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Questão 15
Em um sistema cartesiano ortogonal, em que a unidade de medida nos eixos é o centímetro, considere:
•reta r, tracejada pelo ponto (2, 3) e paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares;
•a reta s, tracejada pelo ponto (2, 5) e perpendicular a r;
—
•o segmento OA em que O é a origem do sistema e A é a intersecção de r e s.
—
Um ponto M é tomado sobre o segmento OA de modo que OM e MA correspondam às medidas da hipotenusa
e de um dos catetos de um triângulo retângulo Δ. Se o outro cateto de Δ mede 3 cm, a área de sua superfície,
em centímetros quadrados, é
A)1,8
B) 2,4
C) 3,5
D)4,2
E) 5,1
Resolução
Do enunciado, podemos concluir que o coeficiente angular mr , da reta r, é dado por:
mr = tg45° = 1. Assim, uma possível equação de r é y – 3 = 1 ⋅ (x – 2) e, portanto, y = x + 1. (I)
Como s é perpendicular a r, temos ms = –1.
Assim, uma possível equação de s é dada por:
y – 5 = – 1 ⋅ (x – 2) e, portanto y = – x + 7. (II)
As coordenas do ponto A são dadas pela solução do sistema formado pelas equações (I) e (II). Logo:
y=x+1
y=–x+7
∴ x=3 e y=4
—
Então, A(3, 4) e o segmento OA é tal que OA = (4 – 0)2 + (3 – 0)2 = 5 cm.
Fazendo AM = x, temos que OM = 5 – x.
Logo, temos, no triângulo retângulo Δ, a hipotenusa medindo, em cm, 5 – x, e os catetos, x cm e 3 cm. Pelo
teorema de Pitágoras, tem-se que:
(5 – x)2 = x2 + 32 ∴ x = 1,6
Portanto a área S do triângulo retângulo de catetos 3 cm e 1,6 cm, em cm2, é dada por
1,6 ⋅ 3
S=
= 2,4
2
Resposta: B