POLINÔMIOS
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
1. DEFINIÇÃO
2. VALOR NUMÉRICO
3. POLINÔMIOS IDÊNTICOS
4. DIVISÃO DE POLINÔMIOS
4.1. MÉTODO DA CHAVE
4.2. BRIOT-RUFFINI
DIVISÕES SUCESSIVAS
5. TEOREMA DO RESTO
6. DIVISIBILIDADE POR PRODUTO DE FATORES
7. FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO
8. RELAÇÕES DE GIRARD
(apostila voltada para questões objetivas)
Professor Marcelo Renato M. Baptista
Novembro/2010
POLINÔMIOS
E EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Professor Marcelo Renato
1. DEFINIÇÃO
Polinômio na variável real x é toda expressão P(x) da
forma:
anxn  an1xn1  an2xn2   a1x1  a0
Em que:
 a ,a
n





n 1
,a
n2
, , a , a
1
0
são números reais
denominados coeficientes;
n  IN ;
O maior expoente de x, com coeficiente não-nulo é
o grau do polinômio;
O grau do polinômio informa o seu número de
raízes (reais ou não);
O coeficiente não-nulo do termo (monômio) de
maior expoente é denominado coeficiente
dominante;
a é o termo independente de x do polinômio;
0
 Se todos os coeficientes do polinômio forem nulos o

polinômio é chamado polinômio nulo;
O polinômio nulo não possui grau.
Exemplos:





P(x) = 2x5 – 3x4 + 5x – 1 tem grau 5;
P(x) = 0x2 + 10x + 10 tem grau 1;
P(x) = 2 tem grau zero;
P(x) = 3x2 +
Exemplo: (MR 2010) Determine m  IR para que o
polinômio P( x)  (m  4)x3  (m  4)x 2  4x  4 seja de
grau 2.
Resolução:
Para que p(x) tenha grau 2, devemos ter:
m  4  0  m  4

m  4  0  m  4
Portanto, não existe nenhum valor real de m para que o
polinômio P(x) tenha grau 2.
Verificamos que, para m = 4, P(x) terá grau 1 e para
m  4 P(x) terá grau 3.
3. POLINÔMIOS IDÊNTICOS
Dizemos que dois polinômios são iguais ou idênticos
se, e somente se, seus termos correspondentes
tiverem coeficientes respectivamente iguais.
Um polinômio é chamado de identicamente nulo
quando todos os seus coeficientes são nulos.
Utilizamos o símbolo " "
condição de identidade.
Exemplo:
(MR 2010) Sejam os polinômios reais, na variável x,
A( x)  ax3  4x 2  bx  5 e B( x)  4x 2  x  c . Se os
polinômio A(x) e B(x) são idênticos, ou seja,
A( x)  B( x) , determine o valor de (b – a – c).
Resolução:
A( x)  B( x)
ax3  4x 2  bx  5  0x3  4x 2  x  c
x não é um polinômio,
pois x  x1/2  1/2  IN;
P(x) = 0x2 + 0x + 0 não possui grau.
Efetuando a identidade: a = 0, b = 1 e c = – 5.
Assim,
b  a  c  1  0  ( 5)
b  a  c  1 5
bac  6
2. VALOR NUMÉRICO
O valor numérico do polinômio P(x) para x = a é o
número que se obtém substituindo “x” por “a” e
efetuando-se os cálculos necessários; representamos
por P(a).
Quando P(a) = 0 dizemos que “a” é uma raiz do
polinômio.
Exemplo:
(MR 2010) Sendo P( x)  2x 3  x 2  x  2 , determine o
valor numérico do polinômio P(x) para x  1.
Resolução:
P( 1)  2( 1)3  ( 1)2  ( 1)  2
P( 1)  2( 1)  1  1  2
P( 1)  2  1  1  2
P( 1)  0
Verificamos, também, que x  1 uma das três raízes
do polinômio P(x).
quando indicamos a
(FEI-SP) Determine A,
1
A


3
x
1
x 1
B e C na decomposição
Bx  C
.
x2  x  1
Resolução:
A
Bx  C
 2
x

1
x 1
x  x 1
1
A  ( x 2  x  1)  ( x  1)  (Bx  C)

( x  1)  ( x 2  x  1)
( x  1)  ( x 2  x  1)
1
3

1  Ax2  Ax  A  Bx2  Cx  Bx  C
0x 2  0x  1  ( A  B)x 2  ( A  C  B)x  ( A  C)
Da identidade polinomial podemos afirmar:
A  B  0  A  B

A  C  B  0  ( B)  C  B  0  C  2B
A  C  1  ( B)  (2B)  1  B  1/ 3

Logo: A = 1/3 , B = – 1/3 e C = – 2/3.
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
4.1. MÉTODO DA CHAVE
1) (PUC-MG) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é
idêntico ao polinômio Q(x) = x3 – 2x + 4.
O valor de a + b + c + d é:
Exemplo:
Determinar o quociente e o resto da divisão do
polinômio
por
P( x)  6x 4  5x3  4x 2  7x  11
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
D( x)  2x 2  x  3 .
Resolução: Notemos que tanto P(x) quanto D(x) estão
escritos segundo as potências decrescentes de x.
2) (F.C. Chagas-BA)
Dado o polinômio P( x)  x3  2x 2  m x  1 , onde
m  IR , seja P(a) o valor de P para x = a.
Se P(2)  3  P(0) , então P(m) é igual a:
a) – 5
b) – 3
c) – 1
d) 1
e) 14
Resolução:
Dividimos o termo de maior grau de P(x) pelo
termo de maior grau de D(x):
1º
 6x 4
2x 2
 3x 2 ,
obtendo assim o 1º termo do quociente q(x);
Multiplicamos o quociente obtido (– 3 x2) por D(x):
(– 3 x2).(2x2 – x + 3) = – 6x4 + 3x3 – 9x2
2º
3) (UCMG) A soma dos valores de A, B e C tal que
2x  3
A Bx  C
é:
  2
2
x( x  1) x x  1
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
O resultado é colocado, com sinal trocado, sob os
termos semelhantes de P(x):
Somamos os termos semelhantes, e os termos
de P(x) que não têm semelhantes a somar dever
ser copiados (abaixados). Obtemos, então, o
primeiro resto parcial:
3º
Caso o grau do resto parcial seja maior ou igual
ao grau do divisor D(x), repetimos os passos
anteriores, efetuando a divisão do resto parcial
atual pelo divisor D(x) até que o grau do resto se
torne menor que o grau do divisor ou que o resto
seja zero (divisão exata):
4. DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Sejam os polinômios P(x) e D(x), respectivamente de
graus m e n, com m  n .
Considerando gr(r) e gr(D), respectivamente, o grau
de r(x) e o grau de D(x), temos que:
4º
Dividir P(x) por D(x) é determinar outros dois
polinômios: o quociente q(x) e o resto r(x) tais que:
P( x )  q ( x ).D( x ) + r ( x );
gr ( r ) < gr ( D ) ou r ( x ) = 0.
grmáx ( r ) = gr ( D ) – 1
 gr max ( r ) significa o maior grau possível para o
polinômio resto.
Então, o quociente q(x) = – 3x2 + x + 3
e o resto r(x) = 7x - 20.
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
4.2. BRIOT-RUFFINI
4) (UFR-PE)
Qual o resto da divisão do polinômio x3 – 2x2 + x + 1
por x2 – x + 2 ?
Se quisermos dividir um polinômio P(x) por (x – a)
podemos nos valer de um algoritmo chamado
dispositivo prático de Briot-Ruffini (Charles A. A. Briot,
matemático francês, 1817–1882 e Paolo Ruffini,
matemático italiano, 1765–1822) no qual trabalhamos
somente com os coeficientes de P(x) e com a raiz do
divisor x – a.
a) x + 1
b) 3x + 2
c) – 2x + 3
d) x – 1
e) x – 2
Exemplo: Determine o quociente e o resto da divisão
de P(x) = x4 – 5x3 + x2 – 3x + 6 por (x – 2).
Resolução:
Em primeiro lugar, devemos dispor os coeficientes de
P(x) e a raiz de (x – 2), conforme o esquema abaixo:
O 1º passo é “abaixar” o 1º coeficiente de P(x) que,
neste exemplo, é 1:
5) (MR 2010) O quociente e o resto da divisão de
P( x)  2x5  3x  12 por D( x)  x 2  1 são, respectivamente:
3
a) 2x – 2x
b) – 2x3 + 2x
c) 2x3 – 2x
d) – 2x3 + 2x
e) – 2x3 + 2x
e
e
e
e
e
– x + 12
– x + 12
– x – 12
– x + 12
x + 12
Em seguida, multiplica-se 1 por 2 e soma-se o produto
obtido com o 2º coeficiente de P(x). O resultado
encontrado [ 1 . 2 + (– 5) = – 3 ] o 2º coeficiente do
quociente procurado.
O passo seguinte é multiplicar – 3 por 2 e somar o
produto obtido com o 3º coeficiente de P(x).
O novo resultado encontrado ( – 3 . 2 + 1 = – 5 ) é o
3º coeficiente do quociente.
6) (MR 2010)
Se P(x) = 2x3 – 4x2 + ax + b e Q(x) = x2 – 3x +2 são
polinômios, os valores de a e b, para que P(x) seja
divisível por Q(x), são, respectivamente:
Sugestão: Quando um polinômio é divisível por outro,
as raízes do polinômio divisor são, também, raízes do
polinômio dividendo.
Não Esqueça: P(raiz) = zero.
a) –1 e 3
b) –1 e 2
c) –2 e 3
d) –2 e 4
e) –3 e 2
Em seguida, de modo análogo, multiplica-se – 5 por 2
e soma-se com o 4º coeficiente de P(x). O resultado
encontrado [ – 5 . 2 + ( – 3 ) = – 13] é o 4º coeficiente
do quociente.
Para finalizar, repete-se o processo para o número
– 13 obtendo-se – 20, que é o resto da divisão:
( – 13 . 2 + 6 = – 20 ).
O quociente procurado é q(x) = x3 – 3x2 – 5x – 13 e o
resto, que é independente de x, é R = – 20.
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
7) (FGV-SP) Seja Q(x) o quociente da divisão do
polinômio P(x) = x6 – 1 pelo polinômio d(x) = x – 1.
Então:
a) Q(0) = 0
b) Q(0) < 0
c) Q(1) = 0
d) Q(– 1) = 1
e) Q(1) = 6
9) (MR 2010) Um polinômio p(x), dividido por (2x  1) ,
deixa resto – 1.
O quociente desta divisão é então dividido por
( x  1) , obtendo-se resto 2.
O resto da divisão de p(x) por (2x  1)  ( x  1) é ...
a) 1
b) 2
c) 4x + 1
d) x – 1
e) 3
8) (UFCE)
Na divisão do polinômio P(x) = x6 por (x + 1), o
quociente é Q1(x) e o resto é R1. Se R2 é o resto da
divisão de Q1(x) por (x + 1), então R2 é igual a:
a) – 4
b) – 5
c) – 6
d) – 7
e) – 8
5. TEOREMA DO RESTO
Observação Importante:
COMO OBTER O RESTO
EM DIVISÕES SUCESSIVAS ?
Exemplo:
Um polinômio p(x), dividido por ( x  1) , deixa resto 2.
O quociente desta divisão é então dividido por ( x  4) ,
obtendo-se resto 1.
O resto da divisão de p(x) por ( x  1)  ( x  4) é ...
Resolução:
Na divisão do polinômio P(x), de grau maior ou igual
a 1, por um binômio do 1º grau do tipo (ax + b), com
a e b reais, teremos q(x) como quociente e R como
resto.
P(x) = q(x).(ax – b) + R
Calculando a raiz do divisor: ax + b = 0  x  
 b
 b   b 
P     q       a      b  R
a   a 
 a  
 

b
a
 b
R  P 
 a
0
Teorema do resto:
Resto = P (raiz do divisor)
Exemplo 1: (MR 2010) Determine o resto da divisão
de P(x) = 2 x4 – 4 x3 – 1 por D(x) = 3 x – 6.
P( x )  q1( x )  ( x  1)  2 ..... ( 1)
q1( x )  q2 ( x )  ( x  4)  1 .... ( 2 )
Fazendo ( 2 )  ( 1) :
P( x )  [ q2 ( x )  ( x  4)  1]  ( x  1)  2


q1 ( x )
Arrumando: P( x )  q2 ( x )  ( x  1)( x  4)  x  1

O Resto procurado é igual a (x + 1).
Resolução:
Como o divisor é do 1º grau (ax + b), podemos aplicar
o teorema do resto, ou seja:
Cálculo da raiz do divisor:
D(x) = 0  3 x – 6 = 0  x = 2
Teorema do resto: R = P(2)
R = 2.(2)4 – 4.(2)3 – 1
R=–1
Exemplo 2:
(Osec-SP) Um polinômio p(x), quando dividido por
( x  2) , dá resto 15, quando dividido por (x + 1), dá
resto 3. Dividindo-o por (x – 2).(x + 1), o valor
numérico do resto para x = 0 é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Resolução:
 P(2)  15........... (1)
Pelo teorema do resto: 
 P( 1)  3 ........... (2)
13) (UFES)
O resto da divisão de um polinômio por (x + 1) é 6, e
por (x – 2) é 3. Ao dividir o mesmo polinômio pelo
produto (x + 1)(x – 2), o resto é:
a) 18
b) 9x
c) 2x + 3
d) – x + 5
e) x2 – 9x + 18
P(x) = q(x).(x – 2).(x + 1) + R(x) ............... ( 3 )
Sabemos que o grau do resto R(x) tem que ser menor
que o grau do divisor ;
Como, neste exemplo, o divisor “(x – 2).(x – 1)” é do
2º grau, logicamente, o maior grau possível para o
resto será 1.
O Resto R(x) é do tipo R(x) = a x + b ......... (4)
Fazendo (4)  (3):
P(x) = q(x).(x – 2).(x + 1) + a x + b .............. (5)
14)
(UFR-PE) Seja p(x) um polinômio com
coeficientes reais. Assinale a alternativa certa
para o resto da divisão de p(x) por x2 – 5x + 6,
sabendo-se que p(2) = 2 e p(3) = 3.
Dica: x 2  5x  6  ( x  2)( x  3)
a) 2x + 1
b) x + 1
c) x – 3
d) x – 2
e) x
Substituindo (1) e (2) em (5):
P(2)  15
 2a  b  15


P( 1)  3
 a  b  3
Resolvendo o sistema, temos: a = 4 e b = 7.
6. DIVISIBILIDADE POR PRODUTO DE FATORES
R(x) = ax + b  R(x) = 4x + 7  R(0) = 7.
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
1. Se um polinômio P(x) é divisível por (x – a) e
também por (x – b), então, P(x) é divisível pelo
produto (x – a).(x – b).
10) (UFES)
O resto da divisão do polinômio P(x) = x1032 – 12x3 + 15
pelo binômio Q(x) = x + 1 vale:
2. Se um polinômio P(x) é divisível por (x – a).(x – b),
então, P(x) é divisível por (x – a) e por (x – b),
isoladamente.
a) 1032
b) 28
c) 15
d) 12
e) 4
11) (UFPA) Sabendo-se que os restos das divisões de
x2 + px + 1 por x – 1 e x + 2 são iguais entre si, o
valor de p é:
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 2
Observações:
a) E ambas as situações acima, como (x – a) e ( x – b)
são fatores de P(x), consequentemente, a e b são
raízes de P(x).
b) A informação acima é válida para a existência de
dois ou mais fatores compondo o polinômio divisor
na situação de divisibilidade, ou seja, de resto nulo.
Exemplo:
(FEI-SP) Dado o polinômio p(x) = 4x4 – 5x2 – 3bx + a,
calcule os valores de a e b de modo que p(x) seja
divisível por g(x) = x2 – 1.
Resolução:
Fazendo g(x) = (x + 1)(x – 1)
12) (Santa Casa-SP) Dividindo-se um polinômio f por
x2 – 3x + 1 obtém-se quociente x + 1 e resto 2x + 1. O
resto da divisão de f por x + 1 é:
Temos que, como conseqüência, que P(x) é divisível
por (x + 1) e por (x – 1).
Logo:
a) – 2
b) – 1
c) 3
d) 2x – 1
e) 2x + 1
P(– 1) = 0  4(– 1)4 – 5(– 1)2 – 3b(– 1) + a = 0
4
2
P( 1 ) = 0  4 (1) – 5 (1) – 3b (1) + a = 0
 3b  a  1
Resolvendo o sistema 
 3b  a  1
Resposta: a = 1 e b = 0.
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
7. FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO
15) (Marcelo Renato 2009) Determine p+q para que o
polinômio P( x)  2x3  4x 2  px  q seja divisível por
(x + 1).(x – 2).
Seja P(x) um polinômio de grau n, n  1, dado por:
a) – 2
b) 4
c) 2
d) – 4
e) – 1
16) (Mack–SP 2005) Um polinômio tem resto A,
quando dividido por (x – A), e resto B, quando
dividido por (x – B), sendo A e B números reais. Se o
polinômio p(x) é divisível por (x – A).(x – B), então:
a) A = B = 0
b) A = 1 e B = – 1
c) A = 1 e B = 0
d) A = B = 1
e) A = 0 e B = 1
P( x)  anxn  an  1xn  1   a1x  a0 , ( a0  0)
Podemos decompô-lo em “n” fatores do 1º grau sob a
forma: P(x) = an .( x – x1 ).( x – x2 ).( x – x3 ) ... ( x – xn ).
Em que x1 , x2 , x3 , . . . , xn são as “n” raízes de P(x)
e an é o coeficiente dominante de P(x).
Por exemplo, seja o polinômio
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, com raízes x1 , x2 e x3 .
Decompondo o mesmo em fatores do 1º grau,
teremos:
P(x)= a.( x – x1 )( x – x2 ) ( x – x3 )
Observações:
1. Se duas, três ou mais raízes forem iguais, dizemos
que são raízes duplas, triplas etc.
2. Uma raiz “c” do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou
de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x – c)2.
3. Dizemos que cada um dos polinômios do 1º grau,
(x – x1), (x – x2), (x – x3), ... , (x – xn), é um fator de
P(x).
4. P(x) é divisível, individualmente, por cada um de
seus fatores.
ATENÇÃO
Utilizaremos o dispositivo de Briot-Ruffini,
abaixando o grau do mesmo,
para encontrarmos as raízes de um
polinômio P(x).
Explicação:
Usando, como exemplo, um P(x) de grau 3 ...
Sabemos que P( x)  a( x  x1)  ( x  x 2 )  ( x  x3 )
Logicamente também sabemos que P(x) é divisível
por cada um dos seus fatores, ou seja:
P(x) é divisível por ( x  x1) , assim como por ( x  x 2 ) e
por ( x  x 3 ) , isto é evidente!
Observe:
Na simplificação efetuada acima, o grau da equação
P(x) = 0 foi reduzido para grau 2 e assim poderemos
encontrar as outras duas raízes de P(x) através da
fórmula de Bhaskara.
CURIOSIDADE
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de
resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no
Brasil por volta de 1960. Esse costume,
aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome
de Bhaskara para essa fórmula na literatura
internacional), não é adequado pois :
* Problemas que recaem numa equação de 2º grau
já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos
escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se
tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de
símbolos) que ensinava como proceder para
determinar as raízes em exemplos concretos com
coeficientes numéricos
* Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu
até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes
matemáticos do século 12. As duas coleções de seus
trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e
Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de
aritmética e álgebra respectivamente, e contêm
numerosos problemas sobre equações de lineares e
quadráticas ( resolvidas também com receiras em
prosa ) , progressões aritméticas e geométricas,
radicais, tríadas pitagóricas e outros.
* Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula
para obter as raízes de uma equação do 2º grau,
simplesmente porque não se representavam por letras
os coeficientes de uma equação. Isso só começou a
ser feito a partir da François Viéte, matemático
francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a
riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a
ele a conhecida fórmula de resolução da equação de
2º grau.
EXEMPLO:
Para escrevermos um polinômio P(x) na forma
fatorada, ou seja, como produto de fatores do 1º grau,
precisaremos do seu coeficiente dominante e de todas
as suas raízes.
Vejamos o Polinômio P( x)  2x3  8x 2  2x  12 ,
sabendo que uma das suas raízes é x1  3 .
1º passo: Utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini,
com a raiz do polinômio, para abaixar o
grau do mesmo.
2º passo: Igualar o quociente a zero e encontrar as
demais raízes.
OBS: Neste exemplo, bastou apenas uma raiz
conhecida para, com o rebaixamento encontrado,
calcularmos as demais raízes com a aplicação da
fórmula de Bhaskara.
Caso o polinômio tivesse grau 4, precisaríamos do
conhecimento e respectiva utilização de duas raízes
do mesmo para, utilizando o dispositivo prático de
Briot-Ruffini por duas vezes (uma para cada raiz
conhecida) chegarmos ao cálculo das outras duas
raízes através da fórmula de Bhaskara.
3º passo: De posse de todas as raízes do polinômio
P(x) e do seu coeficiente dominante...
P
x) 
2
( x

3)(

1)(
x

2)
( 

x
Forma fatorada do polinômio P(x).
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
17) (MR 2010) O resto da divisão do polinômio
P(x) = – 2x3 – 5x2 – x + k + 1 , k  IR, por (x + 1) é
igual a zero. O polinômio P(x), escrito na forma
fatorada (produto de fatores do 1º grau) é:
a) P( x)  ( x  1)( x  2)( x  1)
1
b) P( x )   ( x  1)( x  2)( x  1/ 2)
2
c) P( x)  2( x  1)( x  2)( x  1/ 2)
d) P( x)  2( x  1)( x  2)( x  1)
e) P( x)   2( x  1)( x  2)( x  2)
18) (MR 2010)
Se o polinômio P( x)  x 4  4x3  7x 2  22x  24 é
divisível por ( x  2) , podemos afirmar que um dos
seus fatores de 1º grau é o polinômio
Sugestão: Em toda equação, sempre verifique se
a soma dos seus coeficientes é igual a zero; se o
for, com certeza 1 (um) é raiz da referida equação
e, assim sendo, podemos utilizar esta raiz 1 (um)
conhecida para, com o uso do dispositivo prático
de Briot-Ruffini, abaixar o seu grau e
determinarmos as demais raízes.
a) x + 1
b) x – 3
c) x + 4
d) 2x + 6
e) x2 – 1
19) (Marcelo Renato 2009) Os zeros (ou raízes) do
polinômio P(x) = x3 + x2 – 26x +24 são:
a) –6, – 4, 1
b) –6, 1, 4
c) –4, –1, 6
d) –1, 4, 6
e) 1, 4, 6
Exemplo: (MR 2010) Determine o conjunto solução
da equação P( x)  x3  4x 2  x  6 , sabendo que uma
das suas raízes é a igual à soma das outras duas.
Resolução:
Considerando x1, x2 e x3 as raízes da equação abaixo:
x 3  4x 2  x  6  0
Girard:
 ( 4)
x1  x 2  x 3 
 x1  x 2  x 3  4 ......( 1)
1
Do enunciado:
x 2  x3  x1 .......................................( 2 )
Substituindo ( 2 ) em ( 1 ):
20) (UFES modificada)
Sabendo que o polinômio P(x) = 2x3 + m x2 + x – 2 é
divisível por (x + 2), podemos decompô-lo num
produto de fatores do 1º grau. O polinômio P(x) e o
valor da constante m encontram-se na alternativa:
a) P(x) = 2(x + 2)(x – 1)( x – 3); m = – 2
b) P(x) = 2(x + 2)(x – 1)( x + 3); m = – 1
c) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x – 1/3); m = 5
d) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x + 1/2); m = 5
e) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x – 1/2); m = 5
x1 +(x1) = 4  2x1 = 4  x1 = 2
1) Temos que x3  4x 2  x  6  0, onde x1  2 ;
2) Abaixando o grau da equação com a utilização do
dispositivo prático de Briot-Ruffini
2
1
–4
1
6
1
–2
–3
0
4) Assim,
2
x 3  4x 2  x  6  0 (x – 2).(x – 2x – 3) = 0
(x – 2)(x2 – 2x – 3) = 0
x2 – 2x – 3= 0  x2 = – 1 ou x3 = 3.
Resposta: S = { – 1; 2; 3 }.
Observação Importante:
Alguns testes sobre raízes de uma equação utilizam
os termos raízes simétricas (ou opostas) e raízes
recíprocas.
Raízes Simétricas:
x1  A e x 2  A ;
Raízes Recíprocas:
1
A
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
8. RELAÇÕES DE GIRARD
Algumas relações entre os coeficientes de uma
equação e suas raízes, conhecidas como Relações de
Girard, constituem uma ferramenta importante na
resolução de equações quando conhecemos alguma
informação sobre suas raízes.
x1  x 2  
ax2 + bx + c = 0
x1  x 2 
b
a
c
a
x1  x 2  x 3  
ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1  A e x 2 
b
a
x1.x 2  x1.x 3  x 2 .x 3 
c
a
d
x1.x 2 .x 3  
a
Observações: Para equações de graus maiores que três,
deveremos, atentando-se à sequência alfabética dos
coeficientes e à alternância dos sinais à direita da
igualdade, seguir o seguinte procedimento com suas
raízes.
21) (Cesgranrio)
Se x1 e x2 são as raízes de x2 + 57x – 228 = 0, então
1
1

vale:
x1 x 2
a) – 1/4
b) – 1/2
c) 1/4
d) 1/2
e) 1
22) (U.F.São Carlos-SP modificada)
Sabendo-se que a soma de duas das raízes da
equação x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 é igual a 5, pode-se
afirmar a respeito das raízes que:
a) são todas iguais e não nulas
b) somente uma é nula
c) as raízes podem constituir uma P.G.
d) as raízes podem constituir uma P.A.
e) nenhuma raiz é real
23) (Fuvest-SP) Sabe-se que o produto de duas
raízes da equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é
igual a 1. Então o valor de k é:
a) – 8
b) – 4
c) 0
d) 4
e) 8
24) (Fuvest-SP) Se a equação 8x3 + kx2 – 18x + 9 = 0
tem raízes reais a e – a, então o valor de k é:
a) 9/4
b) 2
c) 9/8
d) – 2
e) – 4
EXERCÍCIOS SÉRIE CASA
1) (U.E.CE) Sejam P(x) e Q(x) polinômios tais que
P( x )  Q( x ) + x3 + 2x + 3. Se 1 é raiz de P(x) e
3 é raiz de Q(x), então P( 3 ) – Q( 1 ) é igual a:
a) 30
b) 32
c) 40
d) 42
e) 48
2) (U.E.CE) Se
2x  5  ( x  m)2  ( x  n)2 , então
m3  n3 é igual a:
a) 19
b) 28
c) 35
d) 37
e) 42
3) (Unirio-RJ) O resto da divisão do polinômio
P(x) = x3 – x + 1 pelo polinômio D(x) = x2 + x + 1
é igual a:
25) (Unificado-RJ) Se a, b e c são as raízes da
equação x3 – 10x2 – 2x + 20 = 0, então o valor
da expressão a2bc + ab2c + abc2 é igual a:
a) 400
b) 200
c) – 100
d) – 200
e) – 400
a) 0
b) x + 2
c) x – 2
d) – x + 2
e) – x – 2
4) (UECE-CE) Na divisão do polinômio f = (x2 + 2)2
por g = x2 – x – 1, obtêm-se quociente e resto,
respectivamente:
a) x2 – x – 6
b) x2 + x – 6
c) x2 + x – 6
2
d) x + x + 6
e) x2 + x + 6
e
e
e
e
e
7x + 10
7x – 10
7x + 10
7x – 10
7x + 10
5) (UCMG) Os valores de a e b que tornam o
polinômio P(x) = x3 + 4x2 + ax + b divisível
por (x + 1)2 são, respectivamente:
9) (Santa Casa-SP)
Na divisão de um polinômio f por (x – 2)2, obtêm-se
quociente x + 1 e resto 1 – 2x. O resto da divisão
de f por x + 1 é:
a) 1 e 2
b) 3 e 2
c) 4 e 5
d) 5 e 2
e) 5 e 3
a) 1 – 2x
b) – 3
c) – 1
d) 1
e) 3
6) (UFCE) Na divisão do polinômio P(x) = x 6
por x + 1, o quociente é Q1(x) e o resto é R1. Se
R2 é o resto da divisão de Q1(x) por x + 1, então
R2 é igual a:
a) – 4
b) – 5
c) – 6
d) – 7
e) – 8
10) (Cescea-SP) Um polinômio P(x), quando dividido
por (x + 2) dá resto 5 e, quando dividido por (x – 2),
dá resto 13. Dividindo-se P(x) por x2 – 4 obtém-se
um resto R(x). Então, o valor de R(x) para x = 1 é:
a) – 18
b) 34
c) 11
d) 2
e) 18
7) (MR 2010)
As raízes da equação x3 – 14x2 + 56x – 64 = 0,
sabendo que elas estão em progressão
geométrica, são:
a) maiores que 3
b) menores que 4
c) o cubo da menor é igual à maior
d) o quadrado da menor é igual à maior
e) a maior é o dobro da menor
8) (Fuvest-SP) Seja P(x) um polinômio divisível
por x – 3. Dividindo P(x) por x – 1, obtemos
quociente Q(x) e resto R = 10. O resto da
divisão de Q(x) por x – 3 é:
a) – 5
b) – 3
c) 0
d) 3
e) 5
11) (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por x2 – x
resulta no quociente 6x2 + 5x + 3 e resto –7x.
O resto da divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
12) (FGV-SP)
Sabe-se que o polinômio f = x4 – x3 – 3x2 + x + 2 é
divisível por x2 – 1. Outro divisor de f é o polinômio:
a) x 2  4
b) x 2  1
c) ( x  1)2
d) ( x  2)3
e) ( x  1)2
13) (UFSE)
Se –2 é raiz do polinômio f = 2x3 + x2 – 8x – 4, então a
forma fatorada de f é:
18) (U.F.São Carlos-SP) Sabendo-se que a soma de
duas raízes reais de x3 + mx + 6 = 0 é – 2, então
o valor de m é:
a) (x – 2)(2x + 1)(x – 4)
b) (x – 2)(2x – 1)(x + 4)
c) (x + 2)(x + 1)(2x – 1)
d) (x + 2)(x + 1)(2x – 1)
e) (x + 2)(x – 2)(2x + 1)
a) 7
b) – 6
c) – 7
d) – 2
e) 2
19) (Santa Casa-SP) a soma dos inversos das raízes
da equação 2x3 – 5x2 + 4x + 6 = 0 é:
14) (MED-ABC/SP)
As raízes da equação x3 – 9x2 +23x – 15 = 0 estão
em progressão aritmética. Suas raízes são:
a) 1, 2, 3
b) 2, 3, 4
c) 1, 3, 5
d) 2, 4, 6
e) 3, 6, 8
15) (FEI-SP) A equação x3 – 2x2 – x + 2 = 0
apresenta duas raízes simétricas. O produto das
duas maiores raízes é;
a) – 1
b) 0
c) 2
d) 3
e) 4
16) (Santa Casa-SP)
Se a equação 4x3 + kx2 – x + 2 = 0, com coeficientes
reais, admite duas raízes recíprocas, então k é um
número:
a) negativo
b) maior que 0 e menor que 2
b) maior que 2 e menor que 3
b) maior que 3 e menor que 5
e) maior que 5
a) 3/2
b) 2/3
c) 1/3
d) – 2/3
e) – 3/2
20) (UFSM) A equação x3 – 5x2 + ax + b = 0
admite uma raiz dupla igual a 2. Se a e b
são coeficientes reais, a razão a/b é igual a:
a) 4/3
b) 1/4
c) – 1/2
d) – 1
e) – 2
GABARITO SÉRIE AULA
1
B
6
D
11
D
16
A
21
C
2
B
7
E
12
B
17
C
22
C
3
C
8
C
13
D
18
C
23
A
4
C
9
C
14
E
19
B
24
E
5
A
10
B
15
C
20
E
25
D
GABARITO SÉRIE CASA
17) (Santa Casa-SP)
Sabe-se que a equação 4x3 – 12x2 – x + k = 0,
onde k  IR, admite duas raízes opostas.
O produto das raízes dessa equação é:
1
D
6
C
11
E
16
A
2
C
7
C
12
C
17
B
3
D
8
A
13
E
18
C
a) – 12
b) – 3/4
c) – 1/4
d) 3/4
e) 12
4
E
9
E
14
C
19
D
5
D
10
C
15
C
20
E