Sugestão de correcção da Sociedade Portuguesa de Matemática
Prova 23 – 2ª Chamada – 2007
3º Ciclo do Ensino Básico
1.
Número de casos possíveis: 6x6=36.
Os casos favoráveis são aqueles em que o número do dado preto (negativo) tem maior
valor absoluto que o do dado branco (positivo), assinalados na tabela que se segue:
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
6
Existem 15 casos favoráveis.
A probabilidade de o Paulo obter uma soma negativa é dada pelo quociente do número
de casos favoráveis pelo número de casos possíveis e é:
15 5
P=
=
36 12
2.1 A razão de semelhança, r, é dada por r =
2.2
0,8
= 0,2
4
A área de um triângulo é dada por
base × altura
.
2
Sendo h a medida da altura, temos:
4× h
=6⇔h=3
2
Portanto, o vértice superior do triângulo
deve ser um ponto qualquer da recta
representada a vermelho na figura.
3. O desconto obtido pelo Paulo na compra do telemóvel é 15 euros pois 75 × 0,2 = 15 .
Representando por A o valor inicial do telemóvel do João e sabendo que obteve um
desconto de 15%, que foi de 15 euros, tal como o do Paulo, temos:
0,15 × A = 15 ⇔ A = 100
O custo do telemóvel do João, sem o desconto, era de 100 euros.
4. Sendo x e y ambos positivos, a resposta correcta é a última: “Se x aumenta para o
dobro, então y diminui para metade.”
5.1.
A figura admite 4 eixos de simetria, a saber, as rectas AC, BD, FH e EG
5.2
O sólido da planificação (representado na figura) é uma
pirâmide quadrangular regular de base [ABCD].
Seja M o pé da perpendicular tirada do vértice V para a
base do sólido. Sendo M o centro do quadrado [ABCD] e
1
X o ponto médio de [AB], MX = AB = 3 . O segmento
2
C
[VM] dá-nos a altura do sólido e VX = 5 . Como o
triângulo [XVM] é rectângulo em M, temos, pelo teorema
de Pitágoras, que:
D
A
B
2
VM + 3 2 = 5 2 donde, VM = 4, ou seja, a altura do sólido
é 4 cm.
6.
Os números inteiros relativos que pertencem ao intervalo dado são:
-3, -2, -1 e 0
7.
Soma-se o número das chamadas feitas ontem por todos os alunos da turma e divide-se
pelo número de alunos da turma.
8.1
Gráfico C
8.2
Representando por x o número de segundos na rede A e por y o número de segundos na
rede B temos:
x + y = 60
0,5 x + 0,6 y = 35
⇔
x = 60 − y
30 − 0,5 y + 0,6 y = 35
⇔
x = 60 − y
0,1 y = 5
⇔
x = 10
y = 50
Portanto, o tempo total de duração das chamadas efectuadas pelo Paulo para a rede A
foi de 10 segundos.
9.
Para ser divisível por dois tem de terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Para ser divisível por três a soma dos seus algarismos tem de ser múltipla de três.
Por exemplo, o número 5022 obedece às duas condições.
10.
1,8
1,8
⇔x=
x
tg 43º
x ≈ 1,93 (às centésimas)
tg 43º=
Como os triângulos da figura são
semelhantes, temos:
1,8
1,8 × 15,93
h
=
⇔h=
14 + 1,93 1,93
1,93
h ≈ 14,86 (às centésimas)
Portanto, a altura da antena é de aproximadamente 15 metros.
11.
1 − 2x x
6 x 2 − 4 x 3x
≤ ⇔
+
≤
⇔ 6 x + 2 − 4 x ≤ 3 x ⇔ 6 x − 4 x − 3 x ≤ −2 ⇔ − x ≤ −2 ⇔ x ≥ 2
3
2
6
6
6
O conjunto solução é: [2,+∞[
x+
12.
1
9
13.
2
Se o arco AB tem 180º de amplitude, [AB] é um
diâmetro da circunferência. Como os três pontos
são pontos distintos, [AC] e [BC] não podem ser
diâmetros da circunferência, pelo que têm
comprimentos inferiores a AB , logo o triângulo
[ABC] não é equilátero.
14.
O centro da circunferência é o ponto O que
corresponde à intersecção da recta r com a
mediatriz de [AB], sendo o raio da
circunferência igual a OA ou OB .