Matemática Básica
 OBSERVAÇÃO
Aula - Múltiplos e Divisores
parte IV.
Decomposição Simultânea ou Conjunta
Dividimos todos os números envolvidos pelo mesmo
número, de preferência o maior divisor possível, e assim
sucessivamente com os quocientes obtidos. Quando não
podermos mais dividir os últimos quocientes obtidos por
um mesmo número o m.d.c será o produto dos divisores
encontrados. A saber:
Máximo divisor comum (M.D.C)
O máximo divisor comum entre dois números
naturais a e b não conjuntamente nulos ( a ≠ 0 ou b ≠ 0 ) é
obtido a partir da interseção dos divisores dos números
sendo o maior entre eles.
Ex.: Obtenha o máximo divisor comum (m.d.c.) entre os
números 24 e 36.
MODO 1
m.d.c. (40,60,80,120)=10x2=20.
Propriedades do m.d.c.
Dados dois ou mais números, se um deles
é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos
números dados. Ex.: Dentre os números 5, 20 e 35, o
número 5 é divisor dos outros dois. Nesse caso, 5 é o
m.d.c. (5, 20, 35) Verificação:
D(36) = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
ᴖ
m.d.c. = máximo{ D(36) D(24) }
m.d.c. = máximo{1, 2, 3, 4, 6, 12} → m.d.c.= 12
Logo o m.d.c. (5, 20, 35) realmente é 5.
Decomposição Isolada
É possível a determinação do máximo divisor
comum de dois números naturais a partir da decomposição
em fatores primos.
No exemplo anterior:
24 = 23 . 31
Palavras chave: elementos diferentes divididos em
partes iguais e no maior tamanho possível, sem haver
sobra ou menor número de pacotes, grupos, equipes,
pedaços, etc.
36 = 22 . 32
Números Primos entre si
Quando o m.d.c entre dois números for igual a
1, então esses números são chamados de primos entre si.
Ex.: 3 e 11, 8 e 15.
Importante:
O m.d.c. é obtido multiplicando-se os fatores
primos comuns com os menores expoentes.
m.d.c.{24, 36} = 22 . 31 = 12
Algoritmo de Euclides
O M.D.C. pode ser calculado através do método
das divisões sucessivas (Algoritmo de Euclides): Divide-se o
maior número pelo menor, este pelo primeiro resto obtido, o
primeiro resto pelo segundo obtido e assim sucessivamente
até se encontrar um resto nulo. O último resto é o M.D.C.
procurado.
Ex.: Calcule o m.d.c (60, 36).
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 Para que dois números sejam primos entre si, não é
obrigado que os dois sejam primos.
Ex.: 4 e 15 não são primos, mas apenas 1 é divisor
comum, por isso são primos entre si.
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