1
UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA
Programa de Pós-graduação stricto sensu em Educação Matemática
ENCARTE À DISSERTAÇÃO:
A Geometria Dinâmica como instrumento na Formação do Professor de
Matemática: uma experiência no Colégio Santo Inácio
Thales do Couto Filho
Rio de Janeiro
2011
2
A Geometria Dinâmica como instrumento na Formação do Professor de
Matemática: uma experiência no Colégio Santo Inácio
Produto Final apresentado ao
programa de Mestrado, elaborada
junto ao Programa de Pósgraduação stricto sensu em
Educação Matemática – como
requisito parcial à obtenção do
título de Mestre em Educação
Matemática.
Orientadora: Profª. Drª. Estela Kaufman Fainguelernt
Coorientador: Prof. Doutorando Ilydio Pereira de Sá
Rio de Janeiro
2011
3
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – Uma ilusão da reta tangente a uma circunferência
FIGURA 2 – Dando vida a reta, verificando que a reta não é tangente a circunferência
FIGURA 3 – Dando vida a reta, verificando que a reta não é tangente a circunferência
FIGURA 4 – Reta tangente a circunferência
FIGURA 5 – Reta tangente a circunferência
FIGURA 6 – Duas retas tangentes a uma circunferência
FIGURA 7 – Duas tangentes a uma circunferência
FIGURA 8 – Duas tangentes a uma circunferência
FIGURA 9 – Triângulo circunscrito em uma circunferência
FIGURA 10 – Triângulo circunscrito em uma circunferência
FIGURA 11 – Mediatriz um Lugar Geométrico
FIGURA 12 – Triângulo isósceles de base AB
FIGURA 13 – Triângulo eqüilátero
FIGURA 14 – Circunferência circunscrita em um triângulo
FIGURA 15 – Traçando uma mediatriz
FIGURA 16 – Os piratas e o Tesouro
FIGURA 17 – Usando a Mediatriz
FIGURA 18 – Aplicando a Mediatriz
FIGURA 19 – Duas mediatrizes validando a situação proposta
FIGURA 20 – A reta como um lugar Geométrico
FIGURA 21 – Pontos eqüidistantes 4 cm do centro de um triângulo equilátero
FIGURA 22 – A simetria
FIGURA 23 – Um segmento do Plano R²
FIGURA 24 – A simetria central
FIGURA 25 – Reflexão em torno do eixo das abscissas
FIGURA 26 – A circunferência no plano cartesiano
FIGURA 27 – Retas concorrentes duas a duas
FIGURA 28 – Retas concorrentes duas a duas formando um triângulo retângulo
FIGURA 29 – A senoíde
FIGURA 30 – A cossenoíde
FIGURA 31 – O trapézio
8
8
8
9
9
9
10
10
11
11
12
13
14
15
16
17
17
18
18
19
20
21
21
22
23
23
24
25
25
26
27
4
LISTA DE SIGLAS
CSI – Colégio Santo Inácio
DVD – Digital Versatile Disc
EM – Ensino Médio
ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio
GD – Geometria Dinâmica
GM – Geometria
LDB – Lei de Diretrizes e Bases
PCN – Parâmetro Curricular Nacional
PPI – Paradigma Pedagógico Inaciano
RPM – Revista do Professor de Matemática
TI – Tecnologia da Informação
TIC – Tecnologia de Informação e Comunicação
u.c. – unidades de comprimento
5
SUMÁRIO
1. APRESENTAÇÃO
1ª Proposta
2ª Proposta
3ª Proposta
4ª Proposta
5ª Proposta
6ª Proposta
7ª Proposta
8ª Proposta
9ª Proposta
10ª Proposta
11ª Proposta
12ª Proposta
13ª Proposta
14ª Proposta
15ª Proposta
16ª Proposta
17ª Proposta
18ª Proposta
19ª Proposta
20ª Proposta
21ª Proposta
CONCLUSÃO
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
6
8
9
11
12
13
14
14
15
15
16
18
19
20
21
21
22
23
24
24
25
26
28
30
6
APRESENTAÇÃO
Este encarte faz parte integrante da minha dissertação do Mestrado Profissional
em Educação Matemática, que cursei na Universidade Severino Sombra, em Vassouras,
Rio de Janeiro, sob o título: A Geometria Dinâmica como Instrumento na Formação
do Professor de Matemática: uma experiência no Colégio Santo Inácio.
Esse material que está aqui sendo apresentado foi elaborado para atender aos
professores de Matemática que trabalham no Ensino Fundamental (6º ao 9º ano) e no
Ensino Médio, e aos estudantes dos cursos de Licenciatura em Matemática, com o
objetivo de apresentar sugestões de utilização dos vários softwares de Geometria
Dinâmica disponível. Para resolver as atividades usaremos o Cabrí-géomètre.
Nesse trabalho foi procurado mostrar a importância de conhecer bem os
conceitos da Matemática. Construindo junto os conteúdos e os saberes aplicados as
novas tecnologias, não abrindo mão da busca pelo novo, construindo é fazendo
conjectura de situações que possam servir de referência
Durante o trabalho da dissertação, pude rever e apreender que nos professores
temos que estar nos atualizando constantemente. Não podemos achar que conhecemos
todos os assuntos e ponto final. Que temos uma experiência e pronto. Se a repetimos,
sem nos dar conta que essa experiência muitas vezes já perdeu sua eficácia, que se
tornou obsoleta. E que deve ser revista.
Assim com esse outro olhar, é com a vocação e vontade de mudar, de apreender
mais e mais e que pude desenvolver e explorara todos os recursos disponíveis pelo
Colégio Santo Inácio visando esse trabalho.
Ao escrever a dissertação, pude verificar que uma das grandes dificuldades que
nós, professores de Matemática, encontramos ao ensinar nossa disciplina, reside no fato
de que, quase sempre, as atividades que propomos em sala encontram-se muito distantes
da realidade dos nossos alunos. Esse é um fator que impede que o estudante enxergue
algum significado naqueles conteúdos, ampliando ainda mais o seu desinteresse e a sua
desmotivação.
Minha intenção com esse trabalho é apresentar a riqueza da aplicação da Geometria
Dinâmica, desenvolvida a partir de atividades que permitam que os professores
construam os conceitos passo a passo, instigados e saboreados pelos alunos com calma
sem correria, pois seguramente não vai haver o famoso chavão da perda de tempo de
aula. Apresentada dessa forma, a Matemática que ensinamos na escola poderá despertar
7
mais interesse em nossos alunos, além de provocar neles um espírito crítico, pois em
muitas situações ele poderá ser levado a fazer avaliações e estimativas e investigações a
partir dos dados numéricos, dos desenhos propostos ou os dos gráficos apresentados.
A aula será mais dinâmica, com maior participação dos alunos e com a
capacitação adequada do próprio professor. Segue com esse encarte um CD com as
atividades propostas que deve ser utilizado por que tenha instalado em sua maquina o
software Cabri II. Bom trabalho a todos.
8
1º Proposta:
Traçar uma reta tangente a uma circunferência: ao solicitar que um aluno vá ao
quadro para que ele trace uma reta tangente a uma circunferência o que se vê é uma
construção simples como a que destacamos a seguir:
Figura 01 – Uma ilusão da reta
tangente a uma circunferência
Entretanto o que se vê ao movimentar a reta é que ocorrem situações como a seguir
apresentamos:
Figura 02 e 03: Dando vida à reta, verificado que a reta não é tangente a
circunferência
9
Assim podemos constatar através da manipulação da reta que a tal reta não é
efetivamente tangente a circunferência, assim podemos provocar as conjecturas.
Perguntando aos alunos, qual a condição para que a reta seja tangente a circunferência.
Após algum tempo temos condições de apresentar que a imposição para que
tal fato seja verdade é o da existência de uma reta normal que é perpendicular contendo
o ponto P de tangencia e que passa pelo o centro da circunferência. Assim podemos
disser que o raio é esse segmento.
Conforme a figura a seguir:
Figuras: 04 e 05: Reta tangente a circunferência
Portanto, agora dando vida a figura, isto é, movimentando a reta verificamos que a
mesma será sempre tangente a circunferência. Podemos então concluir que para que
uma reta seja tangente a uma circunferência e necessário que seja perpendicular ao
raio em um ponto comum.
2º Proposta:
Vamos agora traçar duas tangentes a uma circunferência a partir de um ponto A
exterior a mesma.
Agora espera-se que os alunos com os conhecimentos adquiridos na primeira
atividade possam aplicá-los de forma correta para descobri outras propriedades.
Figura 06: Duas retas tangentes a uma circunferência
10
Portanto agora, você pode propor que os alunos verifiquem as medidas dos
segmentos QA e PA. Comprovando que os segmentos têm a mesma medida, proponha
tal desafio e a seguir peçam que prove tal fato usando conceitos geométricos.
Primeira demonstração:
Figura 07: Duas tangentes a uma circunferência
Conclusão: Ao ligarmos os pontos P e Q construímos o segmento PQ, verificamos a
existência de dois triângulos isósceles, o POQ, pois OQ é congruente a OP, visto que
ambos têm a medida do raio da circunferência. E o triângulo PAQ, que apresenta os
ângulos APQ e AQP de medidas indicadas por 90º - x, sendo assim um triângulo
isósceles. Concluímos, portanto que a medida dos segmentos AP é AQ são iguais.
Segunda demonstração:
Figura 08: Duas tangentes a uma circunferência
Nesse caso basta que os alunos percebam que os triângulos AOQ e AOP, são retângulos
com dois lados comuns, onde OA é a hipotenusa e OQ e OP são os catetos dos
11
triângulos. Assim, podemos concluir que os triângulos AOQ e AOP são congruentes
(através do caso LAL). Validando a existência de que os segmentos (catetos) AP e AQ
possuem a mesma medida.
3º Proposta:
Encontrar a medida do raio da circunferência inscrita em um triângulo retângulo
sabendo que o seu perímetro mede 28 cm e que a hipotenusa mede 10 cm.
Figura 09: Triângulo circunscrito em uma circunferência
Uma possibilidade é dar nomes aos pontos de tangencia de cada lado com a
circunferência, basta aplicar a propriedade desenvolvida na segunda proposta. Vejamos
como fica:
Figura 10: Triângulo circunscrito em uma circunferência
Como o perímetro é a soma de todos os lados da figura temos:
12
2 x 2 y 2R
28
temos: 10 R 14
x y R 14, já que a hipotenusa e dada pela soma de x mais y,
R
4 . Essa é uma solução possível, a outra e a construção do
triângulo nas condições propostas e verificar a medida com a ferramenta distância e
comprimento.
4º Proposta:
Ponto - segmento - mediatriz - rótulo - medir – Com essa atividade, espera-se que o
aluno possa avançar no domínio das ferramentas do Cabrí e venha a dar os primeiros
passos com o intuito de verificar o que vem a ser um Lugar Geométrico.
Como proceder.
Entre no Cabri-géomètre II.
1. Marque um ponto;
2. Construa um segmento a partir do ponto criado;
3. Dê nomes às extremidades (A e B);
4. Construa a mediatriz do segmento AB;
5. Coloque um ponto P sobre o objeto
mediatriz do segmento AB em um lugar da
mediatriz, diferente do ponto médio de AB;
6. Construa os segmentos AP e BP;
7. Meça estes segmentos;
8. Movimente o ponto P na mediatriz;
9. Verifique a propriedade da mediatriz em que
a medida de PA= PB. Pronto, está feita a
tarefa.
Figura 11: Mediatriz um
Lugar Geométrico
Essas etapas de construções devem ser feitas da seguinte forma: marque um ponto e de
o nome de A, a seguir construa o segmento AB. Usando a ferramenta mediatriz, clique
sobre o segmento e a seguir marque um ponto qualquer P sobre essa mediatriz,
construindo assim os segmentos PA e PB, verificando suas medidas usando a
ferramenta distância e comprimento, vamos ver que são rigorosamente as mesmas.
13
Portanto, assim validamos o fato de que a mediatriz é o lugar geométrico dos pontos
equidistantes de dois pontos extremos de um segmento.
Vale apena saber: Lugar Geométrico é todo conjunto de pontos que possuem uma
propriedade exclusiva. Exemplos: Mediatriz, bissetriz, circunferência, plano mediador.
5º Proposta:
Construa um triângulo isósceles, conhecendo-se a medida da base AB.
Conhecendo-se a medida da base AB de um triângulo ABC, podemos construir esse
triângulo que pode ser isósceles ou equilátero.
Vamos ver que a solução dessa atividade proposta é de fato simples e se baseia na
aplicação anterior. Temos a seguinte solução:
Figura 12: Triângulo isósceles de base AB
Conhecendo-se a medida da base AB, se constrói a mediatriz do segmento AB, a seguir
marcamos um ponto P sobre o objeto (reta) e unimos P a A e a B, obtendo os segmentos
PA e PB. Construindo o triângulo APB que é um triângulo isósceles.
14
6º Proposta:
Construa um triângulo equilátero ABC cujos lados tenham medidas iguais a 6,0 cm.
Uma hipótese é construir o segmento cuja medida seja de 6,0 cm, e a seguir tomando
essa medida como raio deve-se construir duas circunferências com centros em A e B
usando a ferramenta compasso. A fim de encontrar os dois pontos de interseção. A
situação proposta admite duas soluções, vejamos na figura a seguir:
Figura 13: Triângulo Equilátero
7º Proposta:
Determine um ponto equidistante de A, de B e de C. Destaque-o mudando seu aspecto.
Meças as distâncias, verificando se o ponto encontrado é de fato equidistante aos pontos
A, B e C.
Nesta atividade espera-se que o aluno perceba que toda reta construída
perpendicularmente contendo o ponto médio do segmento dado, é uma mediatriz.
Assim o ponto eqüidistante desses três segmentos que tecnicamente formam o triângulo
ABC e chamado de circuncentro e é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
15
E importante saber distinguir esses pontos notáveis que ocorrem em um triângulo.
Sendo assim, os pontos de encontros das alturas de um triângulo chama-se ortocentro,
das bissetrizes internas é o incentro, das medianas é o baricentro e o ponto de encontro
entre as mediatrizes chama-se circuncentro.
Vejamos a construção da situação proposta:
Figura 14: Circunferência circunscrita em um triângulo
8º Proposta:
Determine um ponto B de AC de tal maneira que AB + BD = AC
16
Essa é uma atividade que visa investigar as possibilidades que são possíveis. Assim
cabe ao aluno fazer todas as conjecturas para depois definir o caminho que deve ser
usado.
Logo, tendo construído o segmento CD, podemos traçar a mediatriz desse segmento,
obtendo o ponto B de interseção com o segmento AC. Assim encontramos os
segmentos BD e BC com a mesma medida, conforme vemos na construção a seguir.
Figura 15: Traçando uma mediatriz
Assim podemos concluir que a soma de AB + BD = AC.
9º Proposta:
O problema a seguir foi proposto pelo Professor Dr. Jose Paulo Carneiro em
artigo publicado pela RPM de número 47, de 2001.
O problema a seguir foi inspirado em um exercício do livro Polynomials, de E. J.
Barbeau, e foi apresentado a professores do ensino médio, alunos de um curso, de
formação continuada, sobre números complexos.
Dois piratas decidem enterrar um tesouro em uma ilha.
17
FIGURA 16 – OS PIRATAS E O TESOURO
Escolhem, como pontos de referência, uma árvore e duas pedras. Começando na
árvore, medem o número de passos até a primeira pedra. Em seguida, dobram, segundo
um ângulo de 90o, à direita e caminham o mesmo número de passos até alcançar um
ponto, onde fazem uma marca. Voltam à árvore, medem o número de passos desde a
árvore até a segunda pedra, dobram à esquerda, segundo um ângulo de 90o, e caminham
o mesmo número de passos até alcançar um ponto, onde fazem outra marca. Finalmente,
enterram o tesouro exatamente no ponto médio entre as duas marcas.
Anos mais tarde, os dois piratas voltam à ilha e decidem desenterrar o tesouro,
mas, para sua decepção, constatam que a árvore não existe mais (o vento, a chuva e os
depredadores a haviam arrancado). Então um dos piratas decide arriscar. Escolhe ao
acaso um ponto da ilha e diz: “Vamos imaginar que a árvore estivesse aqui.” Repete
então os mesmos procedimentos de quando havia enterrado o tesouro: conta os passos
até a primeira pedra, dobra à direita, etc., e encontra o tesouro.
A pergunta é: esse pirata era sortudo ou um Matemático? A figura a seguir
ilustra a situação do problema. Onde A e a árvore, e P e Q as pedras, o tesouro está no
ponto T médio dos pontos P’ e Q’.
FIGURA 17 – USANDO A MEDIATRIZ
Esse resultado não só demonstra que a localização do tesouro independe da
posição da árvore, como também permite localizá-lo como o terceiro vértice de um dos
18
triângulos retângulos isósceles com a hipotenusa PQ. Assim pode-se concluir que os
piratas eram matemáticos.
10º Proposta:
Determine um ponto B da reta r tal que AB + BC = 9,0 cm. Faça todas as
soluções.
FIGURA 18 – APLICANDO A MEDIATRIZ
Essa é uma situação problema que têm como objetivo levar o aluno a descobrir e
utilizar a ferramenta edição numérica, pois ele deve construir sobre a reta que r o
segmento definido de 9 cm a partir do ponto A, onde vai localizar dois pontos que
chamaremos de D e D’, a seguir vai aplicar o conceito da mediatriz do segmento CD
encontrando a primeira mediatriz, estando assim definido o ponto B. Como temos
também o segmento CD’, outra mediatriz deve ser traçada encontrando portanto o
ponto B’. Logo a situação apresenta duas soluções para a situação proposta.
Figura 19: Duas mediatrizes validando a situação proposta
19
11º Proposta:
Determine todos os pontos que distam 5,0 cm de P e 3,0 cm da reta s. Marque e
nomeie-os.
FIGURA 20 – A RETA COMO UM LUGAR GEOMÉTRICO
20
12º Proposta:
Construa um triângulo equilátero a partir do segmento AB e a circunferência
circunscrita a este triângulo.
Determine os pontos contidos nos lados do triângulo ABC e situados a 4 cm do
centro. Nomeie estes pontos. A solução desse problema consiste em construir o
triângulo eqüilátero ABC o ponto de encontro das mediatrizes de dois de seus lados
obtendo o centro da circunferência circunscrita, a seguir usando a ferramenta
transferência de medidas constrói-se uma circunferência de raio 4 cm obtendo assim os
pontos de interseção com os lados do triângulo ABC, cujos pontos são P, Q, R, S, T e
U.
FIGURA 21 – PONTOS EQUIDISTANTES 4 CM DO CENTRO DE UM
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
21
13º Proposta:
Explorando a idéia da simetria, o aluno movimenta o ponto em vermelho, por
exemplo, e os demais seguem de forma simétrica.
FIGURA 22 – A SIMETRIA
Figura 22: Simetria
Essa é uma proposta onde o aluno ira buscar formas nas figuras manipulando um
dos pontos dado a figura canha vida a partir da manipulação da GD.
14º Proposta:
Construa a situação proposta no Cabri: Sejam PQ o segmento de reta da figura
e T a reflexão na origem.
FIGURA 23 – UM SEGMENTO NO PLANO
2
22
Se P’= T(P) e Q’= T(Q), represente a figura que se caracteriza através da
imagem de PQ, por T. A solução dessa situação problema é imediata, visto que
podemos usar a ferramenta que indica a simetria central. Logo, teremos a solução
geométrica abaixo indicada.
FIGURA 24 – A SIMETRIA CENTRAL
15º Proposta:
Construa a imagem da reta y = 2x pela reflexão em relação ao eixo dos x, qual a
nova equação obtida, compare os seus coeficientes angulares.
Na solução desse problema deve-se usar o Cabri, assim construímos a reta
y = 2x, fazendo a simetria do par ordenado (1, 2) que pertence à reta em questão em
relação ao eixo das abscissas temos o para ordenado (1, -2) logo a reta que passa pela
origem e por esse ponto nos dá a reta y = -2x, ou seja, cujos coeficientes angulares são
simétricos.
23
FIGURA 25 – A REFLEXÃO EM TORNO DO EIXO DAS ABSCISSAS
16º Proposta:
Construa com o Cabri o lugar geométrico dos pontos de coordenadas (x, y) do
R², tais que ( x 2) 2
( y 3) 2
1.
Os mesmos estão situados em quais quadrantes? Qual é esse lugar geométrico?
Construindo o LG, com o Cabri, encontra-se uma circunferência contida no 4ª
quadrante, assim todos os pontos estão situados no 4ª quadrante, e esse LG é uma
circunferência.
FIGURA 26 – A CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO CARTESIANO
24
17º Proposta:
Construa as retas do R² de equações x = 2, y = x e x + 2y = 12 determinam um
triângulo T. Qual o ponto de coordenadas inteiras que está no interior do triângulo T. E
qual o ponto de coordenadas inteiras, cuja abscissa é 3, que está sobre os lados do
triângulo T.
A solução pode ser feita através da construção do triângulo, com o uso do Cabri,
logo o ponto de coordenadas inteiras que está no interior do triângulo T é o par (3, 4)
logo o de abscissa 3 situado no lado do triângulo T é o par (3, 3).
FIGURA 27 – RETAS CONCORRENTES DUAS A DUAS
18º Proposta:
Os pontos de interseção das retas x – y = 0, x + y = 4 e x = 4 tomadas duas a
duas, são vértices de um triângulo. Determine a natureza desse triângulo quanto ao
ângulo, a seguir construa a circunferência circunscrita no triângulo e determine o raio da
mesma.
25
Nesta situação problema pode-se verificar que o triângulo obtido é retângulo,
pois o ângulo formado pelas retas y = -x + 4 e y = x mede 90º, visto que as retas são
perpendiculares. Logo, o raio da circunferência circunscrita mede 2 u.c.
FIGURA 28 – RETAS CONCORRENTES DUAS A DUAS FORMANDO UM
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Podemos concluir que o triângulo retângulo obtido está inscrito na circunferência com
centro no ponto médio da hipotenusa que vem a ser o diâmetro da circunferência.
19º Proposta:
Análise da função seno de x que tem como lugar geométrico a senoíde. No
gráfico, movimente o ponto P e observe a variação do cosseno de x.
FIGURA 29 – A SENOIDE
A solução dessa situação proposta será com a manipulação da GD.
Gráfico da função seno
26
20º Proposta:
Análise da função cosseno de x que tem como lugar geométrico a cossenoide.
No gráfico, movimente o ponto P e observe a variação do cosseno de x.
FIGURA 30 – A COSSENOIDE
Gráfico da função cosseno
A solução dessa situação proposta será com a manipulação da GD.
21º Proposta:
Desenhe o trapézio isósceles ABPQ com 5,0 cm de altura e lado BQ = 6,0 cm,
com o maior perímetro possível e o menor perímetro possível.
Essa é uma atividade onde se devem explorar ao máximo as análises de
perímetro máximo e mínimo. Assim, apresentam-se as duas possibilidades na figura a
seguir.
27
FIGURA 31 – O TRAPÉZIO
Tem-se assim dois trapézios, um com perímetro máximo ABNM e
outro com perímetro mínimo ABQP, nas condições propostas.
Neste caso concluímos a existência de dois trapézios, pois ao construirmos a
circunferência com centros e A ou B como a medida do raio igual a 6 cm,
encontramos dos pontos M, P, Q e N, de tal forma que um dos trapézios têm área
máxima e o outro área mínima.
28
CONCLUSÃO:
As atividades propostas foram testadas com alunos do 6º ano ao 9º ano,
observamos que algumas das atividades os alunos das séries finais apresentaram maior
desenvoltura.
Procuremos apresentar uma atividade após a outra com o propósito de construir
os conteúdos Matemáticos na hora que se faziam necessários. Assim pudemos observar
que o processo ensino aprendizagem, contemplava as grandes dimensões defendidas
pela educação proposta pela Companhia de Jesus.
As atividades foram de forma prática assimiladas pelos alunos, e podem ser
usadas como atividades tanto em sala de aula como em laboratórios com os softwares
de Geometria Dinâmica.
Afirmamos que a presença humana e tudo que ela implica são insubstituíveis na
educação em geral e também na transmissão de conhecimentos.
Mas quando pensamos no potencial que essa ferramenta tem e no que ela pode
alcançar, é realmente genial.
Foi com esse viés que o trabalho foi concebido. Sem a exclusão do professor
mola propulsora da educação. Convêm destacar e observar que o teor do trabalho
apresentado na dissertação, buscava investigar uma prática realizada em um colégio da
zona sul da cidade do Rio de Janeiro. Tal objetivo foi alcançado, e esse encarte a
dissertação vem para fechar todo um trabalho da pesquisa. Pois coloquei em prática
todas as atividades acima apresentadas e coletei dados visando à construção do trabalho
feito.
Verificamos ao longo de nosso trabalho que a visão dos vários teóricos da
educação se aplica na construção do conhecimento, sobretudo as dimensões defendidas
pela educação jesuíta.
Entretanto, para que tais atividades possam ser de fato aplicadas em uma escola
deve haver cumplicidade entre seus atores, isto é, é necessário que haja integração entre
os professores e que estes se sintam motivados para o seu planejamento e execução.
Pensando assim é que o CSI nos tem permitido discutir e ampliar as
possibilidades de realizamos todas as tarefas sem pressão, sem cobrança. Temos o apoio
da direção das coordenações e uma confiança na execução do trabalho realizado.
Esperamos que esse material possa ajudar a todos que se interessam pela
Matemática, de uma forma concreta pela Geometria Dinâmica, de modo que outras
29
atividades além das que aqui foram apresentadas possam ser elaboradas com vistas a um
trabalho com vista da melhoria do ensino da Matemática com um olhar focado no
amanhã, com o uso das tecnologias disponíveis. Entretanto devemos sempre valorizar
os conteúdos da disciplina em questão.
Sucesso a todos!
30
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BONGIOVANI, Vincenzo. Les caractérisations des coniques avec Cabri-géomètre
em formmation continue d´enseignants: étude d´une sequence d´activités et
conception d´un hyperdocument interactif. Grenoble: Université Joseph Fourier,
Laboratoire Leibniz-IMAG. Thèse de doctorat, 2001.
CARRAL, Michel; CUPPENS, Roger. De d´Alembert à Cabri-géomètre: le
constructeur universel d´équations. Bulletin de L´APMEP, 1994.
D’ AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação para uma sociedade em transição. Campinas:
Papirus, 1999.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática: Elo entre as tradições e a modernidade.
São Paulo: Autêntica, 2002.
FAINGUELERNT, E. K., Educação Matemática: Representação e Construção em
Geometria. Porto Alegre: Artmed, 1998. 227 p.
GRAVINA, M. A.. Geometria Dinâmica: Uma Nova Abordagem para o Aprendizado
da Geometria. In: VII SBIE – SIMPÓSIO BRASILEIRO DE INFORMÁTICA NA
EDUCAÇÃO. Belo Horizonte: 1996. p. 1 - 13.
_____. The Proof in Geometry: essays in a dynamical environment. In: Proof and
Proving in Mathematics Education. Tóquio: Makuhari, 2000.
GREEN, David; SCHUMANN, Heinz. Discovering geometry with a computer.
London: Chartwell-Bratt, 1998.
GUIMARÃES, L.C.. Ferramentas Computacionais para o Ensino de Matemática à
Distância.
In:
VII
ENEM
-
ENCONTRO
NACIONAL
MATEMÁTICA. Rio de Janeiro: UFRJ, 2001. p. 101 - 134.
DE
EDUCAÇÃO
31
KING, James. Geometry turned on. Washington, D.C.: Mahematical Association of
America, 1997.
LABORDE, Colette. Dynamic geometry environments as a source of rich learning
contexts for the complex activity of proving. Educational Studies in Mathematics:
2000.
LABORDE, Colette. Integration of technology in the design of geometry tasks with
Cabri-Géomètre. International Journal of Computers for Mathematical Learning,
6: 283-317, 2001.
NÓBREGA, J. Cássio. Aprendendo Matemática com o Cabri-géomètre II. Brasília:
Editora do autor, 2003. 1 e 2v.
ROITMAN, R.. Adoção e implementação de um programa inovador: uma
experiência e muitas lições. 1989. Tese (Doutorado) - USP, São Paulo, 1989.
TORNAGHI, Alberto. Escola faz tecnologia, tecnologia faz escola. 2007. 1 v. Tese
(Doutorado) - COPPR/UFRJ, Rio de Janeiro, 2007.
Notas de Aulas do Professor Dr. Ilydio Pereira de Sá, na Palestra sobre a Matemática
Crítica.
Notas de Aulas da Professora Dra. Estela Kaufman Fainguelernt, no Curso de
Geometria e de Ideias da Matemática.
Encontro com o Professor Dr. João Bosco Pitombeira, para que me fosse dado subsídio
sobre a Geometria Dinâmica.
Sites consultados
http://www.softwarelivre.org/news/6858. Acesso em: 10 jun. 2010.
http://www.youtube.com/watch?v=s4ojFcZIqRU. Acesso em: 02 fev. 2010.
32
http://www.inclusaodigital.gov.br/inclusao/links-outros-programas/projeto-umcomputador. Acesso em: 02 nov. 2009.
http://www.scielo.br.php?acrip=sci_arttex&pid=S0101-73301998000400005.
Acesso
em: 28 jan. 2010.
http://www.scribd.com/doc/5570901/Formacao-de-Professores-e-Tecnologia-sim-ounao. Acesso em: 11out. 2010.