MATEMÁTICA – POLINÔMIOS – AULA 01/02
Prof. Marcelo Renato M. Baptista
Aula 01: POLINÔMIOS e EQUAÇÕES POLINOMIAIS
1. DEFINIÇÃO
Polinômio na variável real x é toda expressão P(x) da forma: an xn + an −1xn −1 + an − 2 xn − 2 + L + a1x1 + a0
2. VALOR NUMÉRICO
O valor numérico do polinômio P(x) para x = a é o número que se obtém substituindo “x” por “a” e
efetuando-se os cálculos necessários; representamos por P(a).
Quando P(a) = 0 dizemos que “a” é uma raiz do polinômio.
Exemplo: (UP 2013) Sendo P( x ) = 2x 3 − x 2 − x + 2 , determine o valor numérico do polinômio P(x) para
x = −1 .
Resolução:
P( −1) = 2 ⋅ ( −1)3 − ( −1)2 − ( −1) + 2 ⇒ P ( −1) = 2 ⋅ ( −1) − 1 + 1 + 2 ⇒ P( −1 ) = −2 − 1 + 1 + 2 ⇒
Verificamos, também, que x = −1 uma das três raízes do polinômio P(x).
P( −1) = 0 .
3. POLINÔMIOS IDÊNTICOS
Dizemos que dois polinômios são iguais ou idênticos se, e somente se, seus termos correspondentes
tiverem coeficientes respectivamente iguais.
Um polinômio é chamado de identicamente nulo quando todos os seus coeficientes são nulos.
Utilizamos o símbolo " ≡ " quando indicamos a condição de identidade.
Exemplos:
1) (UP 2013) Sejam os polinômios reais, na variável x, A( x ) = ax 3 + 4 x 2 + bx − 5 e B( x ) = 4 x 2 + x + c .
Se os polinômio A(x) e B(x) são idênticos, ou seja, A( x ) ≡ B( x ) , determine o valor de (b – a – c).
Resolução: A( x ) ≡ B( x ) ⇒ ax 3 + 4 x 2 + bx − 5 ≡ 0 x 3 + 4 x 2 + x + c
Efetuando a identidade: a = 0, b = 1 e c = – 5.
b−a−c = 6 .
Assim, b − a − c = 1 − 0 − ( −5) ⇒ b − a − c = 1 + 5 ⇒
2) (FEI-SP) Determine A, B e C na decomposição
Resolução:
1
x3 − 1
=
A
Bx + C
+
⇒
x − 1 x2 + x + 1
1
3
=
x −1
A
Bx + C
+
.
x − 1 x2 + x + 1
1
( x − 1) ⋅ ( x 2 + x + 1)
1 ≡ Ax 2 + Ax + A + Bx 2 + Cx − Bx − C ⇒
=
A ⋅ ( x 2 + x + 1) + ( x − 1) ⋅ (Bx + C)
( x − 1) ⋅ ( x 2 + x + 1)
0 x 2 + 0 x + 1 ≡ ( A + B ) x 2 + ( A + C − B )x + ( A − C )
A + B = 0 ⇒ A = − B

Da identidade polinomial podemos afirmar: A + C − B = 0 ⇒ ( − B) + C − B = 0 ⇒ C = 2B
A − C = 1 ⇒ ( −B) − (2B) = 1 ⇒ B = −1 / 3

Logo: A = 1/3 , B = – 1/3 e C = – 2/3.
1
4. DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Sejam os polinômios P(x) e D(x), respectivamente de graus m e n, com m > n . Considerando gr(r) e gr(D),
respectivamente, o grau de r(x) e o grau de D(x), temos que:
Dividir P(x) por D(x) é determinar outros dois polinômios: o quociente q(x) e o
resto r(x) tais que:
P (x) ≡ q (x ) ⋅ D (x ) + r ( x)
gr ( r ) < gr ( D ) ou r ( x )
grmax ( r ) = gr ( D ) − 1
• grmax ( r ) significa o maior grau possível para o polinômio resto.
4.1. MÉTODO DA CHAVE
Exemplo:
Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio
P( x ) = −6 x 4 + 5 x 3 − 4 x 2 + 7 x − 11 por D( x ) = 2x 2 − x + 3 .
(ACOMPANHE A EXPLICAÇÃO DO PROFESSOR)
Então, o quociente é q ( x ) = −3 x 2 + x + 3 e o resto é
r ( x ) = 7 x − 20 .
4.2. BRIOT-RUFFINI { exclusivo para divisores na forma ( 1 ⋅ x1 + a ) }
Exemplo:
Determine o
4
quociente
3
e
o resto
da divisão de
2
P( x ) = x − 5 x + x − 3 x + 6 por ( x − 2) .
(ACOMPANHE A EXPLICAÇÃO DO PROFESSOR)
POLINÔMIOS – AULA 01 – SÉRIE AULA
3
2
3
1) (PUC-MG) O polinômio P(x) = ax + bx + cx + d é idêntico ao polinômio Q(x) = x – 2x + 4.
O valor de (a + b + c + d) é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
2) (F.C. Chagas-BA) Dado o polinômio P( x ) = x 3 − 2x 2 + m x − 1 , onde m ∈ IR , seja P(a) o valor de P para
x = a . Se P(2) = 3 ⋅ P(0) , então P(m) é igual a:
a) – 5
b) – 3
c) – 1
d) 1
e) 14
2
2x − 3
3) (UCMG) A soma dos valores de A, B e C tal que
2
x( x + 1)
=
A Bx + C
é:
+
x
x2 + 1
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
3
2
2
4) (UFR-PE) Qual o resto da divisão do polinômio x – 2x + x + 1 por x – x + 2 ?
a) x + 1
b) 3x + 2
c) – 2x + 3
d) x – 1
e) x – 2
3
2
2
5) (UP 2013) Se P(x) = 2x – 4x + a.x + b e Q(x) = x – 3x + 2 são polinômios, os valores de a e b, para
que P(x) seja divisível por Q(x), são, respectivamente:
Sugestão: Quando um polinômio é divisível por
a) –1 e 3
outro, as raízes do polinômio divisor são,
b) –1 e 2
também, raízes do polinômio dividendo.
c) –2 e 3
Não Esqueça: P(raiz) = zero.
d) –2 e 4
e) –3 e 2
6
6) (FGV-SP) Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P(x) = x – 1 pelo polinômio d(x) = x – 1. Então:
a) Q(0) = 0
b) Q(0) < 0
c) Q(1) = 0
d) Q(– 1) = 1
e) Q(1) = 6
3
6
7) (UFCE) Na divisão do polinômio P(x) = x por (x + 1), o quociente é Q1(x) e o resto é R1. Se R2 é o resto
da divisão de Q1(x) por (x + 1), então R2 é igual a:
a) – 4
b) – 5
c) – 6
d) – 7
e) – 8
5. TEOREMA DO RESTO
Na divisão do polinômio P(x), de grau maior ou igual a 1, por um binômio do 1º grau do tipo (ax + b), com
" a " e " b " reais, teremos q(x) como quociente e R como resto.
P(x) = q(x).(ax – b) + R
Calculando a raiz do divisor: ax + b = 0 ⇒ x = −
b
a
 b
R = P− 
 a
 b
 b   b 
P  −  ≡ q ⋅  −  ⋅  a ⋅  −  + b + R
a   a 
 a  14
 4
44244443
0
Resto = P (raiz do divisor)
Teorema do resto:
4
3
Exemplo 1: (UP 2013) Determine o resto da divisão de P(x) = 2 x – 4 x – 1 por D(x) = 3 x – 6.
Resolução: Como o divisor é do 1º grau (ax + b), podemos aplicar o teorema do resto, ou seja:
Cálculo da raiz do divisor: D( x ) = 0 ⇒ 3 x − 6 = 0 ⇒ x = 2
Teorema do resto: R = P ( 2 ) ⇒ R = 2 ⋅ ( 2 ) 4 − 4 ⋅ ( 2 )3 − 1 ⇒
R = −1
Exemplo 2: (Osec-SP) Um polinômio p(x), quando dividido por ( x − 2) , dá resto 15, quando dividido por
( x + 1) , dá resto 3. Dividindo-o por (x – 2).(x + 1), o valor numérico do resto para x = 0 é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Resolução:
Teorema do Resto
Formação do polinômio P(x)
 P (2) = 15 .......... . (1)

 P ( −1) = 3 .......... . (2)
P(x) = q(x).(x – 2).(x + 1) + R(x) ............... ( 3 )
Sabemos que o grau do resto R(x) tem que ser menor que o grau do divisor ;
Como o divisor “(x – 2).(x – 1)” é do 2º grau, logicamente, o maior grau possível para o resto será 1.
O Resto R(x) é do tipo R(x) = a x + b ......... (4)
Fazendo (4) → (3):
P(x) = q(x).(x – 2).(x + 1) + a x + b .............. (5)
P (2) = 15
 2a + b = 15
Substituindo (1) e (2) em (5): 
⇒ 
P ( −1) = 3
− a + b = 3
Resolvendo o sistema, temos: a = 4 e b = 7.
R( x ) = ax + b ⇒ R( x ) = 4 x + 7 ⇒
R(0) = 7 .
4
POLINÔMIOS – AULA 01 – SÉRIE AULA (continuação)
8) (UFES) O resto da divisão do polinômio P(x) = x
1032
3
– 12x + 15 pelo binômio Q( x ) = x + 1 vale:
a) 1032
b) 28
c) 15
d) 12
e) 4
2
9) (UFPA) Sabendo-se que os restos das divisões de x + px + 1 por x – 1 e x + 2 são iguais entre si, o valor
de p é:
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 2
2
10) (Santa Casa-SP) Dividindo-se um polinômio f por x – 3x + 1 obtém-se quociente ( x + 1) e resto 2x − 1 .
O resto da divisão de f por ( x + 1) é:
a) – 2
b) – 1
c) 3
d) 2x – 1
e) 2x + 1
11) (UFES) O resto da divisão de um polinômio por ( x + 1) é 6, e por ( x − 2) é 3. Ao dividir o mesmo
polinômio pelo produto ( x + 1) ⋅ ( x − 2) , o resto é:
a) 18
b) 9x
c) 2x + 3
d) – x + 5
2
e) x – 9x + 18
12) (UFR-PE) Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais. Assinale a alternativa certa para o resto da
2
divisão de p(x) por x – 5x + 6, sabendo-se que p(2) = 2 e p(3) = 3.
Dica: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2)( x − 3)
a) 2x + 1
b) x + 1
c) x – 3
d) x – 2
e) x
5
MATEMÁTICA – POLINÔMIOS – AULA 02/02
Prof. Marcelo Renato M. Baptista
Aula 02: POLINÔMIOS e EQUAÇÕES POLINOMIAIS
6. DIVISIBILIDADE POR PRODUTO DE FATORES
1. Se um polinômio P(x) é divisível por ( x − a) e também por ( x − b) , então, P(x) é divisível pelo produto
( x − a) ⋅ ( x − b) .
2. Se um polinômio P(x) é divisível por ( x − a) ⋅ ( x − b) , então, P(x) é divisível por ( x − a) e por ( x − b) ,
isoladamente.
Observações:
a) E ambas as situações acima, como ( x − a) e ( x − b) são fatores de P(x), consequentemente, a e b são
raízes de P(x).
b) A informação acima é válida para a existência de dois ou mais fatores compondo o polinômio divisor na
situação de divisibilidade, ou seja, de resto nulo.
4
2
Exemplo: (FEI-SP) Dado o polinômio p(x) = 4x – 5x – 3bx + a, calcule os valores de a e b de modo que
2
p(x) seja divisível por g(x) = x – 1.
Resolução: Fazendo g(x) = (x + 1)(x – 1)
Temos que, como consequência, que P(x) é divisível por (x + 1) e por (x – 1).
Logo:
4
2
P(– 1) = 0 ⇒ 4(– 1) – 5(– 1) – 3b(– 1) + a = 0
4
2
P( 1 ) = 0 ⇒ 4 (1) – 5 (1) – 3b (1) + a = 0
 3b + a = 1
Resolvendo o sistema 
− 3b + a = 1
Resposta: a = 1 e b = 0.
POLINÔMIOS – AULA 02 – SÉRIE AULA
1) (UP) Determine p+q para que o polinômio P( x ) = 2 x 3 − 4 x 2 + px + q seja divisível por ( x + 1) ⋅ ( x − 2) .
a) – 2
b) 4
c) 2
d) – 4
e) – 1
2) (Mack–SP 2005) Um polinômio tem resto A, quando dividido por ( x − A ) , e resto B, quando dividido
por ( x − B) , sendo A e B números reais. Se o polinômio p(x) é divisível por ( x − A ) ⋅ ( x − B) , então:
a) A = B = 0
b) A = 1 e B = – 1
c) A = 1 e B = 0
d) A = B = 1
e) A = 0 e B = 1
6
7. FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO
Seja P(x) um polinômio de grau n, n ≥ 1 , dado por:
P( x ) = an xn + an − 1xn − 1 + L + a1x + a0 , (a 0 ≠ 0)
Podemos decompô-lo em “n” fatores do 1º grau sob a forma:
P( x ) = an ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) ⋅ ( x − x 3 ) L ( x − x n )
Em que x1 , x2 , x3 , . . . , xn são as “n” raízes de P(x) e an é o coeficiente dominante de P(x).
3
2
Por exemplo, seja o polinômio P(x) = ax + bx + cx + d, com raízes x1 , x2 e x3 .
Decompondo o mesmo em fatores do 1º grau, teremos:
P( x ) = a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) ⋅ ( x − x 3 )
Observações:
1. Se duas, três ou mais raízes forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas etc.
2. Uma raiz “c” do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por ( x − c )2 .
3. Dizemos que cada um dos polinômios do 1º grau, ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) ⋅ ( x − x 3 ) L ( x − x n ) , é um fator de
P(x).
4. P(x) é divisível, individualmente, por cada um de seus fatores.
ATENÇÃO
Utilizaremos o dispositivo de Briot-Ruffini para encontrarmos as raízes de um polinômio P(x).
Explicação: Usando, como exemplo, um P(x) de grau 3 ...
Sabemos que P( x ) = a( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) ⋅ ( x − x 3 )
Logicamente também sabemos que P(x) é divisível por cada um dos seus fatores, ou seja:
P(x) é divisível por ( x − x1 ) , assim como por ( x − x 2 ) e por ( x − x 3 ) , isto é evidente!
Observe:
Na simplificação efetuada acima, o grau da equação P(x) = 0 foi reduzido
para grau 2 e assim poderemos encontrar as suas outras duas raízes
através da fórmula de Bhaskara.
EXEMPLO:
Para escrevermos um polinômio P(x) na forma fatorada, ou seja, como produto de fatores do 1º grau,
precisaremos do seu coeficiente dominante e de todas as suas raízes.
Vejamos o polinômio P( x ) = 2x 3 − 8 x 2 + 2x + 12 , sabendo que uma das suas raízes é x1 = 3 .
1º passo: Utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini, com a raiz do polinômio, para abaixar o grau do
mesmo.
2º passo: Igualar o quociente a zero e encontrar as demais raízes.
OBS: Neste exemplo, bastou apenas uma raiz conhecida para, com o
rebaixamento de grau encontrado, calcularmos as demais raízes com
a aplicação da fórmula de Bhaskara.
Caso o polinômio tivesse grau 4, precisaríamos do conhecimento e
respectiva utilização de duas raízes do mesmo para, utilizando o
dispositivo prático de Briot-Ruffini por duas vezes (uma para cada raiz
conhecida) chegarmos ao cálculo das outras duas raízes através da
fórmula de Bhaskara.
7
3º passo: De posse de todas as raízes do polinômio P(x) e do seu coeficiente dominante...
P( x ) = 2 ⋅ ( x − 3)( x + 1)( x − 2)
1444442444443
Forma fatorada do polinômio P(x).
POLINÔMIOS – AULA 02 – SÉRIE AULA (continuação)
3
2
3) (UP 2013) O resto da divisão do polinômio P(x) = – 2x – 5x – x + k + 1 , k ∈ IR, por ( x + 1) é igual a
zero. O polinômio P(x), escrito na forma fatorada (produto de fatores do 1º grau) é:
a) P( x ) = ( x + 1)( x + 2)( x − 1)
1
( x + 1)( x − 2)( x + 1 / 2)
2
c) P( x ) = −2( x + 1)( x + 2)( x − 1 / 2)
d) P( x ) = −2( x + 1)( x − 2)( x − 1)
b) P( x ) = −
e) P( x ) = − 2( x + 1)( x − 2)( x + 2)
4) (UP 2013) Se o polinômio P( x ) = x 4 + 4 x 3 − 7 x 2 − 22x + 24 é divisível por ( x − 2) , podemos afirmar que
um dos seus fatores de 1º grau é o polinômio
Sugestão:
Em toda equação,
a) x + 1
sempre verifique se a
b) x – 3
soma dos seus
c) x + 4
coeficientes é igual a
d) 2x + 6
zero; se o for, com
2
e) x – 1
certeza 1 (um) é raiz da
3
2
5) (UP 2013) Os zeros (ou raízes) do polinômio P(x) = x + x – 26x +24 são:
referida equação e,
assim sendo, podemos
utilizar esta raiz 1 (um)
conhecida para, com o
uso do dispositivo
prático de Briot-Ruffini,
abaixar o seu grau e
determinarmos as
demais raízes.
a) –6, – 4, 1
b) –6, 1, 4
c) –4, –1, 6
d) –1, 4, 6
e) 1, 4, 6
3
2
6) (UFES modificada) Sabendo que o polinômio P(x) = 2x + m x + x – 2 é divisível por ( x + 2) , podemos
decompô-lo num produto de fatores do 1º grau.
O polinômio P(x) e o valor da constante m encontram-se na alternativa:
a) P(x) = 2(x + 2)(x – 1)( x – 3); m = – 2
b) P(x) = 2(x + 2)(x – 1)( x + 3); m = – 1
c) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x – 1/3); m = 5
d) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x + 1/2); m = 5
e) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x – 1/2); m = 5
8
8. RELAÇÕES DE GIRARD
Algumas relações entre os coeficientes de uma equação e suas raízes, conhecidas como Relações de
Girard, constituem uma ferramenta importante na resolução de equações quando conhecemos alguma
informação sobre suas raízes.
x1 + x 2 = −
2
ax + bx + c = 0
x1 ⋅ x 2 =
b
a
c
a
x1 + x 2 + x 3 = −
3
2
ax + bx + cx + d = 0
b
a
x1.x 2 + x1.x 3 + x 2 .x 3 =
x1.x 2 .x 3 = −
Para equações de graus maiores que
três, deveremos, atentando-se à
sequência alfabética dos coeficientes
e à alternância dos sinais à direita da
igualdade, seguir o seguinte
procedimento com suas raízes.
c
a
d
a
Exemplo: (UP 2013) Determine o conjunto solução da equação P( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 6 , sabendo que uma
das suas raízes é a igual à soma das outras duas.
Resolução:
Considerando x1, x2 e x3 as raízes da equação: x 3 − 4 x 2 + x + 6 = 0
− ( −4)
⇒ x1 + x 2 + x 3 = 4 ...... ( 1 )
1
Do enunciado: x 2 + x 3 = x1 ....................................... ( 2 )
Girard: x1 + x 2 + x 3 =
Substituindo ( 2 ) em ( 1 ): x1 +(x1) = 4 ⇒ 2x1 = 4 ⇒ x1 = 2
1) Temos que x 3 − 4 x 2 + x + 6 = 0, onde x1 = 2 ;
2) Rebaixando o grau da equação, com a utilização do dispositivo prático de Briot-Ruffini
2
1
–4
1
6
1
–2
–3
0
4) Assim,
2
x 3 − 4 x 2 + x + 6 = 0 ⇔ (x – 2).(x – 2x – 3) = 0
2
(x – 2)(x – 2x – 3) = 0
2
x – 2x – 3= 0 ⇒ x2 = – 1 ou x3 = 3.
Resposta: S = { – 1; 2; 3 }.
Observação Importante:
Alguns testes sobre raízes de uma equação
utilizam os termos raízes simétricas (ou opostas) e
raízes recíprocas.
Raízes Simétricas:
x1 = A e x 2 = − A ;
Raízes Recíprocas:
x1 = A e x 2 =
POLINÔMIOS – AULA 02 – SÉRIE AULA (continuação)
2
7) (Cesgranrio) Se x1 e x2 são as raízes de x + 57x – 228 = 0, então
a) – 1/4
b) – 1/2
c) 1/4
d) 1/2
e) 1
9
1
1
+
vale:
x1 x 2
1
A
8) (U.F.São Carlos-SP modificada) Sabendo-se que a soma de duas das raízes da equação
x 3 − 7 x 2 + 14 x − 8 = 0 é igual a 5, pode-se afirmar a respeito das raízes que:
a) são todas iguais e não nulas
b) somente uma é nula
c) as raízes podem constituir uma P.G.
d) as raízes podem constituir uma P.A.
e) nenhuma raiz é real
9) (Fuvest-SP) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x 3 − x 2 + k ⋅ x + 4 = 0 é igual a
1. Então o valor de k é:
a) – 8
b) – 4
c) 0
d) 4
e) 8
10) (Fuvest-SP) Se a equação 8 x 3 + k ⋅ x 2 − 18 x + 9 = 0 tem raízes reais a e – a, então o valor de k é:
a) 9/4
b) 2
c) 9/8
d) – 2
e) – 4
11) (Unificado-RJ) Se a, b e c são as raízes da equação x 3 − 10 x 2 − 2x + 20 = 0 , então o valor da expressão
a 2bc + ab 2c + abc 2 é igual a:
a) 400
b) 200
c) – 100
d) – 200
e) – 400
3
2
12) (UP 2013) As raízes da equação x – 14x + 56x – 64 = 0, sabendo que elas estão em progressão
geométrica, são:
a) maiores que 3
b) menores que 4
c) o cubo da menor é igual à maior
d) o quadrado da menor é igual à maior
e) a maior é o dobro da menor
10
POLINÔMIOS – AULA 01 – SÉRIE CASA
1) (U.E.CE) Sejam P(x) e Q(x) polinômios tais que P ( x ) ≡ Q ( x ) + x 3 + 2x + 3 . Se 1 é raiz de P(x) e 3 é
raiz de Q(x), então P ( 3 ) − Q ( 1) é igual a:
a) 30
b) 32
c) 40
d) 42
e) 48
2) (U.E.CE) Se 2x + 5 = ( x + m)2 − ( x − n)2 , então m3 − n3 é igual a:
a) 19
b) 28
c) 35
d) 37
e) 42
3
3) (Unirio-RJ) O resto da divisão do polinômio P(x) = x – x + 1 pelo polinômio D( x ) = x 2 + x + 1 é igual a:
a) 0
b) x + 2
c) x – 2
d) – x + 2
e) – x – 2
2
2
2
4) (UECE-CE) Na divisão do polinômio f = (x + 2) por g = x – x – 1, obtêm-se quociente e resto,
respectivamente:
2
a) x – x – 6
2
b) x + x – 6
2
c) x + x – 6
2
d) x + x + 6
2
e) x + x + 6
e
e
e
e
e
7x + 10
7x – 10
7x + 10
7x – 10
7x + 10
5) (UCMG) Os valores de a e b que tornam o polinômio P(x) = x + 4x + ax + b divisível por ( x + 1)2 são,
respectivamente:
3
2
a) 1 e 2
b) 3 e 2
c) 4 e 5
d) 5 e 2
e) 5 e 3
6) (UFCE) Na divisão do polinômio P(x) = x 6 por x + 1 , o quociente é Q1(x) e o resto é R1. Se R2 é o
resto da divisão de Q1(x) por x + 1 , então R2 é igual a:
a) – 4
b) – 5
c) – 6
d) – 7
e) – 8
11
7) (Fuvest-SP) Seja P(x) um polinômio divisível por x − 3 . Dividindo P(x) por x − 1 , obtemos quociente Q(x)
e resto R = 10. O resto da divisão de Q(x) por x − 3 é:
a) – 5
b) – 3
c) 0
d) 3
e) 5
8) (Santa Casa-SP)
2
Na divisão de um polinômio f por (x – 2) , obtêm-se quociente x + 1 e resto 1− 2x . O resto da divisão de f
por x + 1 é:
a) 1 – 2x
b) – 3
c) – 1
d) 1
e) 3
9) (Cescea-SP) Um polinômio P(x), quando dividido por (x + 2) dá resto 5 e, quando dividido por ( x − 2) , dá
2
resto 13. Dividindo-se P(x) por x – 4 obtém-se um resto R(x). Então, o valor de R(x) para x = 1 é:
a) – 18
b) 34
c) 11
d) 2
e) 18
2
2
10) (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por x – x resulta no quociente 6x + 5x + 3 e resto –7x.
O resto da divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
2
11) (Santa Casa-SP) Dividindo-se um polinômio f por x – 3x + 1 obtém-se quociente x + 1 e resto 2x + 1 .
O resto da divisão de f por x + 1 é:
a) – 2
b) – 1
c) 3
d) 2x – 1
e) 2x + 1
12) (UFES)
O resto da divisão de um polinômio por (x + 1) é 6, e por (x – 2) é 3. Ao dividir o mesmo polinômio pelo
produto (x + 1)(x – 2), o resto é:
a) 18
b) 9x
c) 2x + 3
d) – x + 5
2
e) x – 9x + 18
12
POLINÔMIOS – AULA 02 – SÉRIE CASA
1) (UFSE) Se –2 é raiz do polinômio f = 2x 3 + x 2 − 8 x − 4 , então a forma fatorada de f é:
a) (x – 2)(2x + 1)(x – 4).
b) (x – 2)(2x – 1)(x + 4).
c) (x + 2)(x + 1)(2x – 1).
d) (x + 2)(x + 1)(2x – 1).
e) (x + 2)(x – 2)(2x + 1).
3
2
2) (MED-ABC/SP) As raízes da equação x – 9x +23x – 15 = 0 estão em progressão aritmética. Suas
raízes são:
a) 1, 2, 3
b) 2, 3, 4
c) 1, 3, 5
d) 2, 4, 6
e) 3, 6, 8
3
2
3) (FEI-SP) A equação x – 2x – x + 2 = 0 apresenta duas raízes simétricas. O produto das duas maiores
raízes é;
a) – 1
b) 0
c) 2
d) 3
e) 4
3
2
4) (Santa Casa-SP) Se a equação 4x + kx – x + 2 = 0, com coeficientes reais, admite duas raízes
recíprocas, então k é um número:
a) negativo
b) maior que 0 e menor que 2
b) maior que 2 e menor que 3
b) maior que 3 e menor que 5
e) maior que 5
3
2
5) (Santa Casa-SP) Sabe-se que a equação 4x – 12x – x + k = 0, onde k ∈ IR, admite duas raízes
opostas. O produto das raízes dessa equação é:
a) – 12
b) – 3/4
c) – 1/4
d) 3/4
e) 12
13
3
6) (U.F.São Carlos-SP) Sabendo-se que a soma de duas raízes reais de x + mx + 6 = 0 é – 2, então o valor
de m é:
a) 7
b) – 6
c) – 7
d) – 2
e) 2
3
2
7) (Santa Casa-SP) a soma dos inversos das raízes da equação 2x – 5x + 4x + 6 = 0 é:
a) 3/2
b) 2/3
c) 1/3
d) – 2/3
e) – 3/2
3
2
8) (UFSM) A equação x – 5x + ax + b = 0 admite uma raiz dupla igual a 2. Se a e b são coeficientes reais,
a razão a/b é igual a:
a) 4/3
b) 1/4
c) – 1/2
d) – 1
e) – 2
POLINÔMIOS – AULAS 01 E 02 – GABARITOS
AULA 01 – SÉRIE AULA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
C
C
D
E
C
B
D
B
D
E
AULA 01 – SÉRIE CASA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
D
E
D
C
A
E
C
E
C
E
AULA 02 – SÉRIE AULA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
C
C
B
E
C
C
A
E
D
C
AULA 02 – SÉRIE CASA
1
2
3
4
5
6
7
8
E
C
C
A
B
C
D
E
PROFESSOR MARCELO RENATO M. BAPTISTA
14