MATEMÁTICA
Polinômios
CAPÍTULO 03 – OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS (DIVISÃO)
1 – INTRODUÇÃO
O resto da divisão de P(x) por (x
Conforme comentamos no capítulo passado, a
divisão de polinômios é um dos métodos mais
eficientes para o estudo detalhado e a determinação de
raízes de polinômios em geral.
Além disso, comentamos também que, quando
possível, é melhor evitar o uso do método das chaves
para dividir polinômios, devido ao seu trabalho braçal.
Neste
capítulo
estudaremos
mais
detalhadamente a divisão de polinômios, aprenderemos
teoremas e dispositivos bastante úteis nas resoluções
de problemas envolvendo polinômios.
2 – DIVISÃO POR BINÔMIOS DO 1º GRAU
Trataremos neste tópico das divisões em que o
dividendo é um polinômio D, com D 1, e o divisor é
um polinômio d, com d = 1. Isto é, trataremos da
divisão de um polinômio por um binômio da forma
.
Observemos o que ocorre quando dividimos
por
.
α) é dado por P(α)
Simbolicamente:
Exercício Resolvido 1
Determine o resto da divisão de
e
, respectivamente:
por
,
Resolução
Aplicando o Teorema do Resto, temos:
Para
: Resto =
Para
Resto =
Para
: Resto =
3 – TEOREMA DE D’ALEMBERT
Uma conseqüência imediata do teorema do
resto, e muito útil ao estudar equações polinomiais, é o
Teorema de D’Alembert:
Um polinômio é divisível por
se, é raíz de (isto é,
se, e somente
).
Donde decorre a seguinte conseqüência:
Se
Como já sabemos, neste tipo de divisão
um polinômio constante, pois:
é
é divisível por
divisível por
e por
, então
é
4 – FATORAÇÃO DE D’ALEMBERT
Note que:
De uma maneira geral, podemos afirmar que o
resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio
da forma (ax + b) é igual ao valor numérico do
polinômio P(x) se x for igual à raiz do divisor. Isto é:
Se
é um polinômio de grau maior que 1. O
resto da divisão de
por
é igual a
(
Simbolicamente:
Durante a época em que se tentava provar o
Teorema Fundamental da Álgebra (que vimos no
primeiro capítulo), o matemático D’Alembert sugeriu
que dado um polinômio de raiz , ele pode ser escrito
de tal forma que possui o termo
em sua
fatoração.
Ou seja, o polinômio:
, que
tem raízes 3 e 2, deve possuir os termos
e
em sua fatoração. De fato, como vimos em
equação do 2º grau:
).
Com
um
pouco
de
desenvolvimento
matemático, conseguiu-se provar que:
Sendo
um
polinômio de raízes
, podemos
fatorar da seguinte forma:
2.1 – Teorema do Resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) por
(x α) é igual ao valor numérico de P em α. Isto é:
CASD Vestibulares
ALGEBRA
1
5 – ALGORITMO DE BRIOT-RUFFINI
Exercício Resolvido 2
Construir um polinômio, de coeficiente líder igual a 1,
cujas raízes são
e
Baseado no Método de Descartes para a
divisão de polinômios, criou-se um algoritmo
simplificado para realizar a divisão de um polinômio
qualquer por um binômio da forma
. Esse
algoritmo simplificado é conhecido como Algoritmo de
Briot-Ruffini, ou também Algoritmo de Redução de
Ordem.
Vamos
ilustrar
a
divisão
de
pelo polinômio
utilizando
o Algortimo:
Resolução:
Coeficiente de grau líder = 1 significa
Substituindo
e
pelas raízes dadas, vem:
(
)
a) Coloque do lado direito em ordem decrescente
de grau os coeficientes do dividendo
Exercício Resolvido 3
Os coeficientes de
na ordem decrescente de grau, são:
Fatore o polinômio
Resolução:
Primeiramente
evidência:
, já
b) Do lado esquerdo coloque a raiz do divisor
podemos
colocar
em
A raiz do divisor (
)é
Devemos então montar o seguinte diagrama:
Para fatorar
, devemos achar as
suas raízes, ou seja, resolver a equação do segundo
grau:
Na qual temos
portanto, suas duas raízes são iguais:
seja, a forma fatorada é:
e,
, ou
c) “Desce” o 1º coeficiente do dividendo
Exercício Resolvido 4
O polinômio , de quarto grau, tem raízes
Se
, determine
Resolução:
Se
é do quarto grau e temos suas quatro
raízes, podemos escrevê-lo como:
(
)
(
)
Podemos determinar a constante a utilizando o
fato de que
:
Assim:
portanto:
d) Multiplique pela raiz do divisor e acrescente ao
resultado o próximo coeficiente do dividendo.
Multiplicamos então
resultando em :
por
e somamos com ,
e,
Multiplicamos
resultando em :
por
e somamos com
,
4.1 – Divisibilidade de Polinômios
Como consequência desse resultado, segue
outro resultado importantíssimo. Se todas as raízes de
um polinômio Q(x) forem raízes de P(x) também, P terá
todos os fatores de Q em sua fatoração. Com isso a
divisão de P(x) por Q(x) será exata (não deixará resto)
e podemos dizer que:
P(x) é divisível por Q(x) quando todas as raízes de
Q(x) forem também raízes de P(x)
2
Multiplicamos
resultando em
:
ALGEBRA
por
e somamos com
,
CASD Vestibulares
05. (FUVEST-2009) O polinômio
,
em que
e
são números reais, tem resto 2 e 4
quando dividido por
e
, respectivamente.
Assim, o valor de é:
a) -6 b) -7 c) -8 d) -9 e) -10
Multiplicamos
resultando em
:
por
e somamos com
,
2
06. (FAAP) Dividindo-se x + kx + 2 por (x-1) e por (x+1)
são encontrados restos iguais entre si. O valor de k é:
a) 0
b) -1 c) 1,5 d) -1,5
e) impossível determinar com esses dados
2
e) o último número será o RESTO e, os demais, os
coeficientes do QUOCIENTE:
Sendo assim, temos
e o quociente é
Nìvel II
Exercício Resolvido 5
3
Sabendo que
é raiz de
determine suas outras raízes.
Resolução:
Seja
raiz de , então
,
. Se
é
deve ser 0. De fato:
Segue então que, se
, então
é
divisível por
. Dividamos pelo método de BriotRuffini:
Segue que
(como de fato deveria ser)
. Assim:
e que
As outras duas raízes serão então as raízes de
, que são
e
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nìvel I
01. (UEL) Se o resto da divisão do polinômio
4
3
p = x – 4x – kx – 75 por (x – 5) é 10, o valor de k é:
a) -5 b) -4 c) 5
d) 6
e) 8
02.
(CESGRANRIO) O resto
por
vale:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
03.(UPE-2011)
da
divisão
(UNESP)
Para
Se
é
,
divisão de
CASD Vestibulares
por
2
08. (ESPM) Considere o polinômio P(x) = x – 3x + 8x
Ao dividi-lo por x – 1, x – 2, x – 3 e x – 4 encontramos,
respectivamente, os restos ,
que, nessa
ordem, formam uma:
a) PA de razão 2 b) PA de razão 1
c) PG de razão 2 d) PG de razão ½
e) PG de razão -2
09. (Espm 2014) O trinômio x2  ax  b é divisível por
x  2 e por x  1. O valor de a  b é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
10. (Unesp 2014) O polinômio P(x)  a  x3  2  x  b é
divisível por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa
resto –45. Nessas condições, os valores de a e b,
respectivamente, são
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) –1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e –12.
11. (FUVEST) Dividindo-se um polinômio
, obtém se um resto que, dividido por
resto 3. Ache
12. (MACK-SP) Se
resto da divisão de
por
é:
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
por
dá
, então o
de
que
o
polinômio
seja divisível por
, o
valor da raiz quadrada do módulo de m deve ser igual
a:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5
04.
2
07. (VUNESP) O polinômio P(x) é divísivel por x – a ,
(a 0), se, e somente se:
a) P(a) = 0
b) P(a) = P( a) = 0
c) P(a) = 0, mas P( a) 0
d) P( a) = 0 e) P( a) = 0, mas P(a) 0
raiz do polinômio real
determine o resto da
13. (FUVEST) Sejam R1 e R2 os restos das divisões de
um polinômio P(x) por x – 1 e por x + 1,
respectivamente. Nessas condições, se R(x) é o resto
2
da divisão de P(x) por x – 1, então R(0) é igual a:
a) R1 – R2
b) (R1 + R2)/R1.R2
c) R1 + R2
d) R1R2
e) (R1 + R2)/2
14. (UNIFOR-CE) Um polinômio p(x) quando dividido
por x – 2 deixa resto 3 e quando dividido por x + 3 deixa
resto – 7. Nestas condições, calcule r(1) onde r(x)
2
representa o resto da divisão de p(x) por x + x – 6 = 0
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
ALGEBRA
3
2
15. (MACK-SP) Dividindo-se o P(x) = x + bx + c por
x – 1 e por x + 2, obtém-se o mesmo resto 3. Então, a
soma das raízes de P(x) – 3 é:
a) -3 b) -2 c) -1
d) 1
e) 3
16. (FUVEST) Seja p(x) um polinômio divísivel por x - 3.
Dividindo p(x) por x - 1, obtemos quociente q(x) e resto
r = 10. O resto da divisão de q(x) por x - 3 é:
a) -5 b) -3 c) 0
d) 3
e) 5
17. (MACK-SP-1998) Considerando as divisões de
polinômios na figura adiante, podemos afirmar que o
resto da divisão de
por
é:
a) 3x – 2
b) x + 1
c) 2x + 2
d) 2x + 1
e) x + 2
18. (MACK-2001)
Nas divisões acima, de polinômios, podemos afirmar
que o resto K vale:
a) 4/9 b) -1/9 c) -4/9 d) -5/9 e) -2/9
19. (UFV-2004) O inteiro
é raiz do polinômio
, onde
é uma constante
real.
a) Determine o valor de
b) Determine as outras raízes de
c) Determine os intervalos onde
Nìvel III
20. (ITA) Seja
um polinômio divisível por
.
Dividindo-o por
, obtêm-se o quociente
e o resto
. Se
, então o
coeficiente do termo de grau 1 de
é igual a:
a) -5 b) -3 c) -1 d) 1 e) 3
GABARITOS
01
E
06
A
11
03
16
A
(*) 19. a)
b)
c)
4
02
D
07
B
12
E
17
E
ou
[
03
E
08
C
13
E
18
D
04
30
09
D
14
D
19
(*)
05
A
10
E
15
C
20
C
[
ALGEBRA
CASD Vestibulares