Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat - Polinômios
1. (Espcex (Aman) 2015) O polinômio f(x)  x5  x3  x2  1, quando dividido por
q(x)  x3  3x  2 deixa resto r(x).
Sabendo disso, o valor numérico de r( 1) é
a) 10.
b) 4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.
2. (Unicamp 2015) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com
razão q  0 e a  0.
1
é uma raiz do polinômio cúbico p(x)  a  bx  cx2  dx3 .
q
b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y,
a) Mostre que x  
 a c  x   e 

     . Determine para que valores da razão q esse tem solução única.
 d b  y   f 
3. (Unicamp 2014) O polinômio p(x)  x3  2x2  9x  18 tem três raízes: r, –r e s.
a) Determine os valores de r e s.
b) Calcule p(z) para z = 1+i, onde i é a unidade imaginária.
4. (Espcex (Aman) 2014) Sabendo que 2 é uma raiz do polinômio P(x)  2x3  5x2  x  2,
então o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão
é:
a) {x  / 1  x  2}
b) {x 
c) {x 
d) {x 
e) {x 
P(x) está definida
1
/x }
2
1
/   x  1 ou x  2}
2
/ x  2}
/ x  2 e x  1}
5. (Uerj 2014) Observe o gráfico da função polinomial de
em
definida por
P(x)  2x3  6x2  3x  2.
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Determine o conjunto solução da inequação P(x)  0.
6. (Unesp 2014) O polinômio P(x)  a  x3  2  x  b é divisível por x – 2 e, quando divisível por
x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) –1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e –12.
7. (Pucrj 2014) Assinale a alternativa correta:


b) x 4   x  2  x3  2x2  4x  8   16
c) x 4   x  2  x3  2x2  4x  8   16
d) x4   x  2  x3  2x2  4   8
e) x4   x  2  x3  2x2  4   8
a) x4   x  2 x3  2x2  8  16
8. (Unesp 2014) Sabe-se que, na equação x3  4x2  x  6  0, uma das raízes é igual à soma
das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é
a) S = {– 3, – 2, – 1}
b) S = {– 3, – 2, + 1}
c) S = {+ 1, + 2, + 3}
d) S = {– 1, + 2, + 3}
e) S = {– 2, + 1, + 3}
9. (Fuvest 2014) Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x)  x3  ax2  bx  c são reais.
Sabendo que 1 e 1  αi, com α  0, são raízes da equação p(x)  0 e que o resto da divisão
de p(x) por (x  1) é 8, determine
a) o valor de α;
b) o quociente de p(x) por (x  1).
i é a unidade imaginária, i2  1.
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10. (Espm 2014) O trinômio x2  ax  b é divisível por x  2 e por x  1. O valor de a  b é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
11. (Pucrj 2014) Sabendo que 1 é raiz do polinômio p(x)  2x3  ax2  2x, podemos afirmar
que p(x) é igual a:
a) 2x2  x  2
b) 2x  x  1 x  1

c) 2x x2  2

d) x  x  1 x  1


e) x 2x2  2x  1
12. (Espcex (Aman) 2013) Um polinômio q(x), do 2º grau, é definido por q  x   ax2  bx  c,
com a, b e c reais, a  0. Dentre os polinômios a seguir, aquele que verifica a igualdade
q  x   q 1  x , para todo x real, é
a) q  x   a  x2  x   c
b) q  x   a  x2 – x   c
c) q  x   a2  x2 – x   c
d) q  x   a2  x2  x   c
e) q  x   a2 x  c
13. (Espm 2013) O resto da divisão do polinômio x5  3x2  1 pelo polinômio x2  1 é:
a) x – 1
b) x + 2
c) 2x – 1
d) x + 1
e) x – 2
14. (Esc. Naval 2013) Sejam F(x)  x3  ax  b e G(x)  2x2  2x  6 dois polinômios na
variável real x, com a e b números reais. Qual valor de (a  b) para que a divisão
F(x)
seja
G(x)
exata?
a) 2
b) 1
c) 0
d) 1
e) 2
15. (Espcex (Aman) 2012) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que
A  x   B  x   3x3  2x2  x  1. Sabendo-se que 1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então
A  3   B  1 é igual a:
a) 98
b) 100
c) 102
d) 103
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e) 105
16. (Ime 2012) Considere o polinômio 5x3 – 3x2 – 60x  36  0. Sabendo que ele admite uma
solução da forma n, onde n é um número natural, pode se afirmar que:
a) 1  n  5
b) 6  n  10
c) 10  n  15
d) 15  n  20
e) 20  n  30
17. (Fuvest 2012) O polinômio p(x)  x 4  ax3  bx2  cx  8 , em que a, b, c são números
reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas.
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes
reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Notações
: Conjunto dos números naturais;
: Conjunto dos números reais;

: Conjunto dos números reais não negativos;
i: unidade imaginária; i2  1 ;
P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A;
n(A) : número de elementos do conjunto finito A;
AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z : argumento do número complexo z;
a,b  x  : a  x  b
A \ B  x : x  A e x  B
A c : complementar do conjunto A;
n
 ak xk  a0  a1x a2x2  ...  anxn,n 
.
k 0
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
18. (Ita 2012) As raízes x1 , x 2 e x3 do polinômio p(x)  16  ax  (4  2)x2  x3 estão
x
relacionadas pelas equações: x1  2x2  3  2 e x1  2x2  2x3  0 . Então, o coeficiente a é
2
igual a
a) 2(1  2)
b) 2  4
c) 2(2  2)
d) 4  2
e) 4( 2  1)
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
x5  0x 4  x3  x 2  0x  1 x3  0x 2  3x  2
 x5  0x 4  3x3  2x 2
x2  2
 2x3  x 2  0x  1
 2x3  0x 2  6x  4
 x 2  6x  3
Portanto, r(x)   x2  6x  3 e r(1)   (1)2  6(1)  3  10.
Resposta da questão 2:
a) Tem-se que b  aq, c  aq2 e d  aq3 . Logo, vem
2
3
 1
 1
 1
 1
p     a  aq     aq2     aq3   
 q
 q
 q
 q
 aaaa
 0.
Por conseguinte, x  
1
é uma raiz do polinômio p(x).
q
b) De (a), obtemos
 a
 a c  x   e 

       3
 d b  y   f 
 aq
aq2   x   e 
     .
aq   y   f 
Sabendo que a  0, q  0 e q  , o sistema terá solução única se, e somente se,
a
3
aq
aq2
 0  a2q  a2q5  0
aq
 a2q(1  q2 )(1  q2 )  0.
Portanto, além de q  0, deve-se ter q  1.
Resposta da questão 3:
a) Fatorando p(x), obtemos
p(x)  x3  2x 2  9x  18
 x2 (x  2)  9(x  2)
 (x  2)(x 2  9).
Portanto, r  3 e s  2.
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b) Se z  1  i, então z2  (1  i)2  2i. Logo,
p(z)  (1  i 2)(2i  9)
 2i2  9i  2i  9
 7  11i.
Resposta da questão 4:
[C]
Já que 2 é raiz, podemos utilizar do dispositivo de Briot-Ruffini para determinar as outras raízes
e então fazer o estudo do sinal dessa função polinomial.
Logo, P(x)  ( x  2)  (2x2  x  1), fazendo 2x2  x  1  0, temos x = 1 ou x = -1/2, que são as
outras duas raízes.
Fazendo agora o estudo do sinal do polinômio P(x), temos:
A expressão

x 

/
P(x) estará definida para P(x)  0, ou seja,
1

 x  1 ou x  2
2

Resposta da questão 5:
O número 2 é raiz, pois p(2) = 0.
Dividindo p(x) por (x – 2), temos:


Logo, P  x    x  2  2x2  2x  1
Onde suas raízes são x  2, x 
1 3
.
2
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Resolvendo, agora a inequação P(x)  0 através do gráfico do polinômio P(x).


Portanto, a solução da inequação será dada por S   x 


/

1 3
1 3

x
ou x  2.
2
2


Resposta da questão 6:
[E]
De acordo com o Teorema do Resto e as informações do problema, temos que:
P(2) = 0 e P(–3) = – 45. Resolvendo o sistema abaixo, temos:
8a  4  b  0
27a 6  b  45
Multiplicando a primeira equação por –1 e somando com a segunda temos:
–35a = –35, ou seja, a = 1.
Substituindo a = 1 na primeira equação, temos:
8 + 4 + b = 0, ou seja, b = –12.
Resposta da questão 7:
[B]
Tomando convenientemente x  2, é fácil ver que as únicas opções possíveis são as
identidades dos itens [A] e [B]. Agora, basta fazer x  2 para concluir que a identidade correta
é a do item [B].
Resposta da questão 8:
[B]
Sejam r, s e t as raízes da equação x3  4x2  x  6  0 e considere que r = s + t.
Utilizando a relação de soma de Girard, temos:
r st  
4
1
r  r  4
r  2
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Concluímos então que dois é uma de suas raízes.
Dividindo, agora x3  4x2  x  6 por (x  2)
x3  4x 2  x  6  (x  2)  (x 2  2x  3)  0
x  2  0  x  2
x2  2x – 3  x  3 ou x  1
Logo, S = {– 3, – 2, + 1}.
Resposta da questão 9:
a) Como os coeficientes de p(x) são números reais, segue-se que suas raízes são 1, 1  αi
e 1  αi. Logo,
p(x)  (x  ( 1))(x  (1  αi))(x  (1  αi))
 (x  1)(x2  2x  α 2  1).
Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x  1) é 8 e α  0, pelo Teorema do Resto,
vem
p(1)  8  (1  1)(12  2  1  α 2  1)  8
 α2  4
 α  2.
b) Utilizando os resultados obtidos em (a), segue que o quociente de p(x) por x  1 é
p(x) (x  1)(x2  2x  5)

 x2  2x  5.
x 1
x 1
Resposta da questão 10:
[D]
Tem-se que
x2  ax  b  (x  2)(x  1)
 x2  x  2.
Daí segue que a  1, b  2 e, portanto, a  b  1  (2)  3.
Resposta da questão 11:
[B]
Se p(1)  0, então 2  13  a  12  2  1  0. Logo, a  0 e, portanto,
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p(x)  2x3  2x
 2x(x 2  1)
 2x(x  1)(x  1).
Resposta da questão 12:
Questão anulada no gabarito oficial.
Se q(x)  q(1  x), então
ax2  bx  c  a(1  x)2  b(1  x)  c
 ax2  (2a  b)x  a2  b  c.
Assim, obtemos o sistema
b  2a  b
a  b
 2
 2
a  b  c  c
a  b
 a2  a  0
a  0 e b  0

  ou
a  1 e b  1

Dado que a  0, segue que a  1 e b  1. Portanto, q(x)  x2  x  c  a(x2  x)  c. Por outro
lado, como a2  a  1, vem que as alternativas [B] e [C] estão corretas.
Resposta da questão 13:
[E]
Dividindo x5  3x2  1 por x2  1, obtemos
x5  3x 2  1
 x5  x3
x2  1
x3  x  3
x3  3x 2  1
 x3  x
3x 2  x  1
3x 2  3
x2
Portanto, o resto é x  2.
Resposta da questão 14:
[B]
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De acordo com a divisão efetuada acima, temos:
a  4  0  a  4
b3  0 b  3
Logo, a  b  1.
Resposta da questão 15:
[C]
Como 1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), segue que A(1)  0 e B(3)  0. Logo,
A(1)  B(1)  3  (1)3  2  (1)2  (1)  1  B(1)  1
e
A(3)  B(3)  3  33  2  32  3  1  A(3)  103.
Portanto,
A(3)  B(1)  103  1  102.
Resposta da questão 16:
[C]
5x3 – 3x 2 – 60x  36  0.
x 2  5x  3   12  5x  3   0
(5x  3)(x 2  12)  0
5x  3  0  x  3 / 5 ou x 2  12  0  x  12
Considerando n = 12, temos 10  n  15 .
Resposta da questão 17:
a) Como os coeficientes são reais, as raízes complexas aparecem com suas respectivas
conjugadas, então (1+i), (1-i), r e – r são raízes de P(x)
Utilizando, agora, a relação do produto das raízes, temos:
8
(1  i)  (1  i)  r  ( r) 
 2.r 2  8  r  2
1
Portanto, as raízes de p(x) são (1+i), (1-i), 2 e -2
Escrevendo o polinômio na forma fatorada, temos:
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P  x   1.  x  1  i   .(x  1  i  .  x  2  .  x  2 
P  x   x 4  2x3  2x2  8x  8
Logo, a  2, c  2
e
c  8.
b) Subtraindo 1 de cada uma das raízes, temos;
1  i  1  i
1 i  1  i
2 1 1
2  1  3
Portanto,
q  x   k.  x   i   .  x  i  .  x – 1 .  x   3  


q  x   k. x2  1 .  x  1 .  x  3 
Para k diferente de zero.
Resposta da questão 18:
[C]
Temos que
p(x)  x3  (4  2) x2  ax  16  x1  x2  x3  4  2
Portanto,
 x1  x 2  x3  4  2

x3

2
 x1  2x 2 
2

 x1  2x 2  2x3  0


Resolvendo o sistema por escalonamento, temos:
 x1  2 2

x2   2
x  4
 3
Logo, para a raiz


x3  4   4   4  2  4   a  4   16  0 
3
a4


2
2 1
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