Fı́sica Quântica da Matéria – Problemas Miscelânea
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1.
Seja B um campo magnético uniforme e constante no tempo com a direcção do eixo dos zz.
a) Mostre que se pode escolher A = Bxey (ey versor do eixo dos yy) para o potencial vector correspondente.
b) Escreva a equaçao de Schrodinger de um electrão na presença de B .
c) Determine a função de onda que é, simultâneamente, um estado com valor próprio h̄k da componente
py do momento linear p, e um estado com valor próprio nulo da componente pz do mesmo momento.
Porque é que tal função de onda é possı́vel?
d) Determine a energia do estado fundamental nas condições de c) e diga se depende do momento segundo
o eixo dos yy, h̄k.
2.
Um condutor plano tem lados de comprimento L1 (segundo o eixo dos xx) e L2 (segundo o eixo dos yy) e
é actuado por um campo magnético definido como no problema 1. A densidade superficial electrónica no
condutor é n. Despreze a interação entre os electrões ”livres” do condutor.
a) Mostre que se se impuser à função de onda de cada electrão a condição aos limites periódica Ψ(x, y +
L2 ) = Ψ(x, y), o momento linear segundo a direcção do eixo dos yy é quantificado de acordo com h̄ 2πn
L2
(n = 0, 1, 2, ...), (definindo nı́veis ditos de Landau).
b) Determine o maior valor possı́vel para o o número inteiro n.
c) Calcule o número de estados de Landau disponı́veis por unidade de área do condutor.
d) Qual é a degenerescência dos nı́veis de energia dos electrões?
3.
Na situação do problema 2:
a) Diga se será possı́vel popular nı́veis de Landau, por actuação no condutor de campos B=10 T a
temperaturas da ordem de 0.1 K.
b) Descreva a experiência de efeito de Hall em que se pode testar a resposta a a), explicando porque
é nessa experiência se podem obter valores quantificados para a razão entre a densidade de corrente
segundo xx e o campo eléctrico Ey , Ejxy .
4.
Dois electrões, 1 e 2, estão fortemente ligados a dois núcleos diferentes da rede de um cristal. sendo por
isso discernı́veis. Sendo as respectivas matrizes de Pauli σ (1) e σ (2) , a interacção entre os dois electrões é
(1) (2)
(1) (2)
H = −a(σx σx + σy σy ), com a uma constante > 0.
a) Quantos e quais são os nı́veis de energia do sistema dos dois electrões? Determine a degenerescência
de cada nı́vel.
b) Quando no cristal actua um campo magnético B constante e uniforme segundo o eixo dos zz, quais são
os novos nı́veis de energia? Desenhe num gráfico em que o eixo das abcissas é o valor da intensidade
B, como varia cada novo nı́vel de energia com B.
5.
Resolva o problema 4, para o caso em que os electrões são indiscernı́veis, encontrando-se em estados de
momento angular relativo L = 0.
6.
Uma molécula existente na clorofila e na hemoglobina é a porfirina. Esta molé cula tem uma estrutura de
anel com raio r = 4A, ao longo do qual se deslocam 18 electrões.
a) Desprezando a interacção entre os electrões, escreva as funções de onda normalizadas das funções de
onda de cada electrão e determine os respectivos nı́veis de energia.
b) Diga quantos electrões podem existir no nı́vel electrónico de mais baixa energia e em cada um dos
nı́veis excitados possı́veis.
c) Escreva em notação espectroscópica a configuração electrónica do estado fundamental da molécula de
porfirina.
7.
Atendendo ao problema 6,
a) Qual é a energia electrónica de excitação mı́nima de uma molécula de porfirina?
b) Qual é o maior comprimento de onda de radiação que pode ser absorvida por uma molécula de
porfirina?
8.
Um núcleo com momento magnético µ = µo s e spin semi-inteiro s é colocada num campo magnético cuja
direcção é a do eixo dos xx. No instante t = 0 tem-se sz = +1/2. Determine a probabilidade de num
instante posterior t, se obter
a) sy = +1/2
b) sy = −1/2.
9.
Num fio circular muito fino de raio R passa um campo magntico constante, uniforme e perpendicular ao
plano do fio, produzindo um fluxo φ. Se nesse fio circular um electrão, e desprezando a interacção entre o
spin do electrão e o campo magnético,
a) Escreva a equação de Schrodinger para o electrão.
polares), re-escreva-a
b) Tomando o potencial vector A(r, θ) = rB
2 eθ (θ é o ângulo das coordenadas
R
redefinindo a função de onda através de uma nova fase: Ψ → Ψ0 exp( ie
Adl)
(
note
que tem de exigir
h̄
Ψ(θ) = Ψ(θ + 2π)).
c) Mostre como as energias dos nı́veis electrónicos variam com o fluxo φ.
10.
Um electrão está confinado a um volume onde actua um campo magnético uniforme e constante correspondente ao seguinte potencial vector na direcção do eixo dos yy: A = Bxey .
a) Mostre que a energia dos estados possı́veis do electrão são En = C + (n + 1/2)h̄eB/m, com C uma
constante que pode ter um valor qualquer. O que é que C significa?
b) Qual é a degenerescência desses estados?
11.
Considere duas partı́culas idênticas de spin 1/2 e massa m no potencial de um oscilador linear harmónico,
2
2
V (r) = mω
4 r em que r é a coordenada relativa entre as duas partı́culas. No referencial do CM, e quando
o momento angular relativo nulo, isto é l = 0,
a) qual é a função de onda do estado fundamental, incluindo o estado de spin?
b) qual é o segundo nı́vel de energia do sistema? qual a degenerescência desse estado de energia e quais
são as funções de onda respectivas?
c) calcule em teoria de perturbações de primeira ordem, o efeito na energia de uma interacção entre os
electrões H 0 = Cδ(r)/r2 (C constante << 1).
12.
Uma partı́cula de massa m está num poço bidimensional de potencial descrito por V (x, y) = 21 mω 2 (x2 + y 2 ).
a) Determine em teoria das perturbações de primeira ordem o desvio na energia do estado fundamental,
devido à perturbação H 0 = 2λxy.
b) Resolva exactamente a equação de Schrodinger a 2D para o potencial total V + H 0 , através de uma
rotação dos eixos das coordenadas. e determine assim a energia do estado fundamental correspondente.
13.
Duas partı́culas indiscernı́veis de spin 1/2 e massa m, com posições r1 e r2 , interagem através do potencial
1 m
V (r1 − r2 ) = ( )ω 2 (r1 − r2 )2 + gσ1 · σ2 ,
2 2
onde g é uma constante. Para o movimento relativo,
a) Determine a energia do estado fundamental, indicando o spin total desse estado.
b) Determine a energia do primeiro estado excitado e a sua degenerescência.
c) Em t = 0 o sistema encontra-se no seu estado fundamental, quando se aplica ao sistema uma interacção
dependente do tempo da forma H 0 = λσ1 · (r1 − r2 ), sendo λ pequeno. Determine como varia em
t > t0 a probabilidade do sistema se encontrar no estado fundamental.
14.
Um bloco de parafina é colocado num campo magnético uniforme B0 . A parafina é constituı́da por muitos
núcleos de hidrogénio que em primeira aproximação interagem apenas com o campo magnético.
a) No equilı́brio térmico, qual é a fracção de núcleos de hidrogénio com projecção de spin sz = +1/2 na
direcção do campo B?
b) Quere-se observar absorção ressonante da radiação de uma campo oscilante H0 . Que direcção dever
ter H0 ?
c) Qual é a frequência de absorção ressonante?
d) Qual é a vantagem na experiência de um valor grande para B0 ? (pense nas imagens produzidas por
RNM).
15.
Protões (momento magnético µ) estão num campo magnético da forma Bx = B0 senωt e By = B0 senωt,
Bz = constante>> B0 . Em t = 0 todos os protões estão polarizados segundo a direcção do eixo dos zz.
a) Para que valor de ω existe absorção ressonante?
b) Qual é a probabilidade de um protão ter projecção de spin sz = −1/2, no instante t > 0?
16.
Uma partı́cula de massa M , carga e e spin zero, move-se no potencial V = k(x2 + y 2 + z 2 ).
a) Determine a energias dos 3 primeiros estados, E0 , E1 e E2 .
b) Se a partı́cula for perturbada por um pequeno campo magnético H 0 constante, de fraca intensidade e
com a direcção do eixo dos zz, qual é a perturbação na energia E2 ?
c) Se se aplicar um pequeno campo Axcos(ωt) diga entre que estados podem existir transições.
17.
Para a situação da alı́nea c) do exercı́cio 16, suponha que a partı́cula se encontra no estado fundamental no
instante t0 = 0 em que a perturbação começa a actuar.
a) Determine a probabilidade de se encontrar a partı́cula no estado E1 , num instante t > t0
b) Que valorpode ter a amplitude A, para que o resultado a que chegou tenha sentido?
18.
a) Escreva a equação que define o número de onda q do teorema de Bloch para o modelo de Konnig Penney
para electrões numa rede de iões descritos por uma sucessão periódica, de passo a, de potenciais δ,
designando por k o momento dos electrões.
b) Mostre que para momentos k tais que k > nπ/a a equação é impossı́vel.
c) Mostre que a energia para a qual o primeiro ”hiato” ou ”gap” de energia se inicia é E =
h̄2 π 2
.
2me a2