Funções de Transferência
Em teoria de controle, funções chamada funções de transferência são
comumente usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes
ou sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais.
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A função de transferência de um sistema de equação diferenciais lineares é
definida como a relação da transformada de Laplace da saída para a transformada de
Laplace da entrada.
Consideramos o sistema definido pela seguinte equação diferencial:
dy
d mx
d m−1 x
dx
dny
d n−1 y
a n n + a n−1 n−1 +...+ a1
+ a 0 y = bm m + bm−1 m−1 +...+b1
+ b0 x
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Onde y é saída do sistema e x é a entrada e n ≥ m.
A função de transferência do sistema é obtida tomando-se a transformada de
Laplace de ambos os membros da equação.
função de transferência G( s) =
L[ saída]
condições iniciais nulas.
L[entrada ]
m
m−1
Y ( s) bm s + bm−1 s +...+b1 s + b0
G ( s) =
=
=
X ( s) a n s n + a n−1 s n−1 +...+a1 s + a 0
m
∑b s
i=0
n
i
i
∑a s
i=0
i
i
Usando o conceito de função de transferência, é possível representar a
dinâmica do sistema pelas equações algébricas em "s".
A aplicabilidade do conceito da função de transferência é limitada aos sistemas
de equações diferenciais lineares invariantes no tempo.
Funções de Transferência FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIAS DE SISTEMAS DINÂMICOS
Suponha a seguinte equação diferencial de 1a ordem :
VρC
dT
= wC (Ti − T ) + Q
dt
Se o processo está inicialmente no estado estacionário, portanto:
T ( 0) = T
Ti ( 0) = Ti
Q( 0) = Qi
A saída T está relacionada às entradas Ti e Q pelo balanço de energia no
estado-estacionário.
0 = wC(Ti − T ) + Q
Para eliminar a dependência do modelo das condições estacionárias, subtrai-se
a relação no estado-estacionário da equação diferencial do modelo.
VρC
dT
= wC[ (Ti − Ti ) − (T − T )] + ( Q − Q )
dt
Vρ d ( T − T )
1
(Q − Q )
= [ (Ti − Ti ) − (T − T )] +
w
dt
wC
fazendo Ti′ = Ti − Ti , T ′ = T − T e Q′ = Q − Q temos:
Vρ dT ′
1
Q′
= [ Ti ′− T ′] +
w dt
wC
Substituindo : τ =
τ
1
Vρ
eK=
temos:
w
wC
dT ′
= [ Ti ′− T ′] + KQ′
dt
Aplicando Laplace:
τ [ sT ' ( s) + T ' ( 0) ] = T ' i ( s) − T ' ( s) + KQ' ( s)
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Funções de Transferência Como T'(0) = 0 então:
τ sT ' ( s) = T ' i ( s) − T ' ( s) + KQ' ( s)
(τs + 1) T ' ( s) = T ' i ( s) + KQ' ( s)
T ' ( s) =
1
K
Ti ' ( s) +
Q ' ( s)
τ s +1
τ s +1
Portanto:
T ' ( s) = G1 ( s) T ' i ( s) + G 2 ( s) Q' ( s)
Onde:
G1 ( s) =
1
τ s+1
G2 ( s) =
K
τ s+1
COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
1- É um modelo matemático expresso através de uma equação
diferencial que relaciona a saída com a entrada.
2- Independe da magnitude e da natureza da entrada .
3- Inclui as unidades das entradas e saídas.
4- Não fornece informações sobre a estrutura física do sistema.
5- Pode ser estabelecida experimentalmente introduzindo-se
entradas conhecidas e analisando as saídas.
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Funções de Transferência PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA
GANHO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A variação da saída no estado-estacionário é calculado diretamente, fazendo S
= O. Em G(s) dá o ganho no estado-estacionário do processo, se ele existe.
O ganho no estado-estacionário é a razão entre a variação da saída com a
variação da entrada.
K=
y2 − y1 b0
=
x2 − x1 a0
Onde : 1 e 2 indicam diferentes estados-estacionários ( y e x ) .
ORDEM DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A ordem da função de transferência é a maior potência de "s" no denominador
do polinômio que é a ordem da equação diferencial equivalente. O sistema é
chamado de n-ésima ordem.
CONSTANTE DE TEMPO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Se ambos o numerador e denominador forem divididos por ao polinômio
característico (denominador) pode ser fatorado na forma de produto ∏i (τ i s + 1) . O
termo em "s" é chamado constante de tempo (τi) que dá uma informação da
velocidade e das características da resposta do sistema.
REALIZAÇÃO FÍSICA
Dado um sistema descrito por
bm s m + bm−1s m−1 +...+b1s + b0
G ( s) =
an−1s n + an−1s n−1 +...+a1s + a0
é fisicamente possível se n ≥ m .
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Funções de Transferência PÓLOS E ZEROS
Dada a função de transferência:
bm s m + bm−1s m−1 +...+b1s + b0
G ( s) =
an−1s n + an−1s n−1 +...+a1s + a0
Esta expressão pode ser fatorada em
⎛ b ⎞ ( s − z1 )( s − z2 ) ... ( s − zm )
G ( s) = ⎜ m ⎟
⎝ an ⎠ ( s − p1 )( s − p2 ) ... ( s − pn )
onde: zi são os zeros da função de transferência
pi são os pólos de função de transferência
Os pólos e zeros tem um papel importante na determinação do comportamento
dinâmico do sistema.
Podemos visualizar o tipo de comportamento dinâmico associado a cada tipo de
pólo:
• distintos e reais;
• pares complexos e conjugados (a ± b j);
• múltiplos
raízes
1 pólos reais e
negativos
2 pólos reais e
positivos
3 pólos
complexos
conjugados
com parte real
negativa
4 pólos
imaginários
puros
5 pólos
complexos
conjugados
com parte real
positiva
Sistemas de Controle
p1 = -a1
p 1 = a1
forma
y( t ) = C1e − a1t
Lugar
das
raízes
Compor
tamento
y( t ) = C1e a1t
p1 = - a y( t) = e−at ( C1 cosbt + C2 senbt)
+ bi
p2 = - a bi
p1 = bi y( t) = C1 cosbt +C2 senbt
p2 = - bi
p1 = a + y( t) = eat ( C1 cosbt +C2 senbt)
bi
p2 = a bi
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Funções de Transferência PROCESSO
Os processos reais consistem na combinação de sistemas básicos elementares.
É fundamental para o bom conhecimento desses processos entender o
comportamento dos sistemas elementares.
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Sistemas de primeira ordem tem seu comportamento dinâmico descrito por
equações diferenciais de primeira ordem .
Modelo
a1
dy
+ a0 y = bu
dt
Onde: y - Variável saída
u - Variável entrada
b
a1 dy
+y= u
a0
a0 dt
∴ τp
dy
+ y = K pu
dt
Parâmetros de dinâmica
τp - constante de tempo
Kp - ganho do processo
Função de transferência
No domínio “s” temos:
τ p sy( s) + y( s) = K p u( s) ∴ G( s) =
Sistemas de Controle
Kp
τ p s +1
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Funções de Transferência Exemplo
Um reator de mistura perfeita , com nível constante e reação de primeira ordem.
Balanço Material
(
)
V
dC A
+ F C A − C A 0 + KC A = 0
dt
V
dC A
+ ( F + K ) C A = FC A
dt
F
⎛ V ⎞ dC A
⎜
⎟
C
+ CA =
⎝ F + K ⎠ dt
F + K A0
τ
dC A
+ C A = K p C A0
dt
onde:
Kp =
F
F+K
e τ =
V
F+K
No domínio "s" temos :
τ p sC A ( s) + C A ( s) = K p C A ( s)
0
G ( s) =
C A ( s)
Kp
=
C A0 ( s ) τ p s + 1
A resposta dinâmica de primeira ordem depende do tipo de entrada
Sistemas de Controle
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Funções de Transferência Resposta ao degrau
G ( s) =
C A ( s)
Kp
=
C A0 ( s) τ p s + 1
C A ( s) =
Kp
τ ps + 1
C A0 ( s) =
C A ( s) =
C A0 ( s)
M
S
Kp
(Função de transferência)
(Degrau)
M
τ ps + 1 S
⋅
No domínio t (transformada inversa de Laplace)
−t
⎛
⎞
C A ( t ) = K p M ⎜1 − e τ p ⎟
⎝
⎠
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Sistema de segunda ordem tem seu comportamento dinâmico descrito por
equações diferenciais de segunda ordem.
Também pode ser composto por duas funções de transferência de 1a ordem em
série.
Modelo
d2y
dy
a2 d 2 y a1 dy
b
a2 2 + a1
+ a0 y = bu ∴
+y= u
2 +
a0 dt
a0 dt
a0
dt
dt
d2y
dy
τ
+ y = k pu
2 + 2 ζτ
dt
dt
2
Sistemas de Controle
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Funções de Transferência se considerarmos ωn =
1
τ
e multiplicando todos os termos por ωn2 temos:
d2y
dy
+ ωn 2 y = k pωn 2 u
2 + 2 ζωn
dt
dt
Parâmetros de dinâmicos
- Ganho estacionário do processo
- Fator de amortecimento
τ
- Determina a velocidade da resposta ( equivalente à constante de
tempo do processo )
ωn
- Freqüência natural de oscilação do processo.
Kp
ξ
Função de transferência
No domínio "s" temos
τ 2 s 2 y( s) + 2 ζ τ sy( s) + y( s) = K p u( s)
G ( s) =
Kp
y ( s)
= 2 2
u( s) τ s + 2 ζτ s + 1
ou
s 2 y( s) + 2 ζ ω n sy( s) + ωn 2 y( s) = K pω n 2 u( s)
G ( s) =
K pω n 2
y ( s)
=
u( s) s 2 + 2 ζωn s + ω n 2
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Funções de Transferência Há três formas importantes das funções de transferência de segunda ordem:
Form
a
1
2
3
Faixa do
característic características
Fator de
a de
dos pólos
(raízes)
Amortecimen resposta do
to
sistema
sobre
pólos reais e
ζ>1
amortecido
distintos
criticamente pólos reais e
ζ=1
amortecido
iguais
sub
pólos
0<ζ<1
amortecido complexos e
conjugados
O caso mais importante é o sistema sub-amortecido.
Há uma série de parâmetros de interesse na resposta do sistema.
Freqüência de Oscilação Amortecida
ωd = ω n 1 − ζ
2
ou
ωd =
1− ζ
2
τ
Período de Oscilação Amortecida
Pd =
Sistemas de Controle
2π
ωd
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Funções de Transferência Rise Time(tr)
- tempo de subida - Tempo onde a resposta alcança o
novo estado-estacionário pela 1a vez. É uma medida da
velocidade de resposta do sistema ao degrau.
tr =
π
2ωd
Time to first peak (tp) - instante para o 1o pico - Tempo em que o
sistema atinge o 1o pico.
tp =
π
ωd
Settling Time - tempo de estabilização - Tempo requerido para que o
processo tenha a resposta na banda de 5% do estadoestacionário
ts =
4
ζωn
Overshoot - sobre-sinal - Quantidade máxima na qual a resposta
ultrapassa o valor do estado-estacionário. É representado
como uma fração do valor em estado-estacionário.
a
Os = = e
b
− πζ
1− ζ
2
Decay-ratio - razão de decaimento - Razão entre as amplitudes de dois
picos consecutivos.
c
2
Dr = = ( Os ) = e
a
Sistemas de Controle
−2 πζ
1− ζ
2
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Funções de Transferência SISTEMAS COM TEMPO MORTO
O tempo morto é uma característica presente em muitos processos, é
conhecida como dinâmica de tubulação e a propriedade do sistema de responder a
uma entrada após um certo tempo, td.
Modelo
y( t ) = x( t − t d )
Parâmetros de dinâmica
td - Tempo morto
Função de transferência
⎛ y ( s) ⎞
Gp ( s ) = ⎜
⎟ = e −t d s
(
)
⎝x s ⎠
SISTEMA COM RESPOSTA INVERSA
A resposta inversa é o resultado de dois efeitos opostos.
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Funções de Transferência Função de transferência
G ( s) =
K p ( τ a s + 1)
(τ s + 1)(τ
1
2
s + 1)
onde τ a < 0
ou
G ( s) =
K1
−
(τ s + 1) (τ
1
K2
2
s + 1)
supondo K1 e K2 positivos, então K1τ2 < K2τ1.
PROCESSOS DE INTEGRADORES
Processos integradores são aqueles que não estabilizam com o tempo. Um
caso típico é um sistema de nível de líquido.
Exemplo - Nível de Líquido
A
dh
= qi − q
dt
fazendo q ′ = qi − q temos:
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Funções de Transferência A
dh
= q′
dt
No domínio "s" temos
Ash( s) = q′( s)
h( s) =
1
q′( s)
As
h( s)
1
=
q ′( s) As
Sistemas de Controle
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