M AT E M Á T I C A 1ª Parte – Questões de Múltipla Escolha 11 a A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa seqüência vale a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. Resolução Seja a P.A. (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r). Então, (x – 2r) + (x – r) + x + (x + r) + (x + 2r) = 15 ⇔ ⇔ 5x = 15 ⇔ x = 3. (3 – 2r) . (3 – r) . 3 . (3 + r) . (3 + 2r) = 0 e r é inteiro positivo, r = 3 Portanto, a P.A. é (– 3; 0; 3; 6; 9) e o 2º termo da P.A. é zero. 12 e Considerando que 2i é raiz do polinômio P(x) = 5x5 – 5x4 – 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio vale a) 5. b) 4. c) 3. d) 2. e) 1. Resolução O polinômio P(x) = 5x5 – 5x4 – 80x + 80 é equivalente a P(x) = 5 . (x – 1) . (x4 – 16) cujas raízes são 1, 2, – 2, 2i e – 2i. Portanto, a soma das raízes reais vale 1 + 2 + (– 2) = 1. 13 d Em uma competição de queda-de-braço, cada competidor que perde duas vezes é eliminado. Isso significa que um competidor pode perder uma disputa (uma "luta") e ainda assim ser campeão. Em um torneio com 200 jogadores, o número máximo de "lutas" que serão disputadas, até se chegar ao campeão, é a) 99. b)199. c) 299. d) 399. e) 499. Resolução O campeão teve zero ou apenas uma derrota. Se o campeão teve zero derrotas, o número de disputas foi 2 x 199 = 398 (199 competidores eliminados com duas derrotas cada). Se o campeão teve uma derrota, o número de disputas foi 2 x 199 + 1 = 399 (199 competidores eliminados com duas derrotas cada e o campeão com apenas uma derrota). Assim sendo, o número máximo de disputas, até chegar ao campeão, é 399. OBJETIVO U F S C a r - J a n e i r o /2 0 0 2 14 d Um jogo para duas pessoas consiste em uma urna com 2 bolas vermelhas e 1 azul. Ganha o jogo quem retirar da urna a bola azul. Caso um jogador retire uma bola vermelha, essa volta para a urna, e o outro jogador faz sua retirada. Os jogadores vão alternando suas retiradas até que saia a bola azul. Todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas. A probabilidade do primeiro a jogar ganhar o jogo, isto é, em uma de suas retiradas pegar a bola azul, vale 1 2 1 3 2 a) ––– . b) ––– . c) ––– . d) ––– . e) ––– . 3 5 2 5 3 Resolução O primeiro jogador ganhará o jogo se retirar a bola azul na primeira jogada ou na terceira jogada ou na quinta jogada e assim por diante. Sendo p a probabilidade do primeiro jogador ganhar o jogo, temos 1 2 2 1 2 2 2 2 1 p = –– + –– . –– . –– + –– . –– . –– . –– . –– + …= 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 –– 3 3 = ––––––––––– = –– 2 5 2 1 – ––– 3 ( ) 15 c Uma família é composta de x irmãos e y irmãs. Cada irmão tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada irmã tem o dobro do número de irmãs igual ao número de irmãos. O valor de x + y é a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9. Resolução Sendo x irmãos e y irmãs, a partir do enunciado, conclui-se que { x–1=y ⇔ 2 . (y – 1) = x { x=4 y=3 Logo, o valor de x + y = 7 16 b π O valor de x, 0 ≤ x ≤ ––– , tal que 2 4 . (1 – sen2 x) . (sec2 x – 1) = 3 é π π π π a) ––– . b) ––– . c) ––– . d) ––– . 6 2 3 4 e) 0. Resolução OBJETIVO U F S C a r - J a n e i r o /2 0 0 2 4 . (1 – sen2x) (sec2x – 1) = 3 ⇔ 4 . cos2x . tg2x = 3 ⇔ 3 sen2x ⇔ 4 . cos2x . –––––– = 3 ⇔ sen2x = –– ⇔ 4 cos2x Ïw 3 ⇔ sen x = ± –––– . 2 π π Sendo 0 ≤ x ≤ , –– tem-se x = –– 2 3 17 a Uma função f é definida recursivamente como 5f(n) + 2 f(n + 1) = –––––––– 5 Sendo f(1) = 5, o valor de f(101) é a) 45. b) 50. c) 55. d) 60. e) 65. Resolução 5f(n) + 2 2 f(n + 1) = –––––––– ⇔ f(n + 1) = f(n) + –– ⇔ 5 5 2 ⇔ f(n + 1) – f(n) = –– . 5 A seqüência (f(1); f(2); f(3); …; f(101); …) é uma pro2 gressão aritmética de razão r = –– e a1 = f(1) = 5. 5 Portanto, f(101) = a101 = a1 + 100 . r ⇔ 2 ⇔ a101 = 5 + 100 . –– = 45 5 18 b Seja um triângulo ABC eqüilátero de lado 2. No interior desse triângulo, cuja área é Ï·· 3, foi escolhido arbitrariamente um ponto P. A soma das distâncias de P a cada um dos lados do triângulo vale a) Ï·· 2. b) Ï·· 3. c) 2. d) 3. e) 2Ï·· 3. Resolução OBJETIVO U F S C a r - J a n e i r o /2 0 0 2 — Sejam x a distância do ponto P ao lado BC; — y a distância do ponto P ao lado AC; — z a distância do ponto P ao lado AB. A soma das áreas dos triângulos PBC, PCA e PAB é igual a área do triângulo ABC. 2.x 2.y 2.z 3⇔ Assim, –––––– + –––––– + –––––– = Ï·· 2 2 2 ⇔ x + y + z = Ï·· 3 19 c Na figura, os pontos ACFH são os vértices de um tetraedro inscrito em cubo de lado 3. O volume do tetraedro é 27 9Ï···· 39 a) –––– . b) ––––––– . c) 9. 8 8 27Ï···· 13 d) ––––––– . 8 OBJETIVO e) 18. U F S C a r - J a n e i r o /2 0 0 2 Resolução ACFH é um tetraedro regular, pois: AC = AF = AH = CF = FH = HC = a = 3 Ï·· 2 Assim, sendo V o volume desse tetraedro, tem-se: 33 .(Ï·· a3 Ï·· 2 = (3 Ï·· 2)3 .Ï·· 2 2)4 27 . 4 V = –––––– ––––––––––– = –––––––– = –––––– = 9 12 12 12 12 20 e Duas retas são perpendiculares entre si se o produto dos seus coeficientes angulares for igual a – 1. Logo, é perpendicular à reta x + 2y + 3 = 0 a reta y a) – x – 2y + 3 = 0 . b) x + ––– = 0. 2 c) 2x + y + 3 = 0 . x y d) ––– + ––– – 1 = 0. 3 2 e) – 2x + y = 0 . Resolução 1 A reta x + 2y – 3 = 0 tem coeficiente angular m = – –– . 2 Então, toda reta perpendicular a ela deve ter coeficiente angular igual a 2. Das alternativas apresentadas, a equação de reta que tem coeficiente angular 2 é – 2x + y = 0. OBJETIVO U F S C a r - J a n e i r o /2 0 0 2 2ª Parte – Questões Discursivas 36 Na figura, o dodecágono inscrito na circunferência tem seis lados medindo Ï·· 2 e seis lados medindo Ï···· 24. ^ Lei dos cossenos: em um triângulo ABC, onde A é o ângulo compreendido entre os lados b e c, ^ a2 = b2 + c2 – 2bc . cos A ^ a) Calcule o ângulo B. b) Calcule o raio da circunferência. Resolução 5 C 1) O maior dos arcos AC mede –– . 360° = 300°. 6 ^ 2) O ângulo B é um ângulo inscrito nessa circunferência e determina um arco de 300°. 300° ^ ^ Assim sendo, B = ––––– ⇔ B = 150° 2 –– 3) AC é um dos lados de um hexágono regular inscrito nessa circunferência. Assim, AC = R, onde R é o raio dessa circunferência 4) No triângulo BCA, de acordo com a lei dos cosOBJETIVO U F S C a r - J a n e i r o /2 0 0 2 senos, tem-se R2 = (Ï·· 2 ) + (Ï·· 2··· 4 ) – 2 .Ï·· 2 . Ï·· 2··· 4 . cos 150° ⇔ 2 2 ⇔ R2 = 2 + 24 – 2 . 4 .Ï·· 3. Ï··3 – –––– 2 ( ) ⇔ 38 ··· ⇔ R2 = 26 + 12 ⇔ R2 = 38 ⇔ R = Ï·· Respostas: a) 150° 38 ··· b) Ï·· 37 Sejam as funções f(x) = |x – 1| e g(x) = (x2 + 4x – 4). a) Calcule as raízes de f(g(x)) = 0. b) Esboce o gráfico de f(g(x)), indicando os pontos em que o gráfico intercepta o eixo cartesiano. Resolução 1) f(g(x)) = |(x2 + 4x – 4) – 1| = |x2 + 4x – 5 | 2) f(g(x)) = 0 ⇔ |x2 + 4x – 5 | = 0 ⇔ x2 + 4x – 5 = 0 ⇔ x = – 5 ou x = 1 3) O gráfico de f(g(x)) é ⇔ Respostas: a) – 5 ou 1 b) gráfico 38 Seja a matriz M = (mij)2x3, tal que mij = j2 – i2. a) Escreva M na forma matricial. b) Sendo Mt a matriz transposta de M, calcule o produto M · Mt. Resolução 1) M = (mij) 2x3 2) M = ( 0 –3 OBJETIVO = 3 0 ( m11 m21 ) m12 m22 8 ⇒ Mt = 5 )( m13 0 = –3 m23 3 0 8 5 ) ( ) 0 3 8 –3 0 5 U F S C a r - J a n e i r o /2 0 0 2 ( 0 . 0 + 3.3 + 8.8 0.(–3) + 3.0 + 8.5 (–3).(–3) + 0.0 + 5.5 3) M . Mt = (–3). 0 + 0.3 + 5.8 = ( 73 40 Respostas: 40 34 ) = ) a) M = ( 0 –3 b) M . Mt= 3 0 ( 73 40 8 5 ) 40 34 ) 39 O raio da circunferência inscrita em um triângulo de lados a, b e c pode ser calculado pela fórmula (p – a)(p – b)(p – c) ––––––––––––––––– , onde p é o semi-perímetro p r= do triângulo. Os catetos de um triângulo retângulo medem 3 e 4 e estão sobre os eixos cartesianos, conforme a figura. Determine nesse triângulo a) o raio da circunferência inscrita. b) a equação da circunferência inscrita. Resolução Sendo a = 3 e b = 4, tem-se 3+4+5 c = Ï········· 32 + 42 = 5 e p = ––––––––– = 6 2 Assim, a) r = Ï····················· Ï········· (6 – 3) . (6 – 4) . (6 – 5) ––––––––––––––––––––– ⇔ r= 6 3.2.1 –––––––– ⇔ 6 ⇔r=1 b) A circunferência inscrita nesse triângulo tem centro C (1; 1) e raio r = 1 Assim, uma equação dessa circunferência é (x – 1)2 + (y – 1)2 = 12 ⇔ x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 Respostas: OBJETIVO a) 1 b) x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 U F S C a r - J a n e i r o /2 0 0 2 40 Considere as seguintes informações: • o máximo divisor comum entre dois números também é um divisor da diferença entre esses números; • se o máximo divisor comum entre dois números a e b é igual a 1, mdc(a,b) = 1, o mínimo múltiplo comum desses números será igual ao seu produto, mmc(a,b) = ab. a) prove que o máximo divisor comum entre dois números consecutivos é igual a 1; b) determine dois números consecutivos, sabendo que são positivos e o mínimo múltiplo comum entre eles é igual a 156. Resolução Sabendo que: (I) mdc (a, b) é divisor de |a – b| (II) mdc (a, b) = 1 ⇒ mmc (a , b) = a . b com a, b ∈ N* Se p e p + 1 são os números consecutivos, então a) a partir de (I): mdc (p, p + 1) é divisor de |(p + 1) – p| = 1, portanto mdc (p, p + 1) = 1 b) a partir de (II), sendo p > 0: mdc (p, p + 1) = 1 ⇒ mmc (p, p + 1) = p(p + 1) = 156 ⇒ ⇒ p = 12 e p + 1 = 13 Respostas: a) demonstração b) 12 e 13 OBJETIVO U F S C a r - J a n e i r o /2 0 0 2