CÁLCULOS FINANCEIROS
2ª aula
MATB08 & MATB08DP 28//02/2013
Profº. Rene Sanches
Método de avaliação
Um trabalho que deverá ser entregue no dia
21/03 - data da prova final.
Nota final = (T+P)/2
Lista de presença: Preferencialmente ao final
da aula.
e-mail: [email protected]
USANDO A HP12-C
FUNÇÕES BÁSICAS
USANDO A HP12-C
FUNÇÕES BÁSICAS 1
Ligar a HP12C = ON - Aparece o número zero com duas casas
decimais, podendo o mesmo ser apresentado nos sistemas
brasileiro ou americano. Caso aparece algum valor é porque eles
não foram apagados na última utilização da calculadora.
Desligar a HP12C = ON - A calculadora também se desliga sozinha
após 6 minutos de não utilização.
Escolher o sistema de numeração = ON . – Pressionar ao mesmo
tempo, soltando primeiro a tecla ON e depois a tecla . (ponto).
Entrada de números = 69 (69,00 ou 69.00) A apresentação,
depende da representação escolhida.
Corrigir o número digitado = CLX – Apaga o valor no visor.
Entrada de números em sequência = 77,02 guardado na memória
X ENTER guardado na memória Y 269,50 guardado na memória X.
Para verificar os números que estão nas memórias X ou Y = X><Y
Trocar o número de casas decimais = f 5 (para 5 casas decimais)
USANDO A HP12-C
FUNÇÕES BÁSICAS 2
Armazenar o valor numa memória fixa = STO 1 – Podemos utilizar o
teclado numérico de 1 a 9 para armazenar números. Para limpar todas
as memórias que estão sendo utilizadas f CLX. Se a calculadora for
desligada sem que sejam apagadas as memórias, os números
permanecerão “guardados”. Lembrando que a tecla CLX apaga
somente o numero que esta no visor.
Resgatando números que estão armazenados = RCL 1 ou onde ele
esteja armazenado no teclado numérico. Lembrando que, ao se
resgatar um número que esta na memória este aparece na memória X
e também continua na memória fixa, ou seja, resgatar um número da
memória não exclui este da mesma.
Obter a parte fracionária do número no visor = g FRAC (Permanecem
apenas os números fracionários)
Obter a parte inteira do número no visor = g INTG (Permanecem apenas
os números inteiros)
Eliminar demais casas decimais do número no visor = f RND (ex:
50/7), ver com todas as casas, fixar com duas casas decimais usar o f
RND, aumentar novamente o número de casas para checar.
USANDO A HP12-C
FUNÇÕES BÁSICAS 3
Obter um percentual de um número que esta no visor = 1712,36
ENTER 10 % , no visor aparecerá 171,24 (com duas casas decimais).
Obter a variação/diferença percentual entre dois números = Δ%
Percentual total de um número sobre outro = %T – ex: 120 ENTER
100 %T = 83,33% ou 100/120 = 0,8333.
Trocando o sinal do número na memória X = CHS
Recuperando o último valor armazenado em X, após o uso de teclas
+, -, x, etc. = g LSTx
Extrair a raiz quadrada do número na memória X = g
x
Extrair a raiz “n” do número na memória X = 1/x Yx - Radiciação
x - Exponênciação
Elevando um número a uma potência = Y
USANDO A HP12-C
FUNÇÕES BÁSICAS 4
Cálculo com datas:
a)Número de dias entre duas datas, exemplo de 11/11/2010 a
09/12/2010 digitamos 11.112010 ENTER 09.122010 g ΔDYS,
resultado: 28 dias.
b)Data após decorridos um determinado número de dias, exemplo 360
dias a contar de 09/11/2010 digitamos 09.112010 ENTER 360 g
DATE, resultado: dia 04 de novembro de 2011. Obs.: Os mesmos
passos valem para se obter datas passadas, neste caso basta entrar
com o número de dias no formato negativo (-360).
c)Para se saber o dia da semana de uma data específica, exemplo:
qual o dia da semana da data 22 de dezembro de 2012 ? digitamos
22.122012 ENTER 0 g DATE, resposta: 6 , que para calculadora
HP12C equivale ao sábado, pois o dia 1 equivale a segunda-feira.
VOCÊ SABE EM QUE DIA DA SEMANA VOCÊ NASCEU?
USANDO A HP12-C
FUNÇÕES BÁSICAS 5
n
i
= Número de parcelas de um fluxo;
= taxa (ex: 2% digita-se com 2 na tecla i);
PV = Valor Presente de um fluxo; (Present Value)
PMT = Parcelas ou pagamentos; (Payments)
FV = Valor futuro de um fluxo; (Future Value)
-Calcular o valor das parcelas dado: i =1,77, n =12, PV =R$100.000,00
-Calcular o valor futuro dado: i=1,77, n =12, PV=R$100.000,00
-Calcular o valor futuro: Aplicação de R$136,914,49 à taxa de 1,77%am
por 12 meses.
-Calcular: O valor presente ou valor de uma aplicação, onde eu recebi
após 12 meses o montante de R$177.000,00, sabendo-se que a taxa de
aplicação foi de 1,77%am.
-Calcular: Eu apliquei R$100.000 e após 12 meses recebi R$150.000,
qual a taxa mensal de remuneração desta aplicação?
USANDO A HP12-C
FUNÇÕES BÁSICAS 5a
n
i
= Número de parcelas de um fluxo;
= taxa (ex: 2% digita-se com 2 na tecla i);
PV = Valor Presente de um fluxo; (Present Value)
PMT = Parcelas ou pagamentos; (Payments)
FV = Valor futuro de um fluxo; (Future Value)
- Quantos meses são necessários para se obter R$1.000.000,00,
aplicando-se R$1.000,00 por mês, obtendo-se uma remuneração média
de 0,56%am?
- Quero comprar um carro e o vendedor da concessionária me disse
que a taxa (para mim que sou “Brother” disse ele!) é de 1,29%am. Vou
financiar R$40.000,00 em 36 meses, sem entrada, e ele me disse que a
prestação vai ficar em R$1.496,03. O vendedor esta me informando a
taxa correta? (Explicar as funções: g end e o g begin)
ENTENDENDO O CÁLCULO DE PRESTAÇÔES
Fórmula algébrica para cálculo de prestações (Tabela Price):
P=C.((i.(1+i)^n))/(((1+i)^n)-1))
Testando o último exemplo da página anterior:
P=40.000.((0,0129.((1+0,0129)^36))/(((1+0,0129)^36)-1))
P=40.000.((0,0129.((1,0129)^36))/(((1,0129)^36)-1))
P=40.000.((0,0129.(1,586341))/((1,586341)-1))
P=40.000.((0,020464)/(0,586341))
P=40.000.(0,034901)
P= ?
Acrescentando juro a um valor.
MONTANTE
Ao se acrescentar 1 (um) a um percentual estamos na
verdade agregando o principal (ou valor principal).
j
100
+1
Principal + i
Ex: ((20/100)+1)=1,2, neste caso ao se multiplicar
um valor por 1,2 estaremos acrescentando 20%
CONCEITOS IMPORTANTES
NOMENCLATURAS MAIS UTILIZADAS
C : Capital
J : juro (expresso em valor) e j = Taxa %
i : taxa de juro (forma percentual)
M : Montante
Dessa forma teremos: M = C + J e J = C . i
onde J indica o juro obtido no período a que se
refere a taxa. Dessa forma podemos perceber que:
M
i =
C
-1
Exemplos:
1) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado durante um mês, à taxa
de 11% a.m.
a) Obtenha o juro no período.
b) Obtenha o montante.
Temos: 11% = 11/100 = 0,11.
a) J = 1.000 . 0,11 = 110
b) M = 1.000 + 110 = 1.110
2) Um capital de R$700.000,00 é aplicado durante um ano, à taxa
de 30%a.a.
a) Obtenha o juro no período.
b) Obtenha o montante.
Temos: 30% = 30/100 = 0,30.
a) J = 700.000 . 0,3 = 210.000
b) M = 700.000 + 210.000 = 910.000
+ Exemplos:
3) Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado durante 3 meses,
produzindo um montante de R$14.640,00. Qual a taxa trimestral
de juros?
Temos:
M
i=
C
-1 =
i = 14.640/12.000 – 1 = 0,22 = 22%a.t.
4) Um capital de R$ 69.756,00 é aplicado durante um mês, à taxa
de 7,5% a.m.
a) Obtenha o juro no período.
b) Obtenha o montante.
+ Exemplos:
5) Emprestei R$2.000,00 a um amigo, porém vou cobrar dele o
mesmo que costumo obter em minhas aplicações, 1%am, ele
ficou de me pagar ao final de 6 meses. Se ele for me pagar,
quanto devo receber daqui a seis meses?
6) Pretendo comprar um carro que custa R$45.000,00, tenho
R$15.000,00 para dar de entrada. O banco, que vai me
financiar em 60 meses, esta querendo me cobrar uma taxa
mensal de 1,47%a.m.. Qual será o valor da parcelas?
7) Ai invés de fazer uma previdência privada, resolvi aplicar
mensalmente R$700,00 durante 10 anos. Devo obter uma
taxa média de aplicação de 0,60%am, quanto vou ter de
montante ao final deste período?
+ Exemplos:
8) Emprestei R$22.000,00 a um amigo para ele trocar de carro. O
banco queria cobrar dele a taxa de 1%am, como este dinheiro
esta aplicado e me rende 0,70%am, resolvi “ajuda-lo”, porém
vou cobrar 0,85%am em 24 parcelas, qual será o valor das
prestações?
9) Quero comprar uma TV LCD UltraSuperVisionMovie3D, valor
da TV R$2.999,77, porém o vendedor, que é meu Brother, me
disse que este preço ele me faz em 24 vezes SEM JUROS!,
mas se eu pagar a vista (como sou Brother!) ele me faz pelo
valor de R$2.700,00. Embora ele seja meu “Brother” resolvi
“sacar” a minha HP12C e mostrar a ele que a operação tinha
juros SIM, e qual é o juros dessa operação?
+ Exemplos:
10) Quando vence e quando é a liquidação de uma aplicação
feita por 187 dias que foi feita em 13 de agosto de 2012?
11) Qual a melhor opção de compra:
Valor do veículo zero km: R$30.000,00, sendo 40% de
entrada e o restante em 24 vezes a taxa ZERO!
Ou sem entrada divididos em 60 meses à taxa de 0,99%am
LEMBRANDO: CONCEITOS IMPORTANTES
O QUE É CAPITALIZAÇÃO – É um
processo onde, como o nome já diz: “se
capitaliza, se agrega, se soma, se
incorpora”.
Processo de incorporação dos juros ao
capital após um determinado período.
Pode ocorrer pelos regimes de juros
SIMPLES ou de juros COMPOSTOS,
porém com diferenças.
JUROS SIMPLES
Se incorporam ao principal, porém não
incidem sobre os juros de períodos anteriores.
Exemplo: R$100,00 por 3 meses a 2%am.
1º mês = R$100,00 x 0,02 = R$2,00
2º mês = R$100,00 x 0,02 = R$2,00
3º mês = R$100,00 x 0,02 = R$2,00
Ao final do terceiro mês temos um total de:
R$100,00 + R$6,00 = R$106,00.
JUROS COMPOSTOS
Se incorporam ao principal e incidem sobre os
juros de períodos anteriores.
Exemplo: R$100,00 por 3 meses a 2%am.
1º mês = R$100,00 x 0,02 = R$2,00
2º mês = R$102,00 x 0,02 = R$2,04
3º mês = R$104,04 x 0,02 = R$2,08
Ao final do terceiro mês temos um total de:
R$100,00 + R$6,12 = R$106,12.
TAXA DE JUROS EFETIVA E NOMINAL
Taxa de juros efetiva é aquela na qual a unidade de
tempo de referência coincide com a unidade de
tempo de ocorrência da capitalização (dos juros).
Exemplo: 12% ao ano é apresentado como 12%a.a.,
em vez de 12%a.a. capitalizados anualmente.
Em contrapartida, taxa de juros nominal é aquela
para a qual a unidade de tempo de referência é
diferente da unidade de tempo relativa à ocorrência
da capitalização. Assim sendo, a taxa de 12% ao ano
capitalizados mensalmente é apresentada como
12%a.a. nominais mensais.
+ TAXA DE JUROS EFETIVA E NOMINAL
Taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos
juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.
Exemplos:
12% ao mês com capitalização mensal.
45% ao semestre com capitalização semestral.
130% ao ano com capitalização anual.
Taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação
dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está
referida.
Exemplos:
120% ao ano com capitalização mensal.
45% ao semestre com capitalização mensal.
30% ao ano com capitalização trimestral.
E temos ainda a Taxa Real que é a taxa efetiva corrigida pela taxa
inflacionária do período da operação.
+ TAXA DE JUROS EFETIVA E NOMINAL
Transformando as taxas nominais em efetivas:
Quando da utilização de juros compostos, caso a taxa de juros
apresentada seja nominal, é necessário transformá-la em efetiva
para o período antes de sua utilização.
Exemplo: Um banco esta cobrando de taxa de juros nominal de
12% a.a. Calcular a taxa efetiva anual, sabendo-se que o período
de capitalização dos juros é: 1) mensal; 2) trimestral 3) c)
semestral.
1) Mensal ik= 0,12/12 = 0,01, logo in= ((1+0,01)^12)-1 = 12,68%
2) Trimestral ik=0,12/4=0,03, logo in=((1+0,03)^4)-1 = 12,55%
3) Semestral ik= 0,12/2=0,06, logo in= ((1+0,06)^2)-1 = 12,36%
Podemos observar que a taxa de juros efetiva é sempre maior
do que a correspondente de juros nominal, essa diferença
aumenta conforme aumentam o número de períodos.
+ Exemplos: Poupança
6,17
+ TAXA DE JUROS EFETIVA E NOMINAL
Transformando as taxas nominais em efetivas:
Exercícios:
- Um banco esta cobrando de taxa de juros nominal de 19% a.a. Calcular a
taxa efetiva anual, sabendo-se que o período de capitalização dos juros é:
1) mensal; 2) trimestral 3) c) semestral.
1) Mensal ik=
20,74%
2) Trimestral ik=
20,40%
3) Semestral ik=
19,90%
- Nominal de 22%aa, calcular efetiva aa, capitalização trimestral?
23,88%
- Nominal de 16%aa, calcular efetiva aa, capitalização mensal?
17,23%
- Nominal de 27%aa, calcular efetiva aa, capitalização mensal?
30,60%
- Nominal de 32%aa, calcular efetiva aa, capitalização semestral?
34,56%
- Nominal de 21,78%aa, calcular efetiva aa, capitalização mensal?
24,09%
+ TAXA DE JUROS EFETIVA E NOMINAL
Transformando as taxas efetivas em nominais:
De fato, as taxas nominais não podem ser utilizadas diretamente
nas equações desenvolvidas, porém é importante fazermos uma
comparação entre as taxas apresentadas pelo mercado financeiro e
saber qual taxa nominal equivale a que taxa efetiva.
Exemplo: Determine que taxa nominal anual é equivalente à taxa
efetiva de 29%a.a., sendo ela capitalizada mensalmente?
Resp.: 12(((1+0,29)^1/12)-1) = 0,2574 = 25,74%a.a.
Testando o inverso: 0,2574/12=0,02145, =
=((1+0,02145)^12)-1=0,29 =29% nominal capitalizada mensalmente
+ Exemplos:
A taxa efetiva de 19%aa equivale a que tx nominal aa?
A taxa efetiva de 27%aa equivale a que tx nominal aa?
17,52
24,14
A taxa efetiva de 15,47%aa equivale a que taxa nominal aa?
14,47
TAXA DE JUROS EQUIVALENTES
Os juros são equivalentes quando as taxas embora
expressas para períodos de tempo diferentes se
equivalem.
Exemplo: No regime de capitalização composta
podemos dizer que 12% a.a. é equivalente à taxa de
0,9489%a.m..
Podemos dizer ainda que: Duas taxas são
equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital durante
o mesmo período de tempo, podendo ser através de
diferentes sistemas de capitalização (simples ou
composto), produzem o mesmo montante final.
+TAXA DE JUROS EQUIVALENTES
Dica importante para taxas equivalentes:
Vejamos a expressão: in=((1+i)^(q/t))-1
Onde: q é o tempo em que quero a taxa!
e t é o tempo que tenho a taxa!
Exemplos:
-Uma taxa de 22,28%a.a quanto equivale ao mês?
1,73%
-Qual a taxa anual equivalente à taxa de 1,5%a.m.?
-Qual a taxa de 19%a.a. para 3 meses?
19,56%aa
4,44%at
-Uma taxa de 29,28%a.a quanto equivale para 4 meses?
-Uma taxa de 12,28%a.s. quanto equivale ao ano?
8,94%
26,07%
-Uma taxa de 8,12% ao quadrimestre quanto equivale ao trimestre?
6,03%
MÉDIA PONDERADA
Utilizando as teclas Σ+ e Σ-
HP-12C
ALGÉBRICA (Prazo m)
ALGÉBRICA (TX m)
1000
30
1,2%
1000
30.000
30000
36.000
500
45
1,7%
500
22.500
22500
38.250
300
67
0,9%
300
20.100
20100
18.090
1800
40,33
1,2719%
1800
72.600
72600
92.340
40,33
1,2719
FÓRMULA PARA PONDERAÇÃO COMPOSTA:
Onde: V= valor, P= prazo, i=taxa
Para cálculo do prazo médio =
Para cálculo da taxa média =
Σ (V.P)/ Σ (V)
Σ (V.P.i)/ Σ (V.P)
HP-12C (Prazo m)
1.000
30
500
45
300
ENTER
HP-12C (Tx m)
1.000
ENTER
SOMATÓRIO +
30
X
ENTER
1,2
SOMATÓRIO +
SOMATÓRIO +
500
ENTER
ENTER
45
X
SOMATÓRIO +
1,7
SOMATÓRIO +
RCL 6
= 72.600
300
ENTER
RCL 4
= 1.800
67
X
DIVIDE
= 40,33
0,9
SOMATÓRIO +
67
RCL 6
= 92.340
RCL 4
= 72.600
DIVIDE
= 1,2719
Outro caminho para média ponderada:
Método 1
HP-12C (Prazo m)
HP-12C (Prazo m)
1.000
1.000 ENTER
ENTER
3030 SOMATÓRIO
++
SOMATÓRIO
500
500 ENTER
ENTER
4545 SOMATÓRIO
++
SOMATÓRIO
300
300 ENTER
ENTER
6767 SOMATÓRIO
++
SOMATÓRIO
RCL
6 6 = 72.600
RCL
= 72.600
RCL
4 4 = 1.800
RCL
= 1.800
DIVIDE
DIVIDE = 40,33
= 40,33
Método 2
HP-12C (Prazo m)
30
1.000
45
500
67
ENTER
SOMATÓRIO +
ENTER
SOMATÓRIO +
ENTER
300
SOMATÓRIO +
g
Xw
= 40,33
MÉDIA PONDERADA
HP-12C
ALGÉBRICA (Prazo m)
ALGÉBRICA (TX m)
1000
30
1,2%
1000
30.000
30000
36.000
500
45
1,7%
500
22.500
22500
38.250
300
67
0,9%
300
20.100
20100
18.090
1800
40,33
1,2719%
1800
72.600
72600
92.340
40,33
1,2719
Ponderação composta com itens negativos!
ou seja, precisamos retirar de um somatório um determinado item.
Retirar do total o segundo registro.(500x45x1,7)
Ponderar novamente, agora sem o segundo registro.
CÁLCULOS FINANCEIROS
3ª aula
MATB08 & MATB08DP 07//03/2013
DESCONTOS
As operações de desconto bancário são uma das formas mais
tradicionais de financiamento do capital de giro das empresas,
incorporam, além da taxa de desconto paga a vista, certas
características de tributação (IOF) e de despesas bancárias
que impõe um maior rigor na determinação de seus
resultados
Notações mais comuns na área de descontos:
D = Desconto realizado sobre o título
FV = Valor de um título (no futuro)
VDesc = Valor do título com desconto
i = Taxa de desconto
n = Número de períodos para o desconto
+ DESCONTOS
Basicamente: Desconto é a diferença entre o Valor
Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste
mesmo título.D=N-A
As operações de desconto são muito utilizadas pelo
mercado e normalmente chamadas de “desconto de
títulos de crédito”. Normalmente têm como garantias
as duplicatas, promissórias e os cheques pré-datados.
Vamos exemplificar os dois tipos de desconto mais
utilizados pelo mercado, são eles: desconto simples
por fora e o desconto composto por dentro.
O desconto simples é mais aplicado a prazos curtos e
o desconto composto mais aplicado a prazos longos.
+ DESCONTOS
Desconto Simples - por fora: O cálculo deste desconto funciona
análogo ao cálculo dos juros simples.
O cálculo do desconto simples é feito sobre o Valor Futuro do título.
Podemos então usar a seguintes expressão para calcular o
desconto:
Desc = FV x i x n
Onde: FV é o valor futuro de um título, i é a taxa de desconto e n
o prazo de vencimento.
Exemplo: Uma Duplicata de valor R$23.000,00, prazo de
vencimento de 90 dias é descontada a uma taxa de 3%a.m.,
calcule o valor do desconto e o valor descontado do título.
Desc = R$23.000,00 x 0,03 x 3 = R$2.070,00, logo o valor
descontado (VDesc) é igual a:23.000,00 – 2070,00 = 20.930,00.
+ DESCONTOS
Considerando os resultados obtidos no exemplo anterior, uma
pergunta é importante: Qual é a taxa de juros da operação? Seria
3%? Não, nos juros simples a taxa que está sendo cobrada é
expressa, como:
i = ((FV/PV)-1)/n = logo: ((23.000/20.930)-1)/3 = 0,0330= 3,30%
Por outro lado, a taxa efetiva da operação aplicando juros compostos,
aplicando-se a expressão:
i = ((FV/PV)^(1/n))-1 = ((23.000/20.930)^(1/3))-1=0,0319=3,19%
Na HP12-C temos: 23000 FV, 20930 PV, 3 n, i = 3,19%
+ Exemplos:
- Uma Duplicata de valor R$37.500,00, prazo de vencimento de 30
dias é descontada a uma taxa de 2,7%a.m., calcule o valor do
desconto e o valor descontado do título.
1.012,50 e 36.487,50
- Uma Duplicata de valor R$27.000,00, prazo de vencimento de 60
dias é descontada a uma taxa de 3,5%a.m., calcule o valor do
desconto e o valor descontado do título.
1.620,00 e 25.380,00
+ DESCONTOS
Desconto Composto - por dentro - Este tipo de desconto é muito
utilizado para prazos mais longos e é o mais utilizado no brasil.
O cálculo do desconto composto também é feito sobre o Valor
Futuro do título.
Podemos então usar a seguintes expressão para calcular o
desconto:
Desc = (FV x (((1+i)^n)-1))/((1+i)^n)
Onde: FV é o valor futuro de um título, i é a taxa de desconto e n o
prazo de vencimento.
Exemplo: Qual é o desconto composto de um título cujo valor
nominal é R$10.000,00, se o prazo de vencimento é de 5 meses e
a taxa de desconto é de 3,5% a.m.?
Desc =(10.000x(((1+0,035)^5)-1))/((1+0,035)^5)=
VDesc= (10.000 – ) =
1.580,27
1580,27
8.419,73
+ DESCONTOS
Ainda no Exemplo anterior: Qual é o desconto composto de um
título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o prazo de vencimento é
de 5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% a.m.?
Para obtermos direto o valor líquido do título temos:
VDesc= VF/((1+i)^n), logo: VDesc=10.000/((1,035)^5),
logo: VDesc=10.000/(1,1877) = 8.419,73
+ Exemplos:
Qual é o desconto composto de um título cujo valor nominal é R$9.116,00, se
o prazo de vencimento é de 7 meses e a taxa de desconto é de 5,11%am?
2684,74
Qual é o desconto de um título cujo valor nominal é R$18.069,00, se o prazo
de vencimento é de 6 meses e a taxa de desconto é de 2,79%am?
2.750,05
Qual é o desconto de um título cujo valor nominal é R$23.170,00, se o prazo
de vencimento é de 1 mês e a taxa de desconto é de 2,37%am?
549,13
+ DESCONTOS
Desconto Simples (por dentro): Pouco utilizado, expressão para
cálculo: VDesc = VF/(1+(i x n))
Exemplo: Uma Duplicata de valor R$23.000,00, prazo de
vencimento de 90 dias é descontada a uma taxa de 3%a.m.,
calcule o valor do desconto e o valor descontado do título.
VDesc= 23.000,00/(1+(0,03 x 3)) = 21.100,92
MAIS IMPORTANTE DO QUE
SABER GANHAR DINHEIRO,
É SABER O QUE FAZER COM
ELE DEPOIS!
Prof. RENE SANCHES