Máximo Divisor Comum de dois números
Vamos calcular os divisores de 12 e 20.
D12 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 }
D20 = { 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 }
Observando os dois conjuntos, reparamos que o 1 o 2 e o 4 são divisores de 12 e também
de 20: dizemos que são divisores comuns a 12 e a 20
Desses dois números, o maior é o 4 e por isso dizemos que 4 é o máximo divisor comum
a 12 e 20.
O máximo divisor comum a 12 e 20 representa-se m.d.c. (12 , 20) e por isso escrevemos:
m.d.c (12 , 20) = 4
Vamos agora ver duas situações que nos mostram como usar o máximo divisor comum para
resolver problemas.
Exemplo 1
Para a sua festa de anos o Luís quer fazer sacos todos iguais, com bombons e rebuçados.
Como tem 30 bombons e 25 rebuçados, quantos sacos iguais pode fazer e quantos
rebuçados e bombons levará cada um?
Para descobrirmos o maior número de sacos que pode fazer, vamos calcular os divisores de
25 e 30 e procurar o maior divisor comum aos dois números:
D25 = { 1 , 5 , 25 }
D30 = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 }
Observamos que o 5 é o maior divisor comum a 25 e 30: dizemos então que o 5 é o
máximo divisor comum a 25 e a 30 e escrevemos:
m.d.c. (25 , 30) = 5
Quer dizer assim que pode fazer 5 sacos.
Para saber quantos rebuçados leva cada saco faz 25 : 5 = 5. Cada saco leva 5 rebuçados.
Para saber quantos bombons leva cada saco faz 30 : 5 = 6. Cada saco leva 6 bombons.
Assim todos os sacos têm igual quantidade de rebuçados e bombons: 5 rebuçados e 6
bombons.
Exemplo 2
A turma da Clara tem 12 raparigas e 8 rapazes.
O professor quer formar grupos que sejam todos iguais em número de rapazes e raparigas.
Quantos grupos pode formar e quantos rapazes e raparigas terá cada um?
Para descobrirmos o maior número de grupos que se podem fazer, vamos calcular os
divisores de 8 e 12 e procurar o maior divisor comum aos dois números:
D8 = { 1 , 2 , 4 , 8 }
D12 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 }
Observamos que o 4 é o maior divisor comum a 8 e 12: dizemos então que o 4 é o máximo
divisor comum a 4 e a 12 e escrevemos:
m.d.c. (8, 12) = 4
Quer dizer assim que pode formar 4 grupos.
Para saber quantas raparigas tem cada grupo faz 12 : 4 = 3. Cada grupo tem 3 raparigas.
Para saber quantos rapazes tem cada grupo faz 8 : 4 = 2. Cada grupo tem 2 rapazes.
Assim todos os grupos têm igual quantidade de rapazes e raparigas: 3 raparigas e 2
rapazes em cada grupo.