Polinômios
1. (Ufsc 2015) Em relação à(s) proposição(ões) abaixo, é CORRETO afirmar que:
01) Se o gráfico abaixo representa a função polinomial f, definida em
por
f(x)  ax3  bx2  cx  d, com a, b e c coeficientes reais, então f(2)  24.
02) Se f(x)  (x  2)3  (x  1)3  5ax  2b, com a e b reais, é divisível por (x  1)2 , então
a  b  1.
04) As raízes da equação x3  9x2  23x  15  0 estão em progressão aritmética de razão 1.
08) Se f(x)  x2  (p  q)x e g(x)  x3  (p  q)x2  qx são divisíveis por (3  x), com p e q
reais, então q  p  3.
16) Os valores reais de p para que a equação x3  3x  p  0 admita uma raiz dupla são 2 e
2.
2. (Pucpr 2015) Se (x  2) é um fator do polinômio x3  kx2  12x  8, então, o valor de k é
igual a:
a) 3.
b) 2.
c) 3.
d) 6.
e) 6.
3. (Uece 2015) Se a expressão algébrica x2  9 se escreve identicamente como
a(x  1)2  b(x  1)  c onde a, b e c são números reais, então o valor de a  b  c é
a) 9.
b) 10.
c) 12.
d) 13.
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4. (Espcex (Aman) 2015) O polinômio f(x)  x5  x3  x2  1, quando dividido por
q(x)  x3  3x  2 deixa resto r(x).
Sabendo disso, o valor numérico de r( 1) é
a) 10.
b) 4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.
5. (Unicamp 2015) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com
razão q  0 e a  0.
1
é uma raiz do polinômio cúbico p(x)  a  bx  cx2  dx3 .
q
b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y,
a) Mostre que x  
 a c  x   e 

     . Determine para que valores da razão q esse tem solução única.
 d b  y   f 
6. (Udesc 2015) Um polinômio p(x) dividido por x  1 deixa resto 16; por x  1 deixa resto 12,
e por x deixa resto 1. Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x  1)(x  1)x é da forma
ax2  bx  c, então o valor numérico da soma das raízes do polinômio ax2  bx  c é:
3
a)
5
b) 2
2
c)
15
d) 4
e) 2
7. (Unicamp 2014) O polinômio p(x)  x3  2x2  9x  18 tem três raízes: r, –r e s.
a) Determine os valores de r e s.
b) Calcule p(z) para z = 1+i, onde i é a unidade imaginária.
8. (Pucrj 2014) Sabendo que 1 é raiz do polinômio p(x)  2x3  ax2  2x, podemos afirmar que
p(x) é igual a:
a) 2x2  x  2
b) 2x  x  1 x  1

c) 2x x2  2

d) x  x  1 x  1


e) x 2x2  2x  1
9. (Pucrs 2014) A representação gráfica da função dada por y  f(x)  ax2  bx  c, sendo
a  0, intercepta o eixo das abscissas no ponto em que x  2. Então, o resto da divisão de
f(x) por x  2 é
a) 2
b) 0
c) 2
d) c
e) c
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10. (Espcex (Aman) 2014) Sabendo que 2 é uma raiz do polinômio P(x)  2x3  5x2  x  2,
então o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão
é:
a) {x  / 1  x  2}
b) {x 
c) {x 
d) {x 
e) {x 
P(x) está definida
1
/x }
2
1
/   x  1 ou x  2}
2
/ x  2}
/ x  2 e x  1}
11. (Uerj 2014) Observe o gráfico da função polinomial de
3
em
definida por
2
P(x)  2x  6x  3x  2.
Determine o conjunto solução da inequação P(x)  0.
12. (Unesp 2014) O polinômio P(x)  a  x3  2  x  b é divisível por x – 2 e, quando divisível
por x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) –1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e –12.
13. (Pucrj 2014) Assinale a alternativa correta:


b) x 4   x  2  x3  2x2  4x  8   16
c) x 4   x  2  x3  2x2  4x  8   16
d) x4   x  2  x3  2x2  4   8
e) x4   x  2  x3  2x2  4   8
a) x4   x  2 x3  2x2  8  16
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14. (Uepg 2014) Ao dividir o Polinômio P(x) por x  2, obtém-se o quociente 2x2  5 e o resto
3. Nessas condições, assinale o que for correto.
01) P(x) é divisível por x  1.
02) P(x) é um polinômio do 3º grau.
04) P(x)  7.
08) O termo independente de x no polinômio vale 11.
15. (Unesp 2014) Sabe-se que, na equação x3  4x2  x  6  0, uma das raízes é igual à
soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é
a) S = {– 3, – 2, – 1}
b) S = {– 3, – 2, + 1}
c) S = {+ 1, + 2, + 3}
d) S = {– 1, + 2, + 3}
e) S = {– 2, + 1, + 3}
16. (Fuvest 2014) Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x)  x3  ax2  bx  c são reais.
Sabendo que 1 e 1  αi, com α  0, são raízes da equação p(x)  0 e que o resto da divisão
de p(x) por (x  1) é 8, determine
a) o valor de α;
b) o quociente de p(x) por (x  1).
i é a unidade imaginária, i2  1.
17. (Espm 2014) O trinômio x2  ax  b é divisível por x  2 e por x  1. O valor de a  b é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
18. (Ufrgs 2014) Considere os polinômios p(x)  x3 e q(x)  x2  x. O número de soluções da
equação p(x)  q(x), no conjunto dos números reais, é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
02 + 16 = 18.
[01] Incorreta. Do gráfico, sabemos que as raízes de f são 2,  1 e 1. Além disso, temse f(0)  2. Desse modo, encontramos
f(x)  a(x  2)(x  1)(x  1)
 a  1.
f(0)  2
Portanto, segue que
f(2)  (2  2)(2  1)(2  1)  12.
[02] Correta. Sabendo que f(x)  2x3  3x2  (15  5a)x  7  2b é divisível por (x  1)2 , então,
pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini, vem
1 2
3
15  5a
7  2b
1 2 1 14  5a 7  5a  2b
2 1 15  5a
Donde obtemos a  3 e b  4. Em consequência, segue que a  b  1.
[04] Incorreta. Por inspeção, concluímos facilmente que x  1 é raiz da equação. Ademais,
x  0 não é raiz e, portanto, se as raízes constituíssem uma progressão aritmética de
razão 1, então elas seriam 1, 2 e 3. Contudo, segue que x  2 não é raiz.
[08] Incorreta. Se f e g são divisíveis por (3  x), então f(3)  g(3)  0. Porém, tem-se
32  (p  q)  3  0  q  p  3.
[16] Correta. Toda raiz dupla de x3  3x  p  0 também é raiz da equação 3x2  3  0.
Portanto, como as raízes dessa equação são 1 e 1, segue-se que p  2 ou p  2.
Resposta da questão 2:
[E]
Se (x – 2) é fator do polinômio dado, então 2 é raiz desse polinômio.
Portanto:
23  k  22  12  2  8  0  4k  24  k  6
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Resposta da questão 3:
[D]
Desenvolvendo e agrupando termos semelhantes, obtemos
a(x  1)2  b(x  1)  c  ax2  (2a  b)x  a  b  c.
Assim, para que x2  9 seja idêntica a(x  1)2  b(x  1)  c, deve-se ter
a 1
a 1
2a  b  0
 b  2.
abc  9
c  10
Portanto, temos a  b  c  1  (2)  10  13.
Resposta da questão 4:
[A]
x5  0x 4  x3  x 2  0x  1 x3  0x 2  3x  2
 x5  0x 4  3x3  2x 2
x2  2
 2x3  x 2  0x  1
 2x3  0x 2  6x  4
 x 2  6x  3
Portanto, r(x)   x2  6x  3 e r(1)   (1)2  6(1)  3  10.
Resposta da questão 5:
a) Tem-se que b  aq, c  aq2 e d  aq3 . Logo, vem
2
 1
 1
 1
 1
p     a  aq     aq2     aq3   
 q
 q
 q
 q
 aaaa
3
 0.
Por conseguinte, x  
1
é uma raiz do polinômio p(x).
q
b) De (a), obtemos
 a
 a c  x   e 

       3
 d b  y   f 
 aq
aq2   x   e 
     .
aq   y   f 
Sabendo que a  0, q  0 e q  , o sistema terá solução única se, e somente se,
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a
3
aq
aq2
 0  a2q  a2q5  0
aq
 a2q(1  q2 )(1  q2 )  0.
Portanto, além de q  0, deve-se ter q  1.
Resposta da questão 6:
[C]
Tem-se, pelo Teorema do Resto, que p(1)  16, p(1)  12 e p(0)  1. Além disso, sabemos
que
p(x)  (x  1)(x  1)x  q(x)  ax2  bx  c,
com q(x) sendo o quociente da divisão de p(x) por (x  1)(x  1)x.
Desse modo, temos
p(1)  a  b  c  a  b  c  16,
p(1)  a  b  c  12
e
p(0)  c  c  1.
Resolvendo o sistema formado pelas equações a  b  17 e a  b  13, concluímos que a  15,
b  2.
Portanto, vem ax2  bx  c  15x2  2x  1 e, assim, o resultado pedido é 
2
2

.
15 15
Resposta da questão 7:
a) Fatorando p(x), obtemos
p(x)  x3  2x 2  9x  18
 x 2 (x  2)  9(x  2)
 (x  2)(x 2  9).
Portanto, r  3 e s  2.
b) Se z  1  i, então z2  (1  i)2  2i. Logo,
p(z)  (1  i 2)(2i  9)
 2i2  9i  2i  9
 7  11i.
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Resposta da questão 8:
[B]
Se p(1)  0, então 2  13  a  12  2  1  0. Logo, a  0 e, portanto,
p(x)  2x3  2x
 2x(x 2  1)
 2x(x  1)(x  1).
Resposta da questão 9:
[B]
Como a função f intercepta o eixo x no ponto (2,0), concluímos que f(2) = 0. Considerando
agora o teorema do resto, temos que o resto da divisão de f(x) por (x – 2) é f(2). Portanto, o
resto é 0.
Resposta da questão 10:
[C]
Já que 2 é raiz, podemos utilizar do dispositivo de Briot-Ruffini para determinar as outras raízes
e então fazer o estudo do sinal dessa função polinomial.
Logo, P(x)  ( x  2)  (2x2  x  1), fazendo 2x2  x  1  0, temos x = 1 ou x = -1/2, que são as
outras duas raízes.
Fazendo agora o estudo do sinal do polinômio P(x), temos:
A expressão

x 

/
P(x) estará definida para P(x)  0, ou seja,
1

 x  1 ou x  2
2

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Resposta da questão 11:
O número 2 é raiz, pois p(2) = 0.
Dividindo p(x) por (x – 2), temos:


Logo, P  x    x  2  2x2  2x  1
Onde suas raízes são x  2, x 
1 3
.
2
Resolvendo, agora a inequação P(x)  0 através do gráfico do polinômio P(x).


Portanto, a solução da inequação será dada por S   x 


/

1 3
1 3

x
ou x  2.
2
2


Resposta da questão 12:
[E]
De acordo com o Teorema do Resto e as informações do problema, temos que:
P(2) = 0 e P(–3) = – 45. Resolvendo o sistema abaixo, temos:
8a  4  b  0
27a 6  b  45
Multiplicando a primeira equação por –1 e somando com a segunda temos:
–35a = –35, ou seja, a = 1.
Substituindo a = 1 na primeira equação, temos:
8 + 4 + b = 0, ou seja, b = –12.
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Resposta da questão 13:
[B]
Tomando convenientemente x  2, é fácil ver que as únicas opções possíveis são as
identidades dos itens [A] e [B]. Agora, basta fazer x  2 para concluir que a identidade correta
é a do item [B].
Resposta da questão 14:
02 + 04 = 06.
O polinômio P(x) é dado por
P(x)  (x  2)  (2x2  5)  3  2x3  4x2  5x  7.
[01] Incorreto. Note que P(1)  2  (1)3  4  (1)2  5  (1)  7  18. Logo, P(x) não é divisível
por x  1.
[02] Correto. De fato, o grau de P é P  3.
[04] Correto. Com efeito, tem-se que P(0)  2  03  4  02  5  0  7  7.
[08] Incorreto. O termo independente de x vale 7.
Resposta da questão 15:
[B]
Sejam r, s e t as raízes da equação x3  4x2  x  6  0 e considere que r = s + t.
Utilizando a relação de soma de Girard, temos:
rst  
4
1
r  r  4
r  2
Concluímos então que dois é uma de suas raízes.
Dividindo, agora x3  4x2  x  6 por (x  2)
x3  4x 2  x  6  (x  2)  (x 2  2x  3)  0
x  2  0  x  2
x2  2x – 3  x  3 ou x  1
Logo, S = {– 3, – 2, + 1}.
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Resposta da questão 16:
a) Como os coeficientes de p(x) são números reais, segue-se que suas raízes são 1, 1  αi
e 1  αi. Logo,
p(x)  (x  ( 1))(x  (1  αi))(x  (1  αi))
 (x  1)(x2  2x  α 2  1).
Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x  1) é 8 e α  0, pelo Teorema do Resto,
vem
p(1)  8  (1  1)(12  2  1  α 2  1)  8
 α2  4
 α  2.
b) Utilizando os resultados obtidos em (a), segue que o quociente de p(x) por x  1 é
p(x) (x  1)(x2  2x  5)

 x2  2x  5.
x 1
x 1
Resposta da questão 17:
[D]
Tem-se que
x2  ax  b  (x  2)(x  1)
 x2  x  2.
Daí segue que a  1, b  2 e, portanto, a  b  1  (2)  3.
Resposta da questão 18:
[D]
p(x)  q(x)
x3  x 2  x
x  (x 2  x  1)  0
Temos então duas equações:
x  0 (já resolvida) ou x2  x  1  0 (com discriminante Δ  5, portanto, com duas raízes
distintas).
Portanto, o número de soluções da equação p(x)  q(x) é 3.
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