro,
ωy /ωx = ny /nx
Teremos uma curva fechada, ou Figura de Lissajous, somente se as frequências vertical e
horizontal forem comensuráveis.
Parte 2
Resumo de algumas propriedades:
- A trajetória do ponto, fechada ou não, está contida no interior de um retângulo de
altura 2Ay e largura 2Ax .
- No caso em que as frequências são iguais, ωy = ωx , pode-se eliminar o tempo entre as
equações obtendo-se
y2
xy
x2
+
−2
cos(φy − φx ) = sin2 (φy − φx )
2
2
Ax
Ay
Ax Ay
que representa (veja Fig.26):
- uma elipse, quando −1 < cos(φy − φx ) < +1
- um cı́rculo, quando cos(φy − φx ) = 0 e Ay = Ax
- um segmento de reta, quando cos(φy − φx ) = ±1
apenas neste caso (frequências iguais), a observação da Figura de Lissajous permite
identificar a diferença de fase entre as duas oscilações componentes.
- No caso em que as duas frequências são diferentes mas sua razão é racional, obtemse Figuras de Lissajous do tipo mostrado na Fig.27. A cada valor da razão ωy /ωx ,
corresponde uma ‘famı́lia’ de figuras cujo aspecto é determinado pelo par de valores
φy e φx . A diferença de fase inicial não se mantém durante o movimento e também
não determina o aspecto da figura.
- Como mostrado na Fig.27, a curva pode tangenciar os lados do retângulo em que
está contida, ou então pode ‘terminar’ em um vértice (o ponto retorna pelo mesmo
caminho). A regra para determinar-se, a partir da observação da Figura de Lissajous,
o valor da razão entre as frequências é:
a)- contar o número de pontos de tangência superiores (ou inferiores) e adicionar 0, 5
para cada vértice (se houver).
b)- contar o número de pontos de tangência à direita (ou à esquerda) e adicionar 0, 5
para cada vértice (se houver).
c)- ωy /ωx = a)/b).
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Atenção
Somente quando a razão entre as frequências é exatamente racional obtem-se uma
figura fixa na tela. Experimentalmente isto é difı́cil de ser conseguido. Se uma das
frequências se afastar do valor correto, digamos ωx → ωx + , teremos que
x(t) = Ax sin(ωx t + φx (t))
onde φx (t) = φx +t. O resultado é termos uma fase inicial que varia lentamente no tempo.
Na tela observa-se a lenta passagem de um membro a outro da ‘famı́lia’ de mesmo ωy /ωx .
-
Procedimento Experimental
Conecte os dois geradores de tensões senoidais ao osciloscópio, como indicado na
Fig.25.
Obtenha inicialmente as figuras correspondentes ao caso ωy = ωx . Procure identificar
as diferenças de fase e, regulando as amplitudes, obter um cı́rculo.
Ainda no caso anterior, use valores muito baixos das frequências (alguns Hertz) de
maneira a visualizar a inversão no sentido do movimento do ponto na tela. Explique.
Procure reproduzir o maior número de figuras da Fig.27 .
Complemento
Recomenda-se fortemente que o aluno obtenha uma cópia do programa LISS.EXE,
que funciona em qualquer PC. Ele reproduz no monitor ampla variedade de Figuras de
Lissajous. Está disponı́vel no LADIF (sala A-418), ou com o coordenador (sala A-307).
Basta trazer um diskette.
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