Equações algébricas
Professor Neilton
Curiosidades sobre o número Pi
Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis
7:23, existe a passagem:
"Fez também o mar de fundição; era
redondo e media dez côvados duma borda
à outra, cinco côvados de altura e trinta de
circunferência." sugerindo que os
construtores da casa de Salomão usavam o
valor 3 para a razão entre o diâmetro e o
comprimento da circunferência.
Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor
da razão entre o diâmetro e o comprimento da
circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.
Equações Algébricas
Denominamos equações
polinomiais ou algébricas, às
equações da forma:
P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio
de grau n > 0.
Teorema Fundamental da Álgebra
Toda a equação algébrica P(x) = 0 de grau n > 0, admite pelo
menos uma raiz real ou complexa
OBS:
Equações de 5º grau ou maiores não possuem fórmulas para a
sua solução direta.
Exemplo:
Compor o polinômio, sabendo que suas raízes
são 1, 2 e 4
Como existem 3 raízes, n=3, então o
polinômio é da forma:
P(x) = an.(x-r1).(x-r2).(x-r3)
Fazendo an = 1, temos que:
P(x) = 1. (x-1).(x-2).(x-4)
P(x) = x3 - 7x2 + 14x - 8
Multiplicidade de uma raiz
Quando ao decompormos P(x) uma mesma raiz ocorre
mais de uma vez a denominamos de raiz múltipla de P(x).
Exemplo:
Se P(x) = (x-1)2.(x-3)
Dizemos nesse caso que das 3 raízes de P(x), a raiz 1 tem
multiplicidade 2 enquanto que 3 é uma raiz simples
Teorema das raízes complexas
Se uma equação P(x) = 0 ,de coeficientes reais,
apresentar uma raiz complexa (a+bi), podemos
afirmar que o seu conjugado (a-bi) também será
raiz de P(x), e com a mesma multiplicidade.
Conseqüência
Num polinômio P(x) com coeficientes reais e grau
ímpar há, no mínimo, uma raiz real
Dica do professor:
Quando a equação não tem
termo independente (sem
variável), a quantidade de
raízes nulas é igual ao
expoente de menor grau.
Na letra a por exemplo o
termo 4x2 é o de menor
expoente. Portanto 2 raízes
nulas.
05. Sabe-se que a função polinomial f(x) de grau 3, admite
como raízes, os números x1 = 1, x2 = 2 e
x3. Sobre a raiz x3, podemos afirmar:
a) pode ser um número complexo
b) é necessariamente, um número natural
c) é necessariamente um número inteiro
d) é necessariamente um número irracional
e) é um número real
Resposta:
Ora, o número de raízes complexas de uma equação algébrica é
necessariamente um número par, já que,
se a+bi for raiz, então o conjugado a-bi também será raiz.
Portanto, se a terceira raiz da equação não pode ser um número
complexo, então ela será
necessariamente um número real, o que nos leva à alternativa E.
Questão 06
Determinar m para que a soma das raízes da equação
4x4 – (m – 1)x3 + 2x2 – 5x + 4 = 0 seja igual a 2.
RESOLUÇÃO:
X1 + X2+X3+X4= -a1/a0
(soma das raízes)
a1= – (m –1)
X1 + X2+X3+X4= (m-1)/4
(m-1)/4=2
(m – 1)=4.2
m =8+1
RESPOSTA: m = 9
Questão 07
Resolva 2x4 –x3 – 4x2 + 10x – 4 = 0, sabendo
que – 2 e 1 são raízes.
2
P(x) = 2x4 – x3– 4x2 + 10x – 4 =
0
–2
–1
2
2
– 5
–4
10
6
3– 2
–4
40
P(x) = 2x4 – x3– 4x2 + 10x – 4 =
0
1/2
2
2
–5
– 4
6
34
–2
40
2x2 – 4x + 4 = 0
  b  4ac
2
x2 – 2x + 2 = 0
ou
b 
x´
2a
  (2)  4.1.2 
2
 (2)   4
x´
2.1
x1  1  i
  4 8
   4
2  2i
x´
2.1
 x2  1  i
Questão 07
Resolva 2x4 –x3 – 4x2 + 10x – 4 = 0, sabendo
que – 2 e 1 são raízes.
2
1
SOLUÇÃO : S  {  2;
; 1 i ; 1 i}
2
Questão 08
Uma das raízes de 2x3 – (m +3)x2 + 11x – m = 0 é 1.
Quais são as outras raízes dessa equação?
P(1) = 0  2.13 – (m + 3) 12 + 11 .1 – m = 0
2 – (m + 3) + 11– m = 0  – m – 3 + 13– m = 0
– 2m + 10 = 0
1
2m = 10
2
2
–8
–6
m=5
11
5
–5
0
2x2 – 6x + 5 = 0
  b  4ac
2
b 
x´
2a
  (6)  4.2.5 
2
 (6)   4
x´
2.2
3i
x1 
2
  36  40
6  2i
x´
4
   4
3i
 x2 
2
Questão 09
A soma das raízes da equação x3- 2x2 + 3x - 4 = 0 é igual a:
a) -3/4
b) -1/2
c) 3/4
d) 4/3
e) 2
RESOLUÇÃO:
A soma das raízes da equação x3- 2x2 + 3x - 4 = 0 é:
X1+X2+X3= –a1/a0
X1+X2+X3= –(-2)/1
RESPOSTA: letra E
Questão 10
A equação 2x³ - 5x² + x + 2 = 0 tem três raízes reais.
Uma delas é 1. Encontre as outras duas.
1
–5
–3
2
2
2x3 – 3x – 2 = 0
1
–2
  b 2  4ac
  (3)2  4.2.(2) 
  9  16
 (3)  25 x´ 3  5
x´
4
2.2
8
x´
4
x´ 2
2
x´´
4
2
0
x´
b 
2a
   25
1
x´´
2
Questão 11
(UEPG-PR) Uma das raízes do polinômio P(x) = 3x3 + 2x2
– 7x + 2 é – 2. Então, a soma das outras
raízes desse polinômio é:
a) 2/3
b) -1
2
4
a

b

2

ab 
c) 4/3
3
3
d) -3/4
e) 1
2
ab  2
3
Questão 12
(UEL-PR) Se – 2 é uma das raízes da equação x3 + 4x2 + x
+ k = 0, onde k R, o produto das outras duas raízes
dessa equação é:
a) –3
3 + 4(2)2 + (–2)+ k = 0
P(-2)
=
0

(-2)
b) –2
c) –6
 -8 + 16 – 2 + k = 0
d) 3
e) 6
K=–6
 x3 + 4x2 + x – 6 = 0
a.b.(2) 
 ( 6 )
1
a.b.(2)  6
a.b  3
13. ( UEFS )– Se o resto da divisão do
polinômio P(x) = 2xn + 5x – 30 por Q(x) = x – 2
é igual a 44, então n é igual a
(01) 2
(02) 3
(03) 4
(04) 5
(05) 6
SOLUÇÃO: Sabemos pelo teorema do
resto, que o resto da divisão do
polinômio P(x) por x – a é igual a P(a).
Logo, com os dados do problema,
podemos escrever:
P(2) = 44 = 2.2n + 5.2 – 30 \ 64 = 2.2n
\ 2n = 32 e, portanto, n = 5, o que nos
leva à alternativa (04).
P(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2
2
–5
3
3
1
1
3
–2
4
Questão 14
Determinar m, de modo que a equação x3 + mx2 + 12x + 8 =
0 tenha as três raízes iguais.
a0 = 1
a1 = m
a2 = 12
a3 = 8
x1 = x2 = x3 = a
Girard:
x1 + x2 + x3 = – a1/a0 a + a + a = – m/1 3a = –m (I)
x1x2 + x2x3 + x1x3 = a2/a0
a . a + a . a + a . a =3a2/1
 3a2 = 12  a2 = 4a=+-2 (II)
x1x2x3 = –a3/a0 a . a . a = a3 = – 8  a = –2
Em (I), com a = –2:
-m=3.(-2)
m=6
CONHEÇA HIDROLÂNDIA - UIBAÍ
Estudo da reta
e
Área do triângulo
Geometria Analítica
PLANO CARTESIANO
1.1 – COORDENADAS CARTESIANAS NA RETA
É fácil concluir que existe uma correspondência um a um
(correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da
reta e o conjunto R dos números reais. Os números são
chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto
A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1,
etc.
A reta r é chamada eixo das ABCISSAS.
1.2 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO
Com o modo simples de se representar números numa reta, visto
acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto
consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num
ponto O
Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do
ponto P
EXERCÍCIO 01
Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.
Solução:
Se um ponto pertence ao eixo vertical
(eixo y) , então a sua abscissa é nula.
Logo, no caso teremos:
2m - 16 = 0,
de onde tiramos m = 8
o ponto ficaria P = ( 0, 8)
EXERCÍCIO 02
Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.
Solução:
Se um ponto pertence ao eixo horizontal
(eixo ox) , então a sua ordenada é nula.
Logo, no caso teremos:
m = 0,
o ponto ficaria P = ( -16, 0)