CÁLCULOS FINANCEIROS &
MATEMÁTICA FINANCEIRA
3ª aula
MATA13 12/03/2014
TAXA DE JUROS EFETIVA E NOMINAL
Taxa de juros efetiva é aquela na qual a unidade de
tempo de referência coincide com a unidade de
tempo de ocorrência da capitalização (dos juros).
Exemplo: 12% ao ano é apresentado como 12%a.a.,
em vez de 12%a.a. capitalizados anualmente.
Em contrapartida, taxa de juros nominal é aquela
para a qual a unidade de tempo de referência é
diferente da unidade de tempo relativa à ocorrência
da capitalização. Assim sendo, a taxa de 12% ao ano
capitalizados mensalmente é apresentada como
12%a.a. nominais mensais.
+ TAXA DE JUROS EFETIVA E NOMINAL
Taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos
juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.
Exemplos:
12% ao mês com capitalização mensal.
45% ao semestre com capitalização semestral.
130% ao ano com capitalização anual.
Taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação
dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está
referida.
Exemplos:
120% ao ano com capitalização mensal.
45% ao semestre com capitalização mensal.
30% ao ano com capitalização trimestral.
E temos ainda a Taxa Real que é a taxa efetiva corrigida pela taxa
inflacionária do período da operação.
+ TAXA DE JUROS EFETIVA E NOMINAL
Transformando as taxas nominais em efetivas:
Quando da utilização de juros compostos, caso a taxa de juros
apresentada seja nominal, é necessário transformá-la em efetiva
para o período antes de sua utilização.
Exemplo: Um banco esta cobrando de taxa de juros nominal de
12% a.a. Calcular a taxa efetiva anual, sabendo-se que o período
de capitalização dos juros é: 1) mensal; 2) trimestral 3) c)
semestral.
1) Mensal ik= 0,12/12 = 0,01, logo in= ((1+0,01)^12)-1 = 12,68%
2) Trimestral ik=0,12/4=0,03, logo in=((1+0,03)^4)-1 = 12,55%
3) Semestral ik= 0,12/2=0,06, logo in= ((1+0,06)^2)-1 = 12,36%
Podemos observar que a taxa de juros efetiva é sempre maior
do que a correspondente de juros nominal, essa diferença
aumenta conforme aumentam o número de períodos.
+ Exemplos: Poupança
6,17
+ TAXA DE JUROS EFETIVA E NOMINAL
Transformando as taxas nominais em efetivas:
Exercícios :
- Um banco esta cobrando de taxa de juros nominal de 19% a.a. Calcular a
taxa efetiva anual, sabendo-se que o período de capitalização dos juros é:
1) mensal; 2) trimestral 3) c) semestral.
1) Mensal ik=
20,74%
2) Trimestral ik=
20,40%
3) Semestral ik=
19,90%
- Nominal de 22%aa, calcular efetiva aa, capitalização trimestral?
23,88%
- Nominal de 16%aa, calcular efetiva aa, capitalização mensal?
17,23%
- Nominal de 27%aa, calcular efetiva aa, capitalização mensal?
30,60%
- Nominal de 32%aa, calcular efetiva aa, capitalização semestral?
34,56%
- Nominal de 21,78%aa, calcular efetiva aa, capitalização mensal?
24,09%
+ TAXA DE JUROS EFETIVA E NOMINAL
Transformando as taxas nominais em efetivas:
Exercícios 2:
- Um banco esta cobrando de taxa de juros nominal de 17% a.a. Calcular a
taxa efetiva anual, sabendo-se que o período de capitalização dos juros é:
1) mensal; 2) trimestral 3) c) semestral.
1) Mensal ik=
2) Trimestral ik=
3) Semestral ik=
- Nominal de 84%aa, calcular efetiva aa, capitalização mensal?
- Nominal de 132%aa, calcular efetiva aa, capitalização mensal?
- Nominal de 12%aa, calcular efetiva aa, capitalização mensal?
- Nominal de 39%aa, calcular efetiva aa, capitalização semestral?
- Nominal de 27,78%aa, calcular efetiva aa, capitalização trimestral?
- Nominal de 23%aa, calcular efetiva aa, capitalização bimestral?
+ TAXA DE JUROS EFETIVA E NOMINAL
Transformando as taxas efetivas em nominais:
De fato, as taxas nominais não podem ser utilizadas diretamente
nas equações desenvolvidas, porém é importante fazermos uma
comparação entre as taxas apresentadas pelo mercado financeiro e
saber qual taxa nominal equivale a que taxa efetiva.
Exemplo: Determine que taxa nominal anual é equivalente à taxa
efetiva de 29%a.a., sendo ela capitalizada mensalmente?
Resp.: 12(((1+0,29)^1/12)-1) = 0,2574 = 25,74%a.a.
Testando o inverso: 0,2574/12=0,02145, =
=((1+0,02145)^12)-1=0,29 =29% nominal capitalizada mensalmente
+ Exemplos:
A taxa efetiva de 19%aa equivale a que tx nominal aa?
A taxa efetiva de 27%aa equivale a que tx nominal aa?
17,52
24,14
A taxa efetiva de 15,47%aa equivale a que taxa nominal aa?
14,47
TAXA DE JUROS EQUIVALENTES
Os juros são equivalentes quando as taxas embora
expressas para períodos de tempo diferentes se
equivalem.
Exemplo: No regime de capitalização composta
podemos dizer que 12% a.a. é equivalente à taxa de
0,9489%a.m..
Podemos dizer ainda que: Duas taxas são
equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital durante
o mesmo período de tempo, podendo ser através de
diferentes sistemas de capitalização (simples ou
composto), produzem o mesmo montante final.
+TAXA DE JUROS EQUIVALENTES
Dica importante para taxas equivalentes:
Vejamos a expressão: in=((1+i)^(q/t))-1
Onde: q é o tempo em que quero a taxa!
e t é o tempo que tenho a taxa!
Exemplos:
-Uma taxa de 22,28%a.a quanto equivale ao mês?
1,73%
-Qual a taxa anual equivalente à taxa de 1,5%a.m.?
-Qual a taxa de 19%a.a. para 3 meses?
19,56%aa
4,44%at
-Uma taxa de 29,28%a.a quanto equivale para 4 meses?
-Uma taxa de 12,28%a.s. quanto equivale ao ano?
8,94%
26,07%
-Uma taxa de 8,12% ao quadrimestre quanto equivale ao trimestre?
6,03%
MÉDIA PONDERADA
Utilizando as teclas Σ+ e Σ-
HP-12C
ALGÉBRICA (Prazo m)
ALGÉBRICA (TX m)
1000
30
1,2%
1000
30.000
30000
36.000
500
45
1,7%
500
22.500
22500
38.250
300
67
0,9%
300
20.100
20100
18.090
1800
40,33
1,2719%
1800
72.600
72600
92.340
40,33
1,2719
FÓRMULA PARA PONDERAÇÃO COMPOSTA:
Onde: V= valor, P= prazo, i=taxa
Para cálculo do prazo médio =
Para cálculo da taxa média =
Σ (V.P)/ Σ (V)
Σ (V.P.i)/ Σ (V.P)
HP-12C (Prazo m)
1.000
30
500
45
300
ENTER
HP-12C (Tx m)
1.000
ENTER
SOMATÓRIO +
30
X
ENTER
1,2
SOMATÓRIO +
SOMATÓRIO +
500
ENTER
ENTER
45
X
SOMATÓRIO +
1,7
SOMATÓRIO +
RCL 6
= 72.600
300
ENTER
RCL 4
= 1.800
67
X
DIVIDE
= 40,33
0,9
SOMATÓRIO +
67
RCL 6
= 92.340
RCL 4
= 72.600
DIVIDE
= 1,2719
Outro caminho para média ponderada:
Método 1
HP-12C (Prazo m)
HP-12C (Prazo m)
1.000
1.000 ENTER
ENTER
3030 SOMATÓRIO
++
SOMATÓRIO
500
500 ENTER
ENTER
4545 SOMATÓRIO
++
SOMATÓRIO
300
300 ENTER
ENTER
6767 SOMATÓRIO
++
SOMATÓRIO
RCL
6 6 = 72.600
RCL
= 72.600
RCL
4 4 = 1.800
RCL
= 1.800
DIVIDE
DIVIDE = 40,33
= 40,33
Método 2
HP-12C (Prazo m)
30
1.000
45
500
67
ENTER
SOMATÓRIO +
ENTER
SOMATÓRIO +
ENTER
300
SOMATÓRIO +
g
Xw
= 40,33
MÉDIA PONDERADA
HP-12C
ALGÉBRICA (Prazo m)
ALGÉBRICA (TX m)
1000
30
1,2%
1000
30.000
30000
36.000
500
45
1,7%
500
22.500
22500
38.250
300
67
0,9%
300
20.100
20100
18.090
1800
40,33
1,2719%
1800
72.600
72600
92.340
40,33
1,2719
Ponderação composta com itens negativos!
ou seja, precisamos retirar de um somatório um determinado item.
Retirar do total o segundo registro.(500x45x1,7)
Ponderar novamente, agora sem o segundo registro.
DESCONTOS
As operações de desconto bancário são uma das formas mais
tradicionais de financiamento do capital de giro das empresas,
incorporam, além da taxa de desconto paga a vista, certas
características de tributação (IOF) e de despesas bancárias
que impõe um maior rigor na determinação de seus
resultados
Notações mais comuns na área de descontos:
D = Desconto realizado sobre o título
FV = Valor de um título (no futuro)
VDesc = Valor do título com desconto
i = Taxa de desconto
n = Número de períodos para o desconto
+ DESCONTOS
Basicamente: Desconto é a diferença entre o Valor
Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste
mesmo título.D=N-A
As operações de desconto são muito utilizadas pelo
mercado e normalmente chamadas de “desconto de
títulos de crédito”. Normalmente têm como garantias
as duplicatas, promissórias e os cheques pré-datados.
Vamos exemplificar os dois tipos de desconto mais
utilizados pelo mercado, são eles: desconto simples
por fora e o desconto composto por dentro.
O desconto simples é mais aplicado a prazos curtos e
o desconto composto mais aplicado a prazos longos.
+ DESCONTOS
Desconto Simples - por fora: O cálculo deste desconto funciona
análogo ao cálculo dos juros simples.
O cálculo do desconto simples é feito sobre o Valor Futuro do título.
Podemos então usar a seguintes expressão para calcular o
desconto:
Desc = FV x i x n
Onde: FV é o valor futuro de um título, i é a taxa de desconto e n
o prazo de vencimento.
Exemplo: Uma Duplicata de valor R$23.000,00, prazo de
vencimento de 90 dias é descontada a uma taxa de 3%a.m.,
calcule o valor do desconto e o valor descontado do título.
Desc = R$23.000,00 x 0,03 x 3 = R$2.070,00, logo o valor
descontado (VDesc) é igual a:23.000,00 – 2070,00 = 20.930,00.
+ DESCONTOS
Considerando os resultados obtidos no exemplo anterior, uma
pergunta é importante: Qual é a taxa de juros da operação? Seria
3%? Não, nos juros simples a taxa que está sendo cobrada é
expressa, como:
i = ((FV/PV)-1)/n = logo: ((23.000/20.930)-1)/3 = 0,0330= 3,30%
Por outro lado, a taxa efetiva da operação aplicando juros compostos,
aplicando-se a expressão:
i = ((FV/PV)^(1/n))-1 = ((23.000/20.930)^(1/3))-1=0,0319=3,19%
Na HP12-C temos: 23000 FV, 20930 PV, 3 n, i = 3,19%
+ Exemplos:
- Uma Duplicata de valor R$37.500,00, prazo de vencimento de 30
dias é descontada a uma taxa de 2,7%a.m., calcule o valor do
desconto e o valor descontado do título.
1.012,50 e 36.487,50
- Uma Duplicata de valor R$27.000,00, prazo de vencimento de 60
dias é descontada a uma taxa de 3,5%a.m., calcule o valor do
desconto e o valor descontado do título.
1.620,00 e 25.380,00
+ DESCONTOS
+ Exemplos:
- Uma Duplicata de valor R$47.500,00, prazo de vencimento de 60
dias é descontada a uma taxa de 2,8%a.m., calcule o valor do
desconto e o valor descontado do título.
- Uma Duplicata de valor R$37.000,00, prazo de vencimento de 30
dias é descontada a uma taxa de 3,5%a.m., calcule o valor do
desconto e o valor descontado do título.
- Uma Duplicata de valor R$47.500,00, prazo de vencimento de 59
dias é descontada a uma taxa de 2,8%a.m., calcule o valor do
desconto e o valor descontado do título.
- Uma Duplicata de valor R$37.000,00, prazo de vencimento de 39
dias é descontada a uma taxa de 3,5%a.m., calcule o valor do
desconto e o valor descontado do título.
- Uma Duplicata de valor R$56.000,00, prazo de vencimento de 43
dias é descontada a uma taxa de 3,1%a.m., calcule o valor do
desconto e o valor descontado do título.
+ DESCONTOS
Desconto Composto - por dentro - Este tipo de desconto é muito
utilizado para prazos mais longos e é o mais utilizado no brasil.
O cálculo do desconto composto também é feito sobre o Valor
Futuro do título.
Podemos então usar a seguintes expressão para calcular o
desconto:
Desc = (FV x (((1+i)^n)-1))/((1+i)^n)
Onde: FV é o valor futuro de um título, i é a taxa de desconto e n o
prazo de vencimento.
Exemplo: Qual é o desconto composto de um título cujo valor
nominal é R$10.000,00, se o prazo de vencimento é de 5 meses e
a taxa de desconto é de 3,5% a.m.?
Desc =(10.000x(((1+0,035)^5)-1))/((1+0,035)^5)=
VDesc= (10.000 – ) =
1.580,27
1580,27
8.419,73
+ DESCONTOS
Ainda no Exemplo anterior: Qual é o desconto composto de um
título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o prazo de vencimento é
de 5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% a.m.?
Para obtermos direto o valor líquido do título temos:
VDesc= VF/((1+i)^n), logo: VDesc=10.000/((1,035)^5),
logo: VDesc=10.000/(1,1877) = 8.419,73
+ Exemplos:
Qual é o desconto composto de um título cujo valor nominal é R$9.116,00, se
o prazo de vencimento é de 7 meses e a taxa de desconto é de 5,11%am?
2684,74
Qual é o desconto de um título cujo valor nominal é R$18.069,00, se o prazo
de vencimento é de 6 meses e a taxa de desconto é de 2,79%am?
2.750,05
Qual é o desconto de um título cujo valor nominal é R$23.170,00, se o prazo
de vencimento é de 1 mês e a taxa de desconto é de 2,37%am?
549,13
exercícios
1-Qual é o desconto composto e o desconto de um título cujo valor
nominal é R$14.050,00, se o prazo de vencimento é de 6 meses e
a taxa de desconto é de 2,8% a.m.?
2-Qual é o desconto simples e o desconto de um título cujo valor
nominal é R$12.900,00, se o prazo de vencimento é de 60 dias e a
taxa de desconto é de 2,8% a.m.?
3-Qual é o desconto e o valor liquido de um título cujo valor
nominal é R$42.750,00, se o prazo de vencimento é de 120 dias e
a taxa de desconto é de 2,42% a.m.?
2.145,32 e 11.904,68
722,40 e 12.177,60
3.899,46 e 38.850,54
Obs.: Prestar atenção no prazo da operação, no tempo da taxa, lembrando ainda que :30d = a 1 mês, 60d = 2
meses e assim por diante!
MAIS IMPORTANTE DO QUE
SABER GANHAR DINHEIRO,
É SABER O QUE FAZER COM
ELE DEPOIS!
Prof. RENE SANCHES