Exercícios de Matemática
Polinômios
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos
parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira
ou (F) se for falsa.
1. Na figura a seguir, temos um esboço de parte do
gráfico de uma função polinomial
2. Sobre polinômios, pode-se afirmar:
(01) O resto da divisão do polinômio
p(x)=x§¥+2x¤£+3x¢§+x©+x¥+x£+x por x-1 é igual a 6.
(02) Dividindo-se o polinômio p(x) pelo polinômio g(x),
obtém-se quociente q(x) e resto r(x); então, o grau de
r(x) é menor do que o grau de g(x).
(04) Sendo p(x)=4x¦+ax¥+2x¤-x£, q(x)=bx¦+2x¥+cx¤+x£
e, para todo x, p(x)+q(x)=0, tem-se que a.b.|c|=2¥.
(08) Sendo m o grau dos polinômios p(x) e q(x), então
o grau do polinômio p(x)+q(x) é igual a m.
(16) A soma de todos os zeros do polinômio p(x)=x¥4x¤+5x£ pertence ao intervalo ]0,5].
(32) Se p(x)=x¤-ax£+bx+2 e q(x)=ax¤-bx£-3x-1 são tais
que p(1)=5 e q(-1)=4, então (a+b)£=2.
Soma (
Analise as seguintes afirmativas:
( ) O grau do polinômio p(x) é ´ 6.
( ) O grau do polinômio p(x) é µ 7.
( ) A equação p(x) = 0 não possui raízes reais.
( ) O polinômio p(x) é divisível por x(x+2)(x-2).
( ) O polinômio p(x) é divisível por (x£-1)(x-3)(x-4).
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Ufba) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos
parênteses a soma dos itens corretos.
)
3. (Ita) No desenvolvimento de (ax£ - 2bx + c + 1)¦
obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes
somam 32. Se 0 e -1 são raízes de p(x), então a
soma a + b + c é igual a
a) -1/2.
b) -1/4.
c) 1/2.
d) 1.
e) 3/2.
4. (Unesp) Sejam f(x) = x¤ + x£ - x + 2 e g(x) = f(x) f(2). Calcule as raízes de g(x).
5. (Mackenzie) Se k e p são, respectivamente, a
soma e o produto das raízes da equação 4x¦-2x¤+x£x+1=0, então k+p vale:
a) -4
b) -2/5
c) +1/4
d) -1/4
e) 5/2
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6. (Ufsc) Assinale a soma dos números associados
à(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) A inequação
tem solução S = ¹.
(02) O polinômio p(x) = x¤ + x£ + 4x + 4 não pode ser
escrito como um produto de polinômios de grau 1
com coeficientes reais.
(04) O polinômio 2x¤ + 5x£ - x - 6 é divisível por x - 1 e
também por 2x + 3.
(08) A solução da equação sen x = tg x é constituída
dos arcos x para os quais sen x = 0 ou cos x = 1.
7. (Ufv) Sabendo-se que o número complexo z=1+i é
raiz do polinômio p(x)=2x¥+2x£+x+a,calcule o valor de
a.
8. (Unicamp) Determine o quociente e o resto da
divisão de x¢¡¡+x+1 por x£-1.
9. (Ita) A divisão de um polinômio P(x) por x£-x resulta
no quociente 6x£+5x+3 e resto -7x. O resto da divisão
de P(x) por 2x+1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10. (Unesp) Se m é raiz do polinômio real p(x)=x§(m+1)x¦+32, determine o resto da divisão de p(x) por
x-1.
11. (Fuvest) a) Quais são as raízes inteiras do
polinômio p(x)=x¤-x£-4?
b) Decomponha o polinômio p(x) em um produto de
dois polinômios, um de grau 1 e outro de grau 2.
c) Resolva a inequação p(x)<4(x-2).
12. (Unesp) Considere um polinômio da forma
f(x) = x¤ + (cos š)x.
Sendo i=Ë-1 a unidade imaginária, demonstre que
f(x) é divisível por x-i (sobre o corpo dos complexos)
se, e somente se, š=2k™(kÆZ).
13. (Unitau) O valor de b para o qual o polinômio
P(x)=15x¢§+bx¢¦+1 é divisível por x-1 é:
a) -16.
b) 16.
c) 15.
d) 32.
e) 64.
14. (Unitau) Sabe-se que 1, 2 e 3 são raízes de um
polinômio do terceiro grau P(x) e que P(0)=1. logo,
P(10) vale:
a) 48.
b) 24.
c) - 84.
d) 104.
e) 34.
15. (Fuvest) Considere um polinômio não nulo p(x) tal
que
(p (x))¤=x£p(x)=xp(x£) para todo x real.
a) Qual é o grau de p(x)?
b) Determine p(x).
16. (Fuvest) Sejam R e R‚ os restos das divisões de
um polinômio P(x) por x-1 e por x+1, respectivamente.
Nessas condições, se R(x) é o resto da divisão de
P(x) por x£-1 então R(0) é igual a:
a) R• - R‚
b) (R + R‚)/RR‚
c) R + R‚
d) RR‚
e) (R + R‚)/2
17. (Fuvest) Considere o polinômio não nulo
P(x)=a³+ax+a‚x£+...+aŠx¾ onde a³, a, a‚,...,aŠ estão
em progressão geométrica de razão q·0.
a) Calcule P(1/q).
b) Mostre que, para n par, o polinômio P(x) não tem
raiz real.
18. (Fuvest) Sabendo-se que p(x) é um polinômio, a é
uma constante real e p(x) = x¤-3x£+2x+(a cos x)/(2+x£)
é uma identidade em x, determine:
a) o valor da constante a. Justifique.
b) as raízes da equação p(x)=0.
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19. (Fuvest) Seja p(x) um polinômio divisível por x-3.
Dividindo p(x) por x-1 obtemos quociente q(x) e resto
r=10. O resto da divisão de q(x) por x-3 é:
a) - 5
b) - 3
c) 0
d) 3
e) 5
20. (Fuvest) Seja p(x) = x¥+ bx¤+ cx£+ dx + e um
polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as
quatro raízes de p(x) são inteiras e que três delas são
pares e uma é impar. Quantos coeficientes pares têm
o polinômio p(x)?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
21. (Cesgranrio) O resto da divisão do polinômio
P(x)=(x£+1)£ pelo polinômio D(x)=(x-1)£ é igual a:
a) 2
b) 4
c) 2x - 1
d) 4x - 2
e) 8x - 4
22. (Fatec) Os restos da divisão de um polinômio p
por (x-1) e por (x+2) são respectivamente, 1 e -23. O
resto da divisão de p por (x-1)(x+2) é
a) - 23
b) - 22x
c) x - 2
d) 3x + 1
e) 8x - 7
23. (Fei) Se na divisão do polinômio P(x)=x¤+5x-4
pelo polinômio Q(x) obtém-se um quociente x e um
resto R(x) que é divisível por x-1, então R(x) vale:
a) (x -1)
b) 2 (x -1)
c) 3 (x -1)
d) 4 (x -1)
e) 5 (x -1)
24. (Unicamp) Seja
a) Mostre que x = 2 é uma raiz do polinômio p(x).
b) Mostre que as outras duas raízes de p(x) também
são reais.
c) Quais as condições sobre a, b, c e d para que p(x)
tenha uma raiz dupla, x · 2?
25. (Uel) O polinômio x¤ - x£ - 14x + 24 é divisível por
a) x - 1 e x + 3
b) x - 2 e x + 5
c) x - 2 e x + 4
d) x - 3 e x + 2
e) x + 5 e x - 3
26. (Uel) A equação 2x¤ - 5x£ + x + 2 = 0 tem três
raízes reais. Uma delas é 1. As outras duas são tais
que
a) ambas são números inteiros.
b) ambas são números negativos.
c) estão compreendidas entre -1 e 1.
d) uma é o oposto do inverso da outra.
e) uma é a terça parte da outra.
27. (Uel) O polinômio p tem grau 4n+2 e o polinômio
q tem grau 3n-1, sendo n inteiro e positivo. O grau do
polinômio p.q é sempre
a) igual ao máximo divisor comum entre 4n + 2 e 3n 1.
b) igual a 7n + 1.
c) inferior a 7n + 1.
d) igual a 12n£ + 2n + 2.
e) inferior a 12n£ + 2n + 2.
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28. (Uel) Se o resto da divisão do polinômio p=x¥-4x¤kx-75 por (x-5) é 10, o valor de k é
a) - 5
b) - 4
c) 5
d) 6
e) 8
29. (Ufmg) Sejam P(x)=x£-4 e Q(x)=x¤-2x£+5x+a, onde
Q(2)=0. O resto da divisão de Q(x) por P(x) é
a) - x - 2
b) 9x - 18
c) x + 2
d) 0
e) - 9x + 18
30. (Ufmg) Sejam A e B números reais que
satisfazem à igualdade da expressão a seguir para
todo valor de x que não anula nenhum dos
denominadores.
A soma A+B é
a) -1
b) -1/3
c) 0
d) 1/3
e) 3/2
31. (Unesp) Sabe-se que a soma dos n primeiros
termos da sucessão aÖ=x(x + 1), x=1, 2,...... é o
polinômio em n de grau 3. Esse polinômio é:
a) n¤/3 - n/3
b) (n¤ + 3n£ + 2n)/3
c) (n¤ - 3n£ + 2n)/3
d) 3n¤ - n
e) n¤
32. (Unaerp) Se P(x) = 3x¤ - 5x£ + 6x + a é divisível
por x - 2, então os valores de a e de P(2), são
respectivamente:
a) - 16 e - 2
b) - 16 e 2
c) 16 e - 2
d) 16 e 2
e) - 16 e zero
33. (Uece) Se Q•(x) é o quociente da divisão de x£+2
por x+1 e Q‚(x) é o quociente da divisão de x£+2 por
x-1, então Q(3)+Q‚(4) é igual:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
34. (Mackenzie) Se P (x - 1) = x£ - 2x + 3, então o
resto da divisão de P (x) por x - 3 é:
a) 3.
b) 5.
c) 7.
d) 9.
e) 11.
35. (Mackenzie) Se a soma de duas raízes de P (x) =
x¤-6x£+11x+k é 3, então o número real k é igual a:
a) - 6.
b) - 3.
c) - 2.
d) 3.
e) 6.
36. (Faap) Dividindo-se x£ + kx + 2 por (x - 1) e por (x
+ 1) são encontrados restos iguais entre si. O valor de
k é:
a) 0
b) - 1
c) 1,5
d) - 1,5
e) impossível de determinar com os dados
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37. (Fgv) Sabe-se que o polinômio f=x¥-x¤-3x£+x+2 é
divisível por x£-1. Um outro divisor de f é o polinômio
a) x£ - 4
b) x£ + 1
c) (x + 1)£
d) (x - 2)¤
e) (x - 1)£
38. (Fatec) Se -1 é raiz do polinômio p(x)= x¤- 4x£+ x k, kÆIR, então as outras duas raízes são
a) reais e de multiplicidade 2.
b) racionais e negativas.
c) não reais.
d) irracionais.
e) inteiras.
39. (Mackenzie) O resto da divisão de um polinômio
P(x) por 2x-1 é 4; deste modo, o resto da divisão de
(x£-x).P(x) por 2x-1 é:
a) - 2
b) - 1/2
c) 1/2
d) 2
e) 4
40. (Mackenzie) Na igualdade [(x-2)¥+4(x-2)¤+6(x2)£+4(x-2)+1]-x¥=0, onde x é um número real, xÑ vale:
a) Ë2/2
b) 2Ë2
c) 1/2
d) Ë2/4
e) 2
41. (Mackenzie) Se R(x) é o resto da divisão
(x©¡ + 3x¨ª - x£ - x - 1) / (x£ + 2x - 3),
então R(0) vale:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
42. (Mackenzie) Seja P(x)= x¾-1 um polinômio de grau
n>1 com raízes ‘, ‘‚, ‘ƒ, ‘„, ....., ‘Š. Se ‘=1 é raiz
de P(x), então o produto (3-‘‚)(3-‘ƒ)(3-‘„).....(3-‘Š) é
sempre igual a:
a) (2¾ - 3)/2
b) (3¾ - 2)/3
c) (3¾ - 1)/2
d) (3¾-¢ - 1)/2
e) 3¾/2
43. (Mackenzie) Na equação x¤ + px + n = 0, (n · 0),
uma raiz é igual à soma dos inversos das outras
duas. Então n£+p+1 vale:
a) - 2
b) - 1
c) 0
d) 1
e) 2
44. (Fei) A soma de dois polinômios P(x) + Q(x) é um
polinômio de grau 6, e a diferença P(x)-Q(x) é um
polinômio de grau 4. É válido afirmar-se que:
a) a diferença Q(x) - P(x) tem grau 6
b) P(x) e Q(x) têm o mesmo grau
c) P(x) tem grau 5
d) Q(x) tem grau 4
e) P(x) tem grau 4
45. (Fatec) Se o polinômio p(x)=2x¤-5x£-28x+15 pode
ser fatorado na forma (2x-1).(x+3).(x-k), então o valor
de k é
a) 5
b) -5
c) 10
d) 15
e) -15
46. (Cesgranrio) O valor real de a para o qual i é raiz
do polinômio
P(x) = x¦ + x¥ + ax - 1 é:
a) -1
b) 1
c) -2
d) 2
e) 3
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47. (Unesp) Indicando por m, n e p, respectivamente,
o número de raízes racionais, raízes irracionais e
raízes não reais do polinômio
p(x) = x¦ - x¤ + 2x£ - 2, temos:
a) m = -1, n = 1 e p = 3.
b) m = 1, n = 2 e p = 2.
c) m = 2, n =1 e p = 2.
d) m = 2, n = 2 e p = 1.
e) m = 1, n = 3 e p = 1.
48. (Unesp) Para que valores reais de a, b, c as
funções polinomiais f e g, definidas por
f (x) = x¤ + x£ + x
e
g (x) = x¤ + (a + b)x£ + (b + c)x + a - b - c,
são iguais?
49. (Unicamp) Seja p(x) = x¤ - 12x + 16.
a) Verifique que x = 2 é raiz de p(x).
b) Use fatoração para mostrar que se x > 0 e x · 2,
então p(x) > 0.
c) Mostre que, entre todos os prismas retos de bases
quadradas que têm volume igual a 8m¤, o cubo é o
que tem menor área total.
50. (Cesgranrio) O resto da divisão de 4xª+ 7x©+4x¤+3
por x+1 vale:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
51. (Mackenzie) P(x) = x¤ + (m + 2) x£ + (2m + 1) x + 2
Se -2 é a única raiz real do polinômio anterior, então o
número de valores inteiros que m pode assumir é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
52. (Mackenzie) O resto da divisão de um polinômio
de P(x) por x - k é R. Se o resto da divisão de P(x) +
R/3 por x - k é 24, então R vale:
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
e) 22
53. (Mackenzie) O polinômio P(x) = 3x¤ + ax£ + bx + c
é divisível por x£- 3x + 2 e por x£ - 2x + 1. Então a
soma dos números reais a, b e c é:
a) 2
b) -2
c) 3
d) -3
e) zero
54. (Fuvest) Suponha que o polinômio do 3° grau
P(x) = x¤+ x£ + mx + n, onde m e n são números reais,
seja divisível por x - 1.
a) Determine n em função de m.
b) Determine m para que P(x) admita raiz dupla
diferente de 1.
c) Que condições m deve satisfazer para que P(x)
admita três raízes reais e distintas?
55. (Puccamp) Dividindo-se um polinômio f por x£ - 5,
obtêm-se quociente (x + 1) e resto (x + 1). Nessas
condições, é correto afirmar que
a) o produto das raízes de f é 4.
b) a soma das raízes de f é 1.
c) f é divisível por x - 5.
d) f não admite raízes reais.
e) f admite apenas uma raiz real.
56. (Unesp) Os coeficientes do polinômio f(x) =
x¤+ax£+bx+3 são números inteiros. Supondo que f(x)
tenha duas raízes racionais positivas distintas.
a) encontre todas as raízes desse polinômio;
b) determine os valores de a e b.
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57. (Ita) Sejam p(x), p‚(x) e pƒ(x) polinômios na
variável real x de graus n, n‚ e nƒ, respectivamente,
com n>n‚>nƒ. Sabe-se que p(x) e p‚(x) são divisíveis
por pƒ(x). Seja r(x) o resto da divisão de p(x) por
p‚(x). Considere as afirmações:
(I) r(x) é divisível por pƒ(x).
(II) p•(x) - 1/2 p‚(x) é divisível por pƒ(x).
(III) p•(x) r(x) é divisível por [pƒ(x)]£.
Então,
a) apenas (I) e (II) são verdadeiras.
b) apenas (II) é verdadeira.
c) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
e) todas as afirmações são falsas.
58. (Pucmg) O polinômio P(x) = x¤ - 5x£ + px + 2 é
divisível por x + 2. O valor de p é:
a) -15
b) -13
c) -8
d) 8
e) 13
59. (Pucmg) O resto da divisão do polinômio P (x) =
x¥ - 3x£ + px + 1 por x - 1 é 4. O valor de p é:
a) -5
b) -3
c) -1
d) 3
e) 5
60. (Pucmg) No polinômio P (x) = x¤ - x£ + 4x - 4 uma
das raízes é 2i. Então, a raiz real de P (x) é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
61. (Ufrs) Considere as afirmações:
I - Se p(x) e q(x) são polinômios de grau n, então
p(x)+q(x) é um polinômio de grau 2n.
II - O resto da divisão de p(x) = mx¤ + x£ - x por q(x) =
x-1 é igual a m.
III - O produto de um polinômio de grau n por (x-a) é
um polinômio de grau n + 1.
Quais estão corretas?
a) Apenas I
b) Apenas I e II
c) Apenas III
d) Apenas II e III
e) I, II e III
62. (Cesgranrio) Se o polinômio P(x) = 2x¤ - 4x + a é
divisível por
D(x) = x - 2, o valor de a é:
a) - 8
b) - 6
c) - 4
d) - 2
e) + 2
63. (Ita) Seja a um número real tal que o polinômio
p(x) = x§ + 2x¦ + ax¥ - ax£ - 2x - 1
admite apenas raízes reais. Então:
a) a Æ [ 2, ¶ [
b) a Æ [ - 1, 1 ]
c) a Æ ] - ¶, - 7 ]
d) a Æ [ - 2, - 1[
e) a Æ ] 1, 2 [
64. (Ita) Seja p(x) um polinômio de grau 4 com
coeficientes reais. Na divisão de p(x) por x - 2 obtémse um quociente q(x) e resto igual a 26. Na divisão de
p(x) por x£+x-1 obtém-se um quociente h(x) e resto
8x-5. Sabe-se que q(0)= 13 e q(1)=26. Então,
h(2)+h(3) é igual a:
a) 16
b) zero
c) - 47
d) - 28
e) 1
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65. (Mackenzie) As raízes de P(x)=x¤-9x£+(2k-7)x-k, k
Æ Z*, estão em progressão aritmética. Se ‘ é a maior
raiz de P (x), então k/‘ vale:
a) 1
b) 3/2
c) 3
d) 5/2
e) 5
66. (Fuvest) P(x) é um polinômio de grau µ 2 e tal que
P(1)=2 e P(2)=1. Sejam D(x)=(x-2)(x-1) e Q(x) o
quociente da divisão de P(x) por D(x).
a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x).
b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual
a 8, determine o termo independente de Q(x).
67. (Unb) Considere a função f definida no conjunto
dos números inteiros e dada pela seguinte expressão:
f(n) = n¦ - 5n¤ + 4n.
Julgue os itens a seguir.
(0) A soma dos números inteiros para os quais f se
anula é igual a um.
(1) Para todo n µ 3, é válida a igualdade f(n) = (n +
2)!/(n - 3)!.
(2) Para todo n µ 3, é válida a igualdade f(n + 1) = f(n)
(n + 3)/(n - 2).
(3) Para todo inteiro n, f(n) é divisível por 120.
68. (Uel) O valor de k para que o polinômio
p(x)=kx£+kx+1 satisfaça a sentença p(x) -x = p(x-1) é
a) -1/2
b) 0
c) 1/2
d) 1
e) 3/2
69. (Uel) Se o polinômio x¤ + (k - 4) x£ - 8x + 4k, k Æ
lR, admite a raiz 2 com multiplicidade 2, então a outra
raiz é
a) 1
b) 0
c) -1
d) -2
e) -3
70. (Uel) Na divisão de x¦+2x¥-3x¤+x£-3x+2 por
x£+x+1, o
a) quociente é x¤+x£-5x+5
b) resto é 8x+3
c) quociente é x¤+x£+x+1
d) resto 3x+8
e) quociente é x¤+5x£-x+5
71. (Unesp) Considere o polinômio p(x) = x¤ - mx£ +
m£x - m¤, em que m Æ R. Sabendo-se que 2i é raiz
de p(x), determine:
a) os valores que m pode assumir;
b) dentre os valores de m encontrados em a, o valor
de m tal que o resto da divisão de p(x) por (x - 1) seja
-5.
72. (Ufmg) Considere o polinômio p(x)=(x1)(xª+x©+x¨+x§+x¦+x¥).
O polinômio p(x) é igual a
a) x¥(x¤-1)(x¤+1)
b) x¥(x§-2x¥+1)
c) x¥(x¤-1)£
d) x¥(x§-2x£+1)
73. (Ufpr) Considerando o polinômio P(x)=x¤-ax£+bx1, em que a e b são números inteiros, é correto
afirmar:
(01) Se a = b = 3, então P(x) = (x - 1)¤.
(02) Se P(x) é divisível por (x - 1), então a = b.
(04) Qualquer número inteiro pode ser raiz da
equação P(x)=0, desde que os números inteiros a e
b sejam escolhidos adequadamente.
(08) A equação P(x) = 0 tem pelo menos uma raiz
real, quaisquer que sejam os números inteiros a e b.
(16) Quaisquer que sejam os números inteiros a e b,
o produto das raízes da equação P(x)=0 é 1.
Soma (
)
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74. (Fuvest) O gráfico
77. (Mackenzie) Considerando as divisões de
polinômios na figura adiante, podemos afirmar que o
resto da divisão de P(x) por x£ - 8x + 12 é:
a) 3x - 2
b) x + 1
c) 2x + 2
d) 2x + 1
e) x + 2
pode representar a função f(x) =
a) x (x - 1)
b) x£ (x£ - 1)
c) x¤ (x - 1)
d) x (x£ - 1)
e) x£ (x - 1)
75. (Fuvest) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x£3x+1, obtém-se quociente 3x£+1 e resto -x+2. Nessas
condições, o resto da divisão de p(x) por x-1 é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
76. (Fatec) Considere os polinômios
P = x£ + x - 2, Q = x£ + 4x - 5 e S
Sabendo-se que P.Q = (x - 1)£ . S, conclui-se que o
valor de S(-2) é
a) 0
b) 1
c) -1
d) -2
e) -3
78. (Unirio) Dado o polinômio x¥ + bx¤ + cx£ + dx + e,
de coeficientes reais, e sabendo-se que i, -1, e 2 são
algumas de suas raízes, o valor de b+c+d+e é:
a) 0
b) -1
c) -3
d) -4
e) -5
79. (Puccamp) Se os graus dos polinômios f, g, h são,
respectivamente, 4, 3 e 2, então o grau do polinômio
a) f . g é 7
b) f + h é 6
c) g - h é 1
d) 3 . f é 12
e) g£ é 9
80. (Uel) Se o polinômio f=2x¤+x£-8x-4 é divisível por
g=2x£-3x-2, então ele também é divisível por
a) x - 4
b) x + 4
c) x + 3
d) 2x + 1
e) 2x - 1
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81. (Ufrs) Se o polinômio p(x) tem exatamente três
raízes distintas a, b e c, o produto p(x).p(x) terá como
raízes
a) a£, b£, c£
b) a, -a, b, -b, c, -c
c) a, b, c
d) 2a, 2b, 2c
e) ab, ac, bc
82. (Ufrs) Um polinômio de grau n µ 2 com todos os
coeficientes positivos NÃO pode ter:
a) raízes reais.
b) raízes imaginárias.
c) raízes irracionais.
d) raízes positivas.
e) raízes negativas.
83. (Ufrs) Os polinômios de p(x) = x¥ - 5x¤ e q(x) = x¥ 5
a) têm exatamente as mesmas raízes.
b) têm três raízes em comum.
c) têm duas raízes em comum.
d) têm uma raiz em comum.
e) não têm raízes em comum.
84. (Uerj) Sabe-se que o polinômio P(x) = -2x¤ - x£ +
4x + 2 pode ser decomposto na forma P(x)=(2x+1).(x£+2). Representando as funções reais f(x)=2x+1 e
g(x)=-x£+2, num mesmo sistema de coordenadas
cartesianas, obtém-se o gráfico a seguir:
Tendo por base apenas o gráfico, é possível resolver
a inequação -2x¤-x£+4x+2<0.
Todos os valores de x que satisfazem a essa
inequação estão indicados na seguinte alternativa:
a) x < -Ë2 ou x > - 1/2
b) x < - Ë2 ou x > Ë2
c) x < - Ë2 ou - 1/2 < x < Ë2
d) - Ë2 < x < - 1/2 ou x > Ë2
85. (Uerj) Considere o polinômio P(n) = (n+1) . (n£
+3n + 2), n Æ IN
Calcule:
a) a quantidade de paralelepípedos retângulos de
bases quadradas e volumes numericamente iguais a
P(11), cujas medidas das arestas são expressas por
números naturais.
b) o valor da expressão: (7ª+4.7§+5.7¤+2)/344£
86. (Unb) Considerando que a, b e c são constantes
reais tais que, para todo número real x · 0 e x · 3,
(8x£-13x+27)/[x(x-3)£]=(a/x)+[b/(x-3)]+[c/(x-3)£],
calcule a soma a + b + c, desprezando a parte
fracionária de seu resultado, caso exista.
87. (Puccamp) Dividindo-se um polinômio f por g = x£
- 1, obtêm-se quociente p = 2x + 1 e resto r = kx - 9,
sendo k Æ IR. Se f é divisível por x - 2, então k é igual
a
a) 6
b) 3
c) -1
d) -3
e) -6
88. (Ufrs) Se p(x) = 3x¤ - cx£ + 4x + 2c é divisível por x
+ 1, então
a) c = -1/3
b) c = 1/3
c) c = 7
d) c = 39
e) c = - 7
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89. (Ufrs) Considere as afirmações sobre o polinômio
p(x) = (x+1)(x-1)£(x-3)¤
I - p(x) µ 0 em (-¶, -1]
II - p(x) µ 0 em [3, +¶)
III - p(x) troca de sinal em [-1, 3]
Quais estão corretas?
a) Apenas I
b) Apenas III
c) Apenas I e II
d) Apenas I e III
e) I, II e III
90. (Unb) Julgue os itens que se seguem.
(1) A equação x-Ë(2x+7)=4 possui duas soluções
reais distintas.
(2) O conjunto {x Æ IR: 4x£-3x+1>0} coincide com o
conjunto {y Æ IR: y=x¤+3x£-x+1, para algum x em IR}.
(3) A inequação |x+2| > |x+3| não tem solução real.
(4) Sabendo que, para todo número inteiro n, o
número n(n£-1)(n£+1) é divisível por 5 e que n(n1)(n+1) é divisível por 3, é correto afirmar que o
número (n¦/5)+(n¤/3)+(7n/15) é sempre inteiro.
91. (Fatec) Dividindo-se o polinômio M(x)=(2x1).(x£+9) pelo polinômio N(x)=x£-3x+1, obtêm-se
quociente Q(x) e resto R(x).
É verdade que
a) Q(-1) = 3
b) Q(1) = 8
c) Q(0) = 4
d) R(-2) = -70
e) R(2) = 40
93. (Puc-rio) O resto da divisão do polinômio x¤+px+q
por x+1 é 4 e o resto da divisão deste mesmo
polinômio por x-1 é 8. O valor de p é:
a) 5.
b) -4.
c) 0.
d) 1.
e) 8.
94. (Puc-rio) Ache a soma dos coeficientes do
polinômio (1-2x+3x£)¤.
95. (Ita) Seja p(x) um polinômio de grau 3 tal que
p(x)=p(x+2)-x£-2, para todo x Æ IR. Se -2 é uma raiz
de p(x), então o produto de todas as raízes de p(x) é:
a) 36
b) 18
c) -36
d) -18
e) 1
96. (Ita) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes
reais e grau 6 é recíproca de 2• espécie e admite i
como raiz. Se p(2)=-105/8 e p(-2)=255/8, então a
soma de todas as raízes de p(x) é igual a:
a) 10
b) 8
c) 6
d) 2
e) 1
97. (Uff) Três raízes de um polinômio p(x) do 4° grau
estão escritas sob a forma i¦¨§, i¥£ e i£ª¨.
O polinômio p(x) pode ser representado por:
a) x¥ + 1
b) x¥ - 1
c) x¥ + x£ + 1
d) x¥ - x£ + 1
e) x¥ - x£ - 1
92. (Puccamp) Considerando que algumas das raízes
reais do polinômio f=x¦-x¥-3x¤+3x£-4x+4 pertencem ao
conjunto {-2,-1,0,1}, é correto afirmar que esse
polinômio admite
a) cinco raízes reais.
b) cinco raízes não reais.
c) três raízes reais e duas não reais.
d) duas raízes reais e três não reais.
e) uma raiz real e quatro não reais.
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98. (Uerj) A figura a seguir representa o polinômio P
definido por P(x)=x¤-4x.
a) Determine as raízes desse polinômio.
102. (Uel) Na divisão de um polinômio f por x£+1,
obtêm-se quociente x-1 e resto x+1. O resto da
divisão de f por x-1 é
a) 1
b) 2
c) 3
d) x - 1
e) x + 1
103. (Uel) O polinômio f=x¤-2x£+kx-3 é divisível por
g=x£-x+3 se, e somente se, o número real k é igual a
a) 4
b) 3
c) 1
d) -3
e) -4
b) Substituindo-se, em P(x), x por x-3, obtém-se um
novo polinômio definido por y=P(x-3).
Determine as raízes desse novo polinômio.
104. (Uel) Sabe-se que a equação:
99. (Uff) O resto da divisão do polinômio p(x) por (x1)¤ é o polinômio r(x).
Sabendo que o resto da divisão de r(x) por x - 1 é
igual a 5, encontre o valor de p(1).
admite a raiz -2 com multiplicidade 3. Sobre as
demais raízes dessa equação é correto afirmar que
a) são números racionais.
b) são números irracionais.
c) são números não reais.
d) duas são não reais e uma é racional.
e) duas são irracionais e uma é racional.
100. (Uff) Determine as constantes reais r, s e t de
modo que o polinômio p(x)=rx£+sx+t satisfaça às
seguintes condições:
a) p(0)=1;
b) a divisão de p(x) por x£+1 tem como resto o
polinômio 3x+5.
101. (Ufv) O polinômio p(x)=x¤-8x£+22x-21 possui
uma única raiz real igual a 3. Portanto a equação (5x2)¤-8(5x-2)£+22(5x-2)-21=0 tem como solução real o
número:
a) 0
b) 1
c) 10
d) 2/5
e) 2
2x§ + 11x¦ + 20x¥ + 15x¤ + 10x£ + 4x - 8 = 0,
105. (Ufes) O polinômio p(x), quando dividido por
x¤+1, fornece o resto x£-1. O resto da divisão de p(x)
por x+1 é
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
106. (Uece) Considere o polinômio P(x)=x¦-x¥+x£-1. O
valor do produto 5.[P(1).P(4).P(5)] é igual a:
a) 0
b) 1
c) 4
d) 5
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107. (Uece) Se q(x) é o quociente da divisão não
exata de x¥ por x+(1/2) e r é o resto da divisão de q(x)
por x-(1/2), então r é igual a:
a) 1
b) 0
c) -1
d) -2
108. (Ufsm) Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em
cada uma das afirmações a seguir, referentes ao
polinômio
110. (Ufu) Dado o polinômio p(x)=x¤-11x£+20x-18 e
sabendo-se que uma de suas raízes é o número
complexo 1+i, em que i£=-1 e, que a raiz real desse
polinômio é um número inteiro m, então m é
a) múltiplo de 2.
b) primo.
c) múltiplo de 3.
d) divisível por 5.
e) divisível por 7.
111. (Unioeste) Para que o polinômio P(x)=x¥3x¤+mx£+nx-1 seja divisível por (x-2)(x+1), o valor de 7m+n deve ser igual a
p(x) = aŠx¾ + aŠ÷x¾­¢ + ... + a‚x£ + ax + a³,
onde n µ 1 e a³, a, a‚, ..., aŠ são números reais.
( ) O polinômio p(x) é divisível por (x - ‘), se e
somente se p(‘) ·0.
(
) O resto da divisão de p(x) por (x - ‘) é p(‘).
( ) Se z = a + bi, com a, b Æ R e b · 0, é raiz da
equação p(x) = 0, então o conjugado de z é também
raiz da equação.
112. (Fuvest) O polinômio p(x)= x¥ + x¤ - x£ - 2x - 2 é
divisível por x£+a, para um certo número real a. Podese, pois, afirmar que o polinômio p
a) não tem raízes reais.
b) tem uma única raiz real.
c) tem exatamente duas raízes reais distintas.
d) tem exatamente três raízes reais distintas.
e) tem quatro raízes reais distintas.
113. (Ufmg) Considere os polinômios
p ( x ) = ax¤ + (2a - 3b)x£ + (a + b + 4c)x - 4bcd
A seqüência correta é
a) F - V - V.
b) F - F - V.
c) V - V - V.
d) F - V - F.
e) V - F - F.
109. (Mackenzie) Se o polinômio P(x)=x£+bx+c é
divisível por x-3 e P(P(3))=6, então o resto da divisão
de P(x) por x-1 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
e
q ( x ) = 6x£ + 18x + 5,
em que a , b , c e d são números reais.
Sabe-se que p ( x ) = q ( x ) para todo x Æ IR .
Assim sendo, o número d é igual a
a) 1/8
b) 2/3
c) 4/5
d) 3
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114. (Ufmg) Observe a figura.
Ela representa o gráfico da função y = f ( x ), que está
definida no intervalo [ - 3 , 6 ].
A respeito dessa função, é INCORRETO afirmar que
a) f ( 3 ) > f ( 4 ).
b) f ( f ( 2 ) ) > 1,5.
c) f ( x ) < 5,5 para todo x no intervalo [ - 3 , 6 ].
d) o conjunto { - 3 ´ x ´ 6 | f ( x ) = 1,6 } contém
exatamente dois elementos.
117. (Fuvest) Os gráficos de duas funções
polinomiais P e Q estão representados na figura
seguinte.
Então, no intervalo [-4, 8], P(x) Q(x) < 0 para:
a) -2 < x < 4
b) -2 < x < -1 ou 5 < x < 8
c) -4 ´ x < -2 ou 2 < x < 4
d) -4 ´ x < -2 ou 5 < x ´ 8
e) -1 < x < 5
118. (Unicamp) Considere a equação:
115. (Ufrj) O polinômio
2 [x£ + (1/x£)] + 7 [x + (1/x)] + 4 = 0
P(x) = x¤ - 2x£ - 5x + d,
a) Mostre que x = i é raiz dessa equação.
d Æ IR, é divisível por (x - 2).
b) Encontre as outras raízes da mesma equação.
a) Determine d.
b) Calcule as raízes da equação P(x) = 0.
116. (Ufpr) Com base nas propriedades de polinômios
e equações, é correto afirmar:
119. (Unesp) Ao dividirmos um polinômio p(x) por (x c), obtemos quociente q(x)=3x¤-2x£+x-1 e resto
p(c)=3.
Sabendo-se que p(1)=2, determine
a) o valor de c;
(01) Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais tal
que 1+i é raiz de p(x)=0, então p(x) é divisível por
x£+2x+2.
(02) No polinômio que se obtém efetuando o produto
(x+1)¦.(x-1)¨, o coeficiente de x£ é igual a 4.
(04) Todo número que é raiz da equação x£+2x+1=0 é
também raiz da equação x+1=0.
(08) Dada a equação (x£-2)¦=0, a soma das suas
raízes é igual a zero.
Soma (
b) o polinômio p(x).
)
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120. (Ita) Sendo I um intervalo de números reais com
extremidades em a e b, com a<b, o número real b-a é
chamado de comprimento de I.
Considere a inequação
6x¥ - 5x¤ - 7x£ + 4x < 0.
A soma dos comprimentos dos intervalos nos quais
ela é verdadeira é igual a
a) 3/4.
b) 3/2.
c) 7/3.
d) 11/6.
e) 7/6.
121. (Ita) Seja P(x) um polinômio divisível por x-1.
Dividindo-o por x£+x, obtêm-se o quociente Q(x)=x£-3
e o resto R(x). Se R(4)=10, então o coeficiente do
termo de grau 1 de P(x) é igual a
a) -5.
b) -3.
c) -1.
d) 1.
e) 3.
122. (Pucsp) Seja o polinômio
123. (Puccamp) Sabe-se que o polinômio f =
x¥+4x¤+8x£+16x+16 admite a raiz -2 com
multiplicidade 2. As demais raízes desse polinômio
são números
a) inteiros e opostos.
b) racionais não inteiros.
c) irracionais e positivos.
d) irracionais e opostos.
e) não reais.
124. (Ufsm) Uma das raízes da equação x¥4x¤+12x£+4x-13=0 é (2-3i). A soma de todas as raízes
dessa equação é ________, o produto é _________ e
a soma das raízes reais é_______.
Assinale a alternativa que completa corretamente as
lacunas.
a) 4; -13; 0
b) 1; 12; 0
c) -13; 4; -4
d) 4; -13; 13
e) 0; 13; -12
125. (Ufg) Os coeficientes do polinômio p(×) = a×£ +
b× + c formam uma progressão aritmética de razão 2,
cujo primeiro termo é a, o segundo é b, o terceiro é c.
Assim,
( ) se a=1, o polinômio é p(×) = ×£ + 3× +6.
( ) se b=0, as raízes do polinômio são iguais a 2 e 2.
( ) se o polinômio p(×) tem 1 como raiz, então a=-2.
( ) se -1 < a < 0, então p(×) possui duas raízes
reais distintas.
126. (Ufsc) Um polinômio P(x) dividido por (x+1) dá
resto 3 e por (x-2) dá resto 6. O resto da divisão de
P(x) pelo produto (x+1).(x-2) é da forma ax+b, com a,
b Æ IR. O valor numérico da expressão a+b é:
no qual m é uma constante real. Se f admite a raiz -1,
então as demais raízes de f são números
a) inteiros.
b) racionais não inteiros.
c) irracionais.
d) não reais.
e) imaginários puros.
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127. (Uff) Considere os polinômios
p(x) = 2x¤ + 2x£ + 7x - 1 e
q(x) = 2x£ - x - 1.
Calcule:
a) os valores do número complexo z tais que
p(z)=q(z);
b) o número real k e o polinômio do primeiro grau r(x)
tais que p(x)=(x-k)q(x)+r(x).
132. (Ita) O valor da soma a+b para que as raízes do
polinômio 4x¥-20x¤+ax£-25x+b estejam em progressão
aritmética de razão 1/2 é:
a) 36
b) 41
c) 26
d) -27
e) -20
133. (Ita) O polinômio com coeficientes reais
P(x) = x¦ + a„x¥ + aƒx¤ + a‚x£ + ax + a³
128. (Unirio) Dividindo-se um polinômio P(x) por outro
D(x) obtêm-se quociente e resto Q(x)=x¤-2x-1 e
R(x)=5x+8, respectivamente. O valor de P(-1) é:
a) -1
b) 0
c) 2
d) 3
e) 13
129. (Uff) Considere o polinômio p(x)=x¤-3x+2 e a
função real de variável real f definida por f(x)=1/Ëp(x).
Sabe-se que uma das raízes de p(x) é 1.
Escreva o domínio de f sob a forma de intervalo.
130. (Uepg) Sobre o polinômio P(x) = x¤ + x£ - 2,
assinale o que for correto.
01) Sua única raiz real é 1
02) P(i) = - i - 1
04) P(P(0)) = 3 . P(-1)
08) O conjunto solução da inequação P(x)<x.(x£+1) é
{xÆIR/-1<x<2}
16) O resto da divisão de P(x) por Q(x) = x + 3 é -20
131. (Fuvest) O polinômio x¥+x£-2x+6 admite 1+i
como raiz, onde i£=-1. O número de raízes reais deste
polinômio é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
tem duas raízes distintas, cada uma delas com
multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 e i.
Então, a soma dos coeficientes é igual a:
a) -4
b) -6
c) -1
d) 1
e) 4
134. (Ita) Seja m Æ lR, m > 0. Considere o sistema
ý2x - (log„ m) y + 5z = 0
þ(log‚ m) x + y - 2z = 0
ÿx + y - (log‚ m£) z = 0
O produto dos valores de m para os quais o sistema
admite solução não-trivial é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
e) 2 log‚ 5
135. (Unesp) Duas raízes x e x‚ de um polinômio
p(x) de grau 3, cujo coeficiente do termo de maior
grau é 1, são tais que x + x‚ = 3 e x . x‚ = 2.
a) Dê as raízes x e x‚ de p(x).
b) Sabendo-se que xƒ= 0 é a terceira raiz de p(x), dê
o polinômio p(x) e o coeficiente do termo de grau 2.
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136. (Ufpr) Considere o polinômio p(x) = x¤-4x£+5x+d,
onde d é número real. Assim, é correto afirmar:
141. (Ufsc) Marque a(s) proposição(ões)
CORRETA(S).
(01) Para que p(x) seja divisível por (x-1), é
necessário que d seja igual a 2.
(02) Se d = 0, então o número complexo 2 + i é raiz
da equação p(x) = 0.
(04) Se as raízes da equação p(x) = 0 forem as
dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo
reto retângulo, então a área total desse
paralelepípedo será 10cm£.
(08) Se d = -1, então p(1) = 1.
(16) Na expressão p(a-1) , o termo independente de a
é (2-d).
01. O número real 1 (um) é uma das raízes do
polinômio p(x) = 2x¥ - 5x¤ + 5x£ - 5x - 3.
Soma (
02. Se o polinômio x¤ + ax£ + bx + 3 admite três raízes
reais distintas, então uma das possibilidades é que
elas sejam 1, -1 e 3.
04. O polinômio x¤ + 3x - 2 possui (pelo menos) uma
raiz real.
08. O polinômio f(x) = x¤ + mx - 5 é divisível por x - 3
quando m é igual a 4.
)
138. (Pucmg) O polinômio P(x) = x¥ - kx¤ + 5x£ + 5x +
2k é divisível por x-1. Então, o valor de k é:
a) -11
b) -1/3
c) 1/5
d) 9
142. (Unifesp) Os números complexos 1 + i e 1 - 2i
são raízes de um polinômio com coeficientes reais, de
grau 8.
O número de raízes reais deste polinômio, no
máximo, é:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
139. (Unicamp) Considere o polinômio p(x) = x¤ - 2x£
+ 5x + 26.
143. (Uerj) As dimensões de um paralelepípedo
retângulo são dadas pelas raízes do polinômio a
seguir.
137. (Ufsc) Se o polinômio 2x¤-ax£+bx+2 é divisível
por 2x£+5x-2, então o valor de a-b é
a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse
polinômio.
3x¤ - 13x£ + 7x -1
Em relação a esse paralelepípedo, determine:
b) Prove que p(x) > 0 para todo número real x >-2.
a) a razão entre a sua área total e o seu volume;
140. (Unesp) Considere a função polinomial de 3Ž
grau,
b) suas dimensões.
p(x) = x¤ - 3x + 1.
a) Calcule p(-2), p(0), p(1), p(2) e esboce o gráfico.
b) Com base no item (a), responda, justificando sua
resposta, quantas raízes reais e quantas raízes
complexas (não reais) tem p(x).
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144. (Uerj) O gráfico a seguir é a representação
cartesiana do polinômio y = x¤ - 3x£ - x + 3.
147. (Ita) Com base no gráfico da função polinomial y
= f(x) esboçado a seguir, responda qual é o resto da
divisão de f(x) por (x - 1/2) (x - 1).
a) Determine o valor de B.
b) Resolva a inequação x¤ - 3x£ - x + 3 > 0.
145. (Fatec) O polinômio f(x) dividido por ax + b , com
a · 0, tem quociente q(x) e resto r.
É verdade que o resto da divisão de x . f(x) por
x+(b/a) é:
a) r£
b) a/b . r
c) b/a . r
d) - b/a . r
e) - a/b . r
148. (Fuvest) As raízes do polinômio p(x) = x¤ - 3x£ +
m, onde m é um número real, estão em progressão
aritmética. Determine
a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio.
149. (Fuvest) Dado o polinômio p(x) = x£(x - 1)(x£ - 4),
o gráfico da função y = p(x - 2) é melhor representado
por:
146. (Ita) A divisão de um polinômio f(x) por (x - 1) (x 2) tem resto x + 1. Se os restos das divisões de f(x)
por x - 1 e x - 2 são, respectivamente, os números a e
b, então a£ + b£ vale:
a) 13.
b) 5.
c) 2.
d) 1.
e) 0.
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150. (Puc-rio) Assinale a afirmativa correta.
O polinômio x£ - ax + 1
a) tem sempre duas raízes reais.
b) tem sempre uma raiz real.
c) tem exatamente uma raiz real para a = • 2.
d) tem exatamente uma raiz real para infinitos valores
de a.
e) tem exatamente uma raiz real para a = 0.
155. (Ufg) Considere o polinômio
P(x)=(x£+1)(x£+bx+c), onde b e c são números reais,
e julgue os itens abaixo.
151. (Puc-rio) Considere o polinômio
p(x) = x¤+ 2x£ - 1.
( ) Se na divisão de x£+bx+c por x-3 e x-1 obtém-se
restos 0 e 2, respectivamente, então P(x)=(x£+1) (x£5x+6).
a) Calcule o valor p(x) para x = 0, • 1, • 2
(
b) Ache as três soluções da equação x¤+2x£=1
156. (Pucpr) Na divisão do polinômio F(x) pelo
binômio f(x), do 1° grau, usando o dispositivo de
Ruffini, encontrou-se o seguinte:
152. (Ufscar) Considerando que 2i é raiz do polinômio
P(x)=5x¦-5x¥-80x+80, a soma das raízes reais desse
polinômio vale
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
153. (Puccamp) Sabe-se que o polinômio f=x¤x£+kx+t, no qual k e t são constantes reais, é divisível
por x e por x+2. Nessas condições, a forma fatorada
de f é
a) x(x+2) (x-1)
b) x(x+2) (x-2)
c) x(x+2) (x-3)
d) x(x+2) (x+3)
e) x(x+2) (x+1)
154. (Ufu) Considere o polinômio p(x) = ax£ - 3(a + 5)x
+ a£, com aÆIR. Assim, o conjunto S dos valores
positivos de a para os quais p(1) < 0 é igual a
a) S = {a Æ IR: 0 < a < 5}
b) S = {a Æ IR: a > 5}
c) S = {a Æ IR: a < 0}
d) S = {a Æ IR: 3 < a < 5}
( ) O polinômio P(x) tem, no máximo, duas raízes
reais.
(
) Se 1 e -2 são raízes de P(x), então b=1 e c=-2.
) Se b=-1 e c=-6, então P(x)>0, para -2<x<3.
Qual o dividendo dessa divisão?
a) x¥ + 3x¤ + 6x£ - 12x + 8
b) x¥ - 2x¤ + 4x£ - 4x + 8
c) x - 2
d) x¥ - 2x¤ - 4x£ + 4x - 8
e) x¥ - 2x¤ - 4x£ + 4x + 8
157. (Pucsp) Sabe-se que o polinômio f = x¤ + 4x£ +
5x + k admite três raízes reais tais que uma delas é a
soma das outras duas. Nessas condições, se k é a
parte real do número complexo z=k+2i, então z
a) é um imaginário puro.
b) tem módulo igual a 2.
c) é o conjugado de - 2 - 2i.
d) é tal que z£ = 4i.
e) tem argumento principal igual a 45°.
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158. (Uel) Considere os polinômios p(x)=-x+1 e
q(x)=x¤-x. É correto afirmar:
a) Os polinômios p(x) e q(x) não possuem raiz em
comum.
b) O gráfico de p(x) intercepta o gráfico de q(x).
c) O polinômio p(x) possui uma raiz dupla.
d) O resto da divisão de q(x) por p(x) é diferente de
zero.
e) O polinômio q(x) possui uma raiz dupla.
159. (Ufscar) Sabendo-se que a soma de duas das
raízes da equação x¤-7x£+14x-8=0 é igual a 5, podese afirmar a respeito das raízes que
a) são todas iguais e não nulas.
b) somente uma raiz é nula.
c) as raízes constituem uma progressão geométrica.
d) as raízes constituem uma progressão aritmética.
e) nenhuma raiz é real.
160. (Ufrs) O polinômio p(x) = ax¥+ 3x¤- 4x£+ dx - 2,
com a·0, admite 1 e -1 como raízes. Então
a) a = 6 e d = -3.
b) a = 3 e d = -3.
c) a = -3 e d = 3.
d) a = 9 e d = -3.
e) a = -3 e d = 6.
161. (Pucpr) Se (x-1)£ é divisor do polinômio
2x¥+x¤+‘x£+’x+2, então a soma de ‘+’ é igual a:
a) -7
b) -8
c) -4
d) -5
e) -6
162. (Ufal) Sejam q e r, respectivamente, o quociente
e o resto da divisão de f=x¥-2x£+x-4 por g=x£+1. O
resto da divisão de q por r é
a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 2
163. (Ufal) Sabe-se que as raízes da equação 2x¤+x£7x-6=0 são diretamente proporcionais aos números 3,
2 e -4. Nessas condições, a menor das raízes é
a) -3
b) -2
c) -3/2
d) -1
e) -1/2
164. (Ufrn) Para qualquer número inteiro n, se
P(n)=1-n+n£-n¤, então P(-1) é igual a:
a) 2
b) 0
c) -2
d) 4
165. (Fatec) A equação 4x¥-24x¤+45x£-29x+6=0 tem
duas raízes que são números inteiros, os quais, como
se sabe, devem ser divisores do termo independente.
A soma das raízes não inteiras dessa equação é
a) 0
b) 1/4
c) 1
d) 2Ë2
e) 5,25
166. (Ufpi) Se o polinômio x¦-2x¥+ax¤+bx£-2x+1 for
divisível pelo polinômio x£-2x+1, então o valor de a+b
é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
167. (Ufal) Sejam os polinômios p=x£-4x+3, q=x£2x+1, e r=x£-9. Sejam m e n, respectivamente, o
máximo divisor comum de p e q e o mínimo múltiplo
comum de p e r. A diferença n - m é o polinômio
a) x¤ - 2x£ - 7x + 8
b) x¤ - x£ - 10x + 8
c) x¤ - x£ - 10x + 10
d) -x£ - x - 2
e) 7x - 1
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168. (Uel) Na divisão de um polinômio f por -x£-1
obtêm-se quociente x+2 e resto 2x+k. Se f é divisível
por x-1, então o número real k é igual a
a) 4
b) 2
c) -1
d) -2
e) -4
169. (Uel) A multiplicidade da raiz 1 na equação
x¦ - 8x¥ + 24x¤ - 34x£ + 23x - 6 = 0
é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
170. (Ufc) Seja
(1 + x + x£)¢¡ = A³ + A x + A‚ x£ + ... + A‚³ x£¡
Assinale a alternativa na qual consta o valor de
A+Aƒ+A…+...+A‰.
a) 3ª + 3© + 3¨ + ... + 3 + 1
b) 0
c) 3¢¡
d) 3ª - 3© + 3¨ - 3§ + ... + 3 - 1
e) 1
171. (Ufc) Considere o polinômio P(x) = x¤ + ax£ + bx
+ c, no qual a, b e c são números reais e b>0. Mostre
que se P(x)=-P(-x) para todo número real x, então a
equação P(x)=0 possui somente uma raiz real.
172. (Uflavras) O valor de "a" para que o polinômio
P(X)=-10X£-aX+3 seja divisível pelo polinômio
Q(X)=2X+3, é
a) -13
b) 15
c) 13
d) 17
e) -17
173. (Uflavras) Dada a função polinomial sobre os
números reais f(X)=3(X+2)(X-1)£, a alternativa
INCORRETA é:
a) f(X) ´ 0 para X ´ -2
b) f(X) é crescente para X µ 1
c) f(X) é um número natural par se X é um número
natural qualquer.
d) f(0) = 6
e) O gráfico de f(X) é uma parábola.
174. (Ufpe) Seja p(x) o polinômio com coeficientes
reais de menor grau tal que p(-1) = 0, p(0) = 1 e p(2)
= 6. Indique a soma dos coeficientes de p(x).
175. (Ufv) Dividindo-se o polinômio p(x) por x£+4x+7,
obtêm-se x£+1 como quociente e x-8 como resto. É
CORRETO afirmar que o coeficiente do termo de
grau 2 é:
a) -1
b) 4
c) 8
d) 5
e) 1
176. (Ufv) Sejam os polinômios p(x)=(x+a)§ e
q(x)=(x+1)¨. Sabendo-se que o coeficiente do termo
de grau 5 de p(x)+q(x) é 3, é CORRETO afirmar que
o coeficiente do termo de grau 5 de p(x) é:
a) 6
b) 7
c) -3
d) 21
e) -18
177. (Mackenzie) Dividindo-se P(x) = x£ + bx + c por
x-1 e por x+2, obtém-se o mesmo resto 3. Então, a
soma das raízes de P(x)-3 é:
a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 3
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178. (Mackenzie)
180. (Ufes) O polinômio p(x), quando dividido por
x¤+1, fornece o resto x£-2. O resto da divisão de p(x)
por x+1 é
a) - 2
b) - 1
c) 0
d) 1
e) 2
181. (Ufrs) Se, para todo número real k, o polinômio
p(x) = x¾ - (k+1)X£ + k
Nas divisões acima, de polinômios, podemos afirmar
que o resto K vale:
a) 4/9
b) -1/9
c) -4/9
d) -5/9
e) -2/9
179. (Pucrs) Na figura, tem-se o gráfico de
p(x)=ax¤+bx£+cx+d. Os valores de a, b, c e d são
respectivamente,
a) -4, 0, 4 e 2
b) -4, 0, 2 e 4
c) 1/4, 2, 10 e 4
d) 1/4, 0, -3, e 4
e) 1, 0, -12 e 16
é divisível por x£ - 1, então, o número n é
a) par.
b) divisível por 4.
c) múltiplo de 3.
d) negativo.
e) primo.
182. (Ufrs) Dentre os gráficos abaixo, o único que
pode representar o polinômio p(x) = x¤ + kx£ + x ,
sendo k uma constante real, é
183. (Ufrj) Considere o polinômio p dado por
p(x) = x¥ - 4x¤ + 6x£ - 4x + 5.
Mostre que i = Ë-1 é uma de suas raízes e calcule as
demais raízes.
184. (Uff) A equação - x¥ + 11x¤ - 38 x£ + 52x - 24 = 0
tem duas de suas raízes iguais a 2.
Dadas as funções reais f e g definidas,
respectivamente, por f(x)=-x¥+11x¤-38x£+52x-24 e
g(x) = 1/Ëf(x), determine o domínio de g.
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185. (Ufjf) Sabendo que os polinômios q•(x) = x£ - 9 e
q‚(x)=x£-5x+6 dividem o polinômio
p(x)=x¥+ax¤+bx£+cx+d, onde a, b, c e d são reais, é
INCORRETO afirmar que:
a) o polinômio q(x) . q‚(x) divide p(x).
b) 2, 3 e -3 são raízes de p(x).
c) o polinômio p(x) não possui raízes complexas.
d) se d = 36, então a = 0.
e) se d é irracional, então p(x) possui uma raiz
irracional.
186. (Ufc) O polinômio P(x) = 2x¤ - x£ + ax + b, em
que a e b são números reais, possui o número
complexo i como uma de suas raízes. Então o
produto a.b é igual a:
a) - 2
b) - 1
c) 0
d) 1
e) 2
187. (Ufc) Seja P(x) um polinômio de grau n µ 1, com
coeficientes reais. Sabendo que P(3 + i) = 2 - 4i, onde
i£ = -1, calcule P(3 - i).
188. (Ufsm) Sejam p(x) e g(x) dois polinômios com
coeficientes reais e com grau p(x) > grau g(x). Ao
dividir-se p(x) por g(x), obteve-se resto r(x) = 2x - 1.
Sabendo que 3 é raiz de g(x), pode-se afirmar que
I. 3 ´ grau g(x) < 5
II. grau g(x) > 1
III. p(3) = 5
IV. p(x) não tem raízes inteiras
Está(ão) correta(s)
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) apenas IV.
189. (Fgv) Se o polinômio P(x) = x¤ - kx£ + 6x - 1 for
divisível por (x-1), ele também será divisível por:
a) x£ - 5x + 1
b) x£ - 5x + 3
c) x£ + 5x + 1
d) x£ + 5x + 3
e) x£ - 5x + 5
190. (Ufrj) Seja p: IR ë IR dada por p(x) = (x - 1)(x 2)(x - 3). Para que valores de x se tem p(x) µ 0?
Justifique.
191. (Ufsc) Assinale a(s) proposição(ões)
CORRETA(S).
(01) A equação polinomial x¤-2x£-4x+1=0 possui as
raízes a, b e c. Logo, a soma a£+b£+c£ é igual a 12.
(02) O resto da divisão do polinômio x§-x¥+x£ por x+2
é 52.
(04) Dado o polinômio p(x)=x¥+8x¤+23x£+28x+12 é
correto afirmar que -2 é raiz de multiplicidade 3 para
p(x).
(08) Para que o polinômio p(x)=(a+b)x£+(ab+c)x+(b+2c-6) seja identicamente nulo, o valor de c
é 4.
Soma (
)
192. (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x) por um
polinômio k(x) tem q(x)=x¤+3x£+5 como quociente e
r(x)=x£+x+7 como resto. Sabendo-se que o resto da
divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x)
por x é
a) 10.
b) 12.
c) 17.
d) 25.
e) 70.
23 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
193. (Ufpr) Sobre o polinômio p(x) = x¥ - 5x¤ + 10x£ 5x + d, onde d é número real, é correto afirmar:
198. (Mackenzie) Observando a divisão dada, de
polinômios, podemos afirmar que o resto da divisão
de P(x) por x + 1 é:
(01) Se d = 16, então p(x) é o desenvolvimento de (x2)¥.
(02) Se d = 0, então zero é uma raiz de p(x).
(04) Se 1 for raiz de p(x), então d = 15.
(08) Se d = -21, então p(x) é divisível por x+1.
Soma (
)
194. (Ita) Considere o polinômio P(x) = 2x + a‚x£ + ...
+ aŠx¾, cujos coeficientes 2, a‚, ..., aŠ formam, nesta
ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0.
Sabendo que -1/2 é uma raiz de P e que P(2) = 5460,
tem-se que o valor de (n£-q¤)/q¥ é igual a:
a) 5/4
b) 3/2
c) 7/4
d) 11/6
e) 15/8
195. (Ita) Dividindo-se o polinômio P(x) = x¦ + ax¥ +
bx£ + cx + 1 por (x - 1), obtém-se resto igual a 2.
Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtém-se resto igual a 3.
Sabendo que P(x) é divisível por (x - 2), tem-se que o
valor de (ab)/c é igual a:
a) - 6
b) - 4
c) 4
d) 7
e) 9
196. (Ita) Sejam a, b, c e d constantes reais. Sabendo
que a divisão de P(x) = x¥ + ax£ + b por P‚(x) = x£ +
2x + 4 é exata, e que a divisão de Pƒ(x) = x¤ + cx£ +
dx - 3 por P„(x) = x£ - x + 2 tem resto igual a - 5,
determine o valor de a + b + c + d.
197. (Ufes) O polinômio x¤ + ax£ + bx + 7, com
coeficientes reais, é divisível por x£ + x + 1. O valor da
soma a+b é igual a
a) 7
b) 14
c) 15
d) 16
e) 21
a) - 1
b) - 2
c) 2
d) 3
e) - 3
199. (Uem) Sobre funções polinomiais e polinômios
com coeficientes reais, assinale o que for correto.
01) Se ‘, ‘‚, ..., ‘Š são raízes do polinômio p(x) =
aŠx¾ + ... + ax +a³, então p(x) = aŠ(x - ‘)(x - ‘‚) ... (x
- ‘Š).
02) Dividindo-se p(x) = x¦ - 5x£ + 7x - 9 por q(x) = (x 1), obtém-se um resto igual a 3.
04) Todo polinômio de grau ímpar tem, pelo menos,
uma raiz real negativa.
08) Se a área de um retângulo é dada em função do
comprimento x de um de seus lados por A(x) = 100x 2x£, x em metros, então o valor de x, para que o
retângulo tenha área máxima, é 25.
16) Se o grau do polinômio p(x) é m e o grau do
polinômio q(x) é n, então o grau de p(x) . q(x) é m + n
e o grau de p(x) + q(x) ´ m + n.
32) Os pontos x onde os gráficos das funções
polinomiais p e q se interceptam são precisamente as
raízes de p(x) - q(x).
64) Todo polinômio de grau n tem n raízes reais.
24 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
200. (Ufc) Se a expressão (2x + 5)/(4x£ - 1) =
[a/(2x+1)] + [b/(2x-1)], onde a e b são constantes, é
verdadeira para todo número real x · •1/2, então o
valor de a+b é:
a) -2
b) -1
c) 1
d) 2
e) 3
201. (Ufpe) Quando x e y variam no conjunto dos
números reais, qual o menor valor assumido pelo
polinômio
3x£ + 2y£ - 6x + 8y + 30 = 3(x-1)£ + 2(y+2)£ +19 ?
202. (Ufpe) Sejam x, x‚ e xƒ as raízes da equação x¤
- 6x£ + 3x - 1 = 0. Determine o polinômio x¤ + ax£ + bx
+ c que tem raízes xx‚, xxƒ e x‚xƒ e indique o valor
do produto abc.
203. (Pucmg) O resto da divisão de P(x) = ax¤ - 2x + 1
por Q(x) = x - 3 é 4. Nessas condições, o valor de a é:
a) 1/3
b) 1/2
c) 2/3
d) 3/2
204. (Pucrs) A divisão do polinômio p(x) = x¦ - 2x¥ - x
+ m por q(x) = x - 1 é exata. O valor de m é
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
205. (Ita) Para algum número real r, o polinômio 8x¤ 4x£ - 42x + 45 é divisível por (x - r)£. Qual dos
números abaixo está mais próximo de r?
a) 1,62
b) 1,52
c) 1,42
d) 1,32
e) 1,22
206. (Ita) Dada a equação x¤ + (m + 1)x£ + (m + 9)x +
9 = 0, em que m é uma constante real, considere as
seguintes afirmações:
I. Se m Æ ] - 6, 6 [, então existe apenas uma raiz real.
II. Se m = - 6 ou m = + 6, então existe raiz com
multiplicidade 2.
III. ¯m Æ IR, todas as raízes são reais.
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)
apenas
a) I
b) II
c) III
d) II e III
e) I e II
207. (Ita) Considere a equação x¤ + 3x£ - 2x + d = 0,
em que d é uma constante real. Para qual valor de d
a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0,1[?
208. (Ufrrj) Sejam P(x) = 2x¤ - x£ - 2x + 1 e Q(x) = x - a
dois polinômios, com valores de x em IR . Um valor
de a para que o polinômio P(x) seja divisível por Q(x)
é
a) 1.
b) -2.
c) - 1/2.
d) 2.
e) 3.
209. (Ufrs) Sabendo-se que i e -i são raízes da
equação x¥ - x¤ - x -1 = 0, as outras raízes são
a) (1+Ë2)/2 e (1-Ë2)/2.
b) (1+Ë3)/2 e (1-Ë3)/2.
c) (1+Ë5)/2 e (1-Ë5)/2.
d) (1+Ë6)/2 e (1-Ë6)/2.
e) (1+Ë7)/2 e (1-Ë7)/2.
210. (Ufv) O inteiro 2 é raiz do polinômio p(x) = 4x¤ 4x£ - 11x + k, onde k é uma constante real.
a) Determine o valor de k.
b) Determine as outras raízes de p(x).
c) Determine os intervalos onde p(x) > 0.
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211. (Pucpr) Se o polinômio x¥ + px£ + q é divisível
pelo polinômio x£ - 6x + 5, então p + q vale:
a) -1
b) 3
c) 5
d) -4
e) 10
215. (Ufc) Considere a matriz mostrada na figura
adiante
212. (Ufg) Sendo x Æ R, x · 1, encontre os valores de
A, B e C, para os quais vale a decomposição:
x/[(x - 1)(x£ + 1)] = [A/(x - 1)] + [(Bx + C)/(x£ + 1)]
213. (Ufmg) Sejam
p( x ) = 4x¤ + bx£ + cx + d e q( x ) = mx£ +
nx - 3
polinômios com coeficientes reais.
Sabe-se que p( x ) = (2x - 6)q( x ) + x - 10.
Considerando-se essas informações, é INCORRETO
afirmar que
a) se 10 é raiz de q( x ), então 10 também é raiz de p(
x ).
b) p(3) = - 7.
c) d = 18.
d) m = 2.
onde ‘ representa qualquer uma das raízes
(complexas) da equação x£+x+1=0. Se detM
simboliza o determinante da matriz M, assinale a
opção na qual consta o valor de (detM)£+(detM)+1.
a) i.
b) 0.
c) -1.
d) 1.
e) -i.
216. (Unicamp) Seja a um número real e seja:
214. (Unesp) O gráfico da figura adiante representa o
polinômio real f(x)=-2x¤+ax£+bx+c. Se o produto das
raízes de f(x)=0 é igual a soma dessas raízes, então
a+b+c é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 3
e) 9/2
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação
p(x) = 0.
b) Encontre os valores de a para os quais a equação
p(x) = 0 tenha uma única raiz real.
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GABARITO
b) De (A) e a) P(x) é reescrito:
1. F V F V V
2. 02 + 04 = 06
ýP(x) = a³ . [(qx)¾®¢ - 1]/(qx - 1) se x · 1/q
þ
ÿP(x) = a³(n + 1) se x = 1/q
3. [A]
4. V = { 2 ; -3 +11i/2 ; -3 -11i/2 }
5. [D]
6. proposições corretas: 01, 04 e 08
proposições incorretas: 02
Como a³ · 0, P(X) = 0 Ì
ý((qx)¾®¢ = 1
þ
ÿqx · 1
Se q é um número real, o sistema é satisfeito se, e
somente se, qx = -1 e ((qx)¾®¢ = 1. Estas equações
mostram que n não pode ser par.
7. a = 15/2
8. quociente: Q(x) = xª© + xª§ + ... + x£ + 1
resto: R(x) = x + 2
18. a) a = 0
b) V = {0, 1, 2}
19. [A]
9. [E]
20. [D]
10. 30
21. [E]
11. a) a raiz inteira é 2
b) p(x) = (x - 2)(x£+x+2)
c) {x Æ IR / x < -2 ou 1 < x < 2}
22. [E]
23. [D]
12. Se f(x) = x¤ + (cosš).x é divisível por x-i, então
f(i)=0, logo:
i¤ + (cosš).i = 0 Ì (-i) + (cosš).i = 0 Ì cosš = 1 Ì š
= n.2™ (K Æ Z)
24. Observe a figura a seguir:
13. [A]
14. [C]
15. a) 1° grau
b) p(x) = x ou p(x) = -x
16. [E]
17. Se a³, a, ... , aŠ estão em PG de razão q · 0,
temos:
P(x) = a³ + a³qx + a³q£x£ + ... + a³q¾x¾ =
= a³[1 + qx + (qx)£ + ... + (qx)¾] (A)
= (2-x) . [(a-x).(d-x) - b£]
2 é raíz de p(x)
a) P(1/q) = a³[1+q .1/q + (q .1/q)£ +...+ (q .1/q)¾]=
= a³(1 + 1 + 1£ + ... + 1¾) = a³(n + 1).
As outras raízes de (a-x).(d-x) - b£ = 0Ì
Ì x£ - (a + d)x + ad - b£ = 0. O discriminante desta
equação é Ð = (a + d)£ - 4(ad - b£) =
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= a£ - 2ad + d£ + 4b£ = (a - d)£ + 4b£.
45. [A]
Mas (a - d)£ + 4b£ µ 0 para todos os valores de a, b e
d do conjunto dos números reais.
Assim a equação (a-x).(d-x)-b£=0 admite 2 raízes
reais.
46. [A]
c) a = d · 2, b = 0 e ¯cÆR
25. [C]
26. [D]
27. [B]
28. [E]
47. [C]
48. Os valores são:
a = 1; b = 0 e c = 1
49. a) Se p(x) = x¤ - 12x + 16, temos
p(2) = 2¤ - 12 . 2 + 16
p(2) = 0, portanto 2 é raíz de p(x).
b) Se 2 é raíz de p(x), conclui-se que p(x) é divisível
por (x - 2). Através do dispositivo de Briot - Ruffini,
temos:
p(x) = (x -2) . (x£ + 2x - 8) (1)
29. [B]
30. [D]
31. [B]
As raízes da equação x£ + 2x - 8 são: 2 e -4.
Substituindo-se em (1), vem:
p(x) = (x - 2) . (x - 2) . (x + 4)
p(x) = (x - 2)£ . (x+4)
Se x >0 e x · 2, então (x - 2)£ >0. Logo, p(x) >0.
32. [E]
33. [A]
34. [E]
c) Considerando-se um prisma reto de base quadrada
de lado a e altura h, temos:
O volume V é a£h, ou seja, 8 = a£h, logo
h = 8/a£ (I).
35. [A]
36. [A]
37. [C]
38. [E]
39. [D]
A área total S é dada por S = 4ah + 2a£ (II)
Substituindo-se (I) em (II), vem:
S = 4a . 8/a£ + 2a£
S = 32/a + 2a£
S = 2/a (16 + a¤)
Somando e subtraindo 12a na expressão entre
parênteses, temos:
40. [A]
S = 2/a(16 - 12a + a¤ + 12a).
41. [B]
42. [C]
43. [C]
44. [B]
Do item anterior, vem:
a¤ - 12a + 16 = p(a) = (a - 2)£ (a + 4).
Logo:
S = 2/a [(a - 2)£ (a + 4) + 12a]
S = 2/a (a - 2)£ (a + 4) + 24 e, como a >0, A área
S é mínima se, e somente se, (a -2)£ . (a + 4) = 0
28 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
Daí, temos a = 2 ou a = - 4 (não convém).
70. [A]
Se a = 2, então de (I) h = 2, e, logo, o prisma reto é o
cubo.
71. a) m = 2 ou m = -2
b) m = 2
50. [C]
72. [A]
51. [D]
73. 01 + 02 + 08 + 16 = 27
52. [C]
74. [D]
53. [D]
75. [B]
54. a) n = -m -2
b) m < -1 e m · -5
76. [A]
77. [E]
55. [A]
78. [E]
56. a) As raízes são: - 1, 1 e 3
b) a = - 3 e b = - 1
79. [A]
57. [D]
80. [D]
58. [B]
81. [C]
59. [E]
82. [D]
60. [D]
83. [E]
61. [D]
84. [D]
62. [A]
85. a) 6 paralelepípedos
b) 345
63. [C]
86. 28
64. [A]
87. [D]
65. [C]
88. [C]
66. a) - x + 3
89. [C]
b) 5/2
90. F V F V
67. F V V V
91. [A]
68. [C]
92. [C]
69. [E]
29 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
93. [D]
116. 02 + 04 + 08 = 14
94. 8
117. [C]
95. [C]
97. [B]
118. a) seja x = i
f(i) = 2 [i£ + (1/i£)] + 7 [i + (1/i)] +4 =
= 2 [-1 + (1/-1)] + 7 [i + (1/i£)] +4 = 0
como f(i)=0, conclui-se que i é raiz da equação f(x)=0
98. a) {-2, 0, 2}
b) -i; (- 7 + Ë33)/4 e (- 7 - Ë33)/4
b) {3, 1, 5}
119. a) c = 2
b) p(x) = 3x¥ - 8x¤ + 5x£ - 3x + 5
96. [C]
99. p(1) = 5
120. [D]
100. t = 1, s = 3 e r = -4
121. [C]
101. [B]
122. [D]
102. [B]
123. [E]
103. [A]
124. [A]
104. [D]
125. F F V V
105. [C]
126. 05
106. [A]
127. a) z=0 ou z=2i ou z=-2i
107. [B]
b) k=-3/2 e r(x)=(19x/2)+(1/2).
108. [A]
128. [D]
109. [B]
129. Dom f = (-2, 1) » (1, +¶)
110. [C]
130. 29
111. zero
131. [A]
112. [C]
132. [B]
113. [A]
133. [A]
114. [D]
134. [A]
115. a) d = 10
135. a) (x = 1 e x‚ = 2) ou (x = 2 e x‚ = 1)
b) x = 2, x‚ = Ë5 e xƒ = -Ë5
30 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
b) p(x) = x¤ - 3x£ + 2x
e
-3
b) Dimensões = 1/3, 2 + Ë3 e 2 - Ë3
136. 02 + 04 + 08 = 14
144. a) - 3
137. 04
b) x¤ - 3x£ - x + 3 > 0
x£ (x - 3) - (x - 3) > 0
(x - 3 ) (x£ - 1) > 0
{x Æ IR / -1 < x < 1 ou x > 3}
138. [A]
139. a) Se p(x) = x¤ - 2x£ + 5x + 26 então
p(2+3i) = (2+3i)¤ - 2.(2+3i)£ + 5.(2+3i) + 26 =
= (2+3i)£.[(2+3i)-2] + 10 + 15i + 26 =
= (4+12i+9i£).(3i) + 36 + 15i =
= (-5+12i).(3i) + 36 + 15i =
= -15i + 36i£ + 36 + 15i =
= -15i - 36 + 36 + 15i = 0
Portanto (2 + 3i) é raiz de p(x)
145. [D]
146. [A]
147. - (1/4) x + 1/4
148. a) 2
b) As raízes de p(x) são (2+3i), (2-3i) e r.
Pelas relações de Girard, temos:
(2 + 3i) + (2 - 3i) + r = 2 ë r = -2
O polinômio p(x), na forma fatorada, é:
p(x) = (x + 2).(x - 2 + 3i).(x - 2 - 3i) ë
ë p(x) = (x + 2).(x£ - 4x + 13).
Se x > -2 ë x + 2 > 0, então p(x) > 0, visto que
x£-4x+13>0, ¯x Æ IR.
b) 1 - Ë3, 1 e 1 + Ë3
140. a) p(-2) = -1, p(0) = 1, p(1) = -1 e p(2) = 3
Observe o gráfico a seguir:
b) -1; (1+Ë5)/2 e (1-Ë5)/2.
149. [A]
150. [C]
151. a) p(0) = -1; p(1) = 2; p(-1) = 0; p(2) = 15 e p(2)=-1.
152. [E]
153. [C]
154. [A]
155. V V V F
156. [E]
157. [E]
158. [B]
b) 3 raízes reais e nenhuma raiz imaginária.
141. 02 + 04 = 06
142. [C]
143. a) 14
159. [C]
160. [A]
161. [D]
162. [B]
31 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
163. [C]
164. [D]
165. [C]
166. [E]
167. [C]
183. Se p(i) = 1 + 4i - 6 - 4i + 5 = 0 então i é raiz de
p(x).
Como p(x) é um polinômio com coeficientes reais, - i
também é raiz de p(x). Temos, então, que
q(x)=(x+i)(x-i)=x£+1 é fator de p(x).
Efetuando a divisão de p(x) por q(x) obtemos x£-4x+5
para quociente.
As raízes de x£ - 4x + 5 são dadas por x=4•Ë4/2=2•i. As raízes de p(x) são portanto: x=i, x = - i, x =
2 + i e x=2-i.
168. [A]
169. [D]
184. Dom g = {x Æ R | 1 < x < 2 ou 2 < x < 6}
ou
Dom g = ] 1, 2 [ U ] 2, 6 [
170. [A]
185. [A]
171. Como P(x)=-P(-x) ¯ x Æ IR, temos em particular
que P(0)=-P(-0) e P(1)=-P(-1).
P(0)=-P(-0) acarreta c=-c, e daí, c=0.
P(1)=-P(-1) acarreta 1 + a + b + c = - (-1+a-b+c).
Como c=0, temos:
1 + a + b = 1 - a + b. Ou seja, a = -a, e daí, a = 0.
Temos, portanto, P(x) = x¤ + bx = x(x£ + b).
Assim, P(x) = 0 Ì x(x£ + b) = 0. Ocorre que b >0.
Portanto, x£ + b > 0 ¯ x Æ IR. Logo, a única raiz real
de P(x)=0 é x=0
172. [C]
186. [A]
187. 2 + 4i
188. [D]
189. [A]
190. p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3). Vamos analisar o sinal
de p(x) verificando o sinal de cada um de seus fatores
pela tabela a seguir.
173. [E]
174. 3
175. [C]
176. [E]
177. [C]
178. [D]
179. [D]
180. [B]
181. [A]
182. [E]
A última linha da tabela nos fornece a resposta: p(x) µ
0 Ì x Æ [1,2]»[3,+ ¶].
191. 01 + 02 = 03
192. [C]
32 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r
193. 02 + 08 = 10
216. a) 3; 1 - 2i; 1 + 2i
b) {a Æ IR | - 3 < a ´ 5}
194. [C]
195. [E]
196. a + b + c + d = 21
197. [D]
198. [E]
199. itens corretos: 01, 08, 16 e 32
itens incorretos: 02, 04 e 64
200. [C]
201. 19
202. abc = 18
203. [A]
204. [E]
205. [B]
206. [E]
207. d = [10 (Ë15) - 36]/9
208. [A]
209. [C]
210. a) k = 2
b) x = -3/2 e x = 1/2
c) ] -3/2, 1/2 [ e ] 2, +¶ [
211. [A]
212. A = C = 1/2 e B = -1/2
213. [C]
214. [A]
215. [D]
33 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r