Modelagem Matemática
MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos
consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores,
capacitores e indutores. A Tabela 1 resume os componentes e as relações entre
tensão e corrente e entre tensão e carga, sob condições iniciais nulas.
Tabela 1 – Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitoers,
resistores e indutores.
Componente
Tensão-corrente
Corrente-tensão
Tensão-carga
Impedância
Admitância
Z(s) = V(s)/I(s) Y(s) = I(s)/V(s)
Nota: ν( t ) = V (volts), i( t ) = A (ampères), q( t ) = Q (coulombs), C = F (farads), R = Ω (ohms), G =(mhos), L = H (henries)
As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que
estabelecem:
• A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é
igual a zero.
• A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero.
A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do
circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se
soluciona a Função de Transferência.
Exemplo:
Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no capacitor à tensão
de entrada, V(s), da figura 1.
Figura 1 - Circuito RLC.
Transformadas de Laplace
Resolução:
Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o circuito.
Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições iniciais nulas, resulta a
equação íntegro-diferencial.
t
di(t )
1
L
i(τ )dτ = v(t )
+ Ri(t ) +
dt
C 0
∫
Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação
i(t ) = dq(t ) / dt resulta:
L
d 2 q(t )
dq(t ) 1
+R
+ q(t ) = v(t )
2
dt
C
dt
A partir da relação tensão-carga em um capacitor da Tabela 1:
q(t ) = CvC (t )
Substituindo:
LC
d 2 vC (t )
dt
2
+ RC
dvC (t )
+ vC (t ) = v(t )
dt
Aplicando Laplace:
( LCs
2
)
+ RCs + 1 VC (s) = V (s)
Calculando a função de transferência, Vc (s) / V (s) :
Vc (s)
=
V ( s)
1
LC
1
R
s + s+
L
LC
2
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Transformadas de Laplace
SISTEMAS MECÂNICOS EM TRANSLAÇÃO
Os sistemas mecânicos obdecem à lei fundamental onde o somatório de
todas as forças é igual a zero. Isto é conhecido como lei de Newton e pode ser dito
da seguinte forma: a soma das forças aplicadas deve ser igual à soma das forças de
reação.
Iniciaremos arbitrando um sentido positivo para o movimento, por exemplo,
para direita. Usando o sentido escolhido como positivo para o movimento,
desenhamos em primeiro lugar um diagrama de corpo livre, posicionando sobre o
corpo todas as forças que agem sobre ele no sentido do movimento ou no sentido
oposto. Em seguida, utilizamos a lei de Newton para construir a equação diferencial
do movimento somando as forças e igualando a soma a zero. Finalmente, supondo
as condições iniciais nulas, aplicamos a transformada de Laplace à equação
diferencial, sepramos as variáveis e chegamos à função de transferência. A Tabela 2
apresenta os elementos mecânicos comuns em sistemas de translação como suas
relações.
Tabela 2 – Relações força-velocidade, força-deslocamento, e impedância de translação de
molas, amortecedores e massas.
Componente
Forçavelocidade
Forçadeslocamento
Impedância
Zm(s)=F(s)/X(s)
Mola
Amortecedor viscoso
Massa
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste texto: f ( t ) = N
(newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m
(newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro).
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Transformadas de Laplace
Exemplo
Obter a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo:
Resolução:
Desenhando o diagrama de corpo livre para o sistema proposto e arbitrando o
sentido do movimento para direta, obtemos:
Utilizando a Lei de Newton escrevemos a equação diferencial do movimento.
M
d 2 x(t )
dx(t )
+ fv
+ Kx(t ) = f (t )
2
dt
dt
Aplicando Laplace,
Ms 2 X (s) + f v sX (s) + KX (s) = F (s)
(Ms 2 + f v s + K ) X (s) = F (s)
.
Resolvendo para obter a função de transferência,
G(s) =
X ( s)
1
=
F (s) Ms 2 + f v s + k
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Transformadas de Laplace
Em sistemas mecânicos, o número necessário de equações de movimento é
igual ao número de movimentos linearmente independentes. A independência linear
implica que um onto de movimento em um sistema em movimento pode continuar a
se mover mesmo se todos os outros pontos forem mantidos parados. A expressão
linearmente independente também é conhecida por graus de liberdade. Desta forma
podemos sugerir uma pequana equação.
[Soma de Impedâncias]X(s) = [Soma de forças aplicadas]
Quando utilizando a lei de Newton, somando as forças de cada corpo e
fazemos a soma igual a zero, o resultado é um sistema de equações simultâneas do
movimento. Estas equações podem ser resolvidas em função da variável de saída de
interesse a partir da qual se calcula a função de transferência.
Exemplo:
Obter a função de transferência, X2(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo.
Usando o conceito apresentado anteriormente podemos solucionar o
exercício por inspeção, escrevendo as equações de movimento do sistema, sem
desenhar o diagrama de corpo livre.
⎡ Soma das ⎤
⎢
⎥
⎢ impedâncias ⎥
⎢ conectadas ao ⎥ X 1(s) −
⎢
⎥
⎢ movimento ⎥
⎢
⎥
em x1
⎣
⎦
⎡ Soma das ⎤
⎢
⎥
⎢impedâncias ⎥ X (s) =
⎢
⎥ 2
entre
⎢
⎥
⎢⎣ x1 e x 2 ⎥⎦
⎡ Soma das ⎤
⎢
⎥
⎢ forças aplicadas ⎥
⎢⎣
⎥⎦
em x1
e
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Transformadas de Laplace
⎡ Soma das ⎤
⎢
⎥
⎡ Soma das ⎤
⎢ impedâncias ⎥
⎢
⎥
− ⎢impedâncias ⎥ X 1(s) − ⎢conectadas ao ⎥ X 2 (s) =
⎢
⎥
⎢⎣entre x1 e x 2 ⎥⎦
⎢ movimento ⎥
⎢
⎥
em x 2
⎣
⎦
⎡ Soma das ⎤
⎢
⎥
⎢forças aplicadas ⎥
⎢⎣
⎥⎦
em x 2
SISTEMAS MECÂNICO EM ROTAÇÃO
As equações caracterizando os sistemas que apresentam movimento de
rotação são semelhantes às dos sitemas com translação. Escrever as equações de
conjugado é equivalente a escrever as equações de força, com os termos de
deslocamento, velocidade e aceleração considerada agora como grandezas
angulares. O torque substitui a força e deslocamento angular substitui deslocamento.
O termo associado à Massa é substituído por inércia.
O conceito de graus de liberdade também continua válido nos sitemas em
rotação. O número de pontos de movimento que podem ser submetidos a
deslocamentos angulares, enquanto se mantêm parados todos os demais, é igual ao
número de equações de movimento ncessário para descrever o sistema.
Os elementos relacionados ao movimento mecânico em rotação são
apresentados na Tabela 3.
Tabela 3 – Relações torque-velocidade angular, torque-deslocamento angular, e impedância
de rotação de molas, amortecedores viscosos e inércia.
Componente
Torque velocidade
angular
Torque deslocamento
angular
Impedância
Zm(s) = T(s) / θ(s)
Mola
Amortecedor
viscoso
Inércia
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: T ( t ) =
N.m (newton.metro), Θ( t ) = rad (radianos), ω( t ) = rad/s (radianos /segundo), K =N.m /rad
(newton.metro / radiano), D ν = N.m.s/ rad (newton.metro.segundo/ radiano), J =kg.m2
(quilograma.metro2 = newton.metro.segundo2 / radiano).
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Transformadas de Laplace
Exemplo
Obter a função de transferência,
θ 2 (s)
T (s)
, para o sistema em rotação mostrado
na figura abaixo. O eixo elástico é suspenso por meio de mancais em cada uma das
extremidades e é submetido à torção. Um torque é aplicado à esquerda e o
deslocamento angular é medido à direita.
Resolução:
Embora a torção ocorra ao longo do eixo, aproximamos o sistema admitindo
que a torção atua como uma mola concentrada em um ponto particular do eixo, com
uma inércia, J1, à esquerda, e uma inércia J2 à direita. Usando o princípio da
superposição notamos que o sistema apresenta dois graus de liberdade. Desta forma
podemos solucionar o problema por inspeção, onde:
⎡ Soma das Impedâncias ⎤
⎡Soma das Impedâncias ⎤
⎡Soma dos torques ⎤
⎢
⎥
⎥ θ 2 ( s) = ⎢
⎥
⎢ conectas ao movimento ⎥ θ1(s) − ⎢
entre θ1 e θ 2
aplicados em θ1 ⎦
⎣
⎦
⎣
⎢⎣
⎥
em θ1
⎦
⎡ Soma das Impedâncias ⎤
⎡Soma dos torques ⎤
⎡Soma das Impedâncias ⎤
⎢
⎥
−⎢
⎥
⎥ θ1(s) + ⎢ conectas ao movimento ⎥ θ 2 (s) = ⎢
entre θ1 e θ 2
aplicados em θ 2 ⎦
⎣
⎣
⎦
⎢⎣
⎥⎦
em θ 2
Ou ainda utilizando o diagrama de corpo livre para cada um dos torques.
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Transformadas de Laplace
Sentido
Sentido
Sentido
Sentido
Sentido
Sentido
E assim obtemos as equações do movimento:
( J1s 2 + D1s + K )θ1(s) − Kθ 2 (s) = T (s)
− Kθ1(s) + ( J 2 s 2 + D2 s + K )θ 2 (s) = 0
A partir das quais se obtém a função de transferência pedida:
θ 2 (s)
T (s)
Δ=
=
K
Δ
( J1s 2 + D1s + K
−K
2
( J 2 s + D2 s + K )
−K
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