Aula 9 - definições
SISTEMAS LINEARES
Mestrado em Engenharia
Elétrica.
Maio-2003
1
 O estudo e desenho de sistemas físicos pode
ser feito de maneira empírica através da
aplicação de um sinal ao sistema e da
medição de sua resposta ao estímulo
(método da tentativa e do erro)
ou então,
 de maneira analítica que é usada quando o
sistema é muito caro, complicado, perigoso
ou quando as especificações do sistema
forem muito rigorosas.
2
O estudo analítico de sistemas físicos é
composto de 4 etapas:
 modelagem,
 desenvolvimento das equações
matemáticas
 análise e
 projeto.
3
 No caso da modelagem, temos que assumir
que temos o modelo pois este não pode ser
feito com lápis e papel (necessitamos de
componentes físicos).
 Um sistema físico pode ter diferentes modelos
que dependem das diversas respostas que
estamos buscando.
4
 A descrição matemática do sistema é obtida
pela aplicação de leis da física que são
usadas para descrever matematicamente o
sistema em estudo.
 Podemos descrever os sistemas por
equações lineares, não lineares, integrais,
diferenciais e diferença. O tipo de equação
vai depender do tipo de resposta que estamos
buscando.
5
 A análise pode ser dividida em duas etapas:
 quantitativa quando desejamos respostas do
sistema com respeito a um determinado sinal
de entrada - aqui usamos o computador para
simular.
ou
 qualitativa, quando estamos interessados em
propriedades gerais do sistema como por
exemplo a estabilidade, controlabilidade ou
observabilidade.
6
 O desenho ou projeto em geral se origina da
análise. Se a resposta de um modelo não é
adequada, nós podemos otimizá-lo ou melhorá-lo
através do ajuste de certos parâmetros ou pela
adição de compensadores. O projeto é executado
pelo modelo do sistema físico, logo, ao escolherse um bom modelo, teremos um projeto melhor.
7
1) A equação Y(s)=H(s)U(s) , no domínio de Laplace,
descreve a relação entre a entrada U(s) e a saída Y(s)
de um sinal, é chamada de descrição externa.
2) H(s), denominado de Função de Transferência,
é fatorado com a razão de duas matrizes polinomiais
H(s)=P(s)/Q(s)
8
As equações abaixo:
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(to)=xo cond.
inicial
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t),
são chamadas de equações de estado ou equações
dinâmicas e descrevem um sistema internamente.
São equações diferenciais lineares de primeira ordem
de dimensão-n.
9
1) A(.),B(.),C(.),D(.), são funções do tempo com dimensões
n x n; n x q; p x n, and p x q, respectivamente.
2) O vetor sinal u( . ) de dimensões qx1 é uma função
contínua do tempo, chamada de sinal entrada (ou
controle).
3) De maneira similar, o sinal y( . ) de dimensões px1 é
conhecido como sinal de saída.
4) O vetor de dimensão n é chamado de estado do sistema.
10
5) O caso invariante no tempo, refere-se às matrizes
A, B, C, D, constantes.
6) Quando p = q = 1, o modelo é chamado SISO
(Single-Input Single-Output). Neste caso B é um
vetor coluna e C é um vetor linha.
7) Quando p e q forem maiores do que um (>1), o
modelo é chamado de MIMO (Multiple-Input
Multiple-Output). Neste caso, B and C são
matrizes.
Em ambos casos (SISO & MIMO), o vetor estado pode ainda
ser (e geralmente é) de dimensão n.
11
IMPORTANTE:
•Estas duas equações serão desenvolvidas usando
conceitos de linearidade, invariância no tempo,
causalidade e relaxamento.
•Para que possamos realizar uma análise
qualitativa, precisamos investigar as propriedades
desta duas equações:
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
12
Exemplo: Um foguete é propelido por uma força vertical que é
proporcional a razão de ejeção da massa u0, i.e., F= .uo, logo a
massa m(t) =uo. A posição vertical do foguete em relação à
superfície da terra é dada por h(t), sua massa por m(t),
e sua velocidade por v(t). As equações de movimento são:
m(t) .v(t) = .uo - m(t)g; h(t)=v(t) ; m(t) =uo
O que nos leva a uma equação diferencial de segunda ordem
em h(t):
( t )    g
h
m( t )
o
13
Definindo x1=h, x2=h e y=h nós obtemos o modelo estado-espaço de dimensão n=2:
0
 x ( t )  0 1   x ( t )  

 x ( t )  0 0  x ( t )   g 


 
 
m
1
1
o
2
2
o
0
  x (t
; 
t   x ( t
1
o
2
o
)  h 

) v 
o
o
 x (t )
y( t )  1 0

 x ( t )
1
2
14
+
V1(t)
+
NETWORK
V2
X

Y
SISTEMA
Resposta à entrada ZERO: É a saída Y quando a entrada X=ZERO. A saída
(zero-input response)
Y pode ser diferente de ZERO pois poderão existir
cargas ou fluxos iniciais.
Estado do sistema: É o conjunto de condições iniciais do sistema.
Resposta Estado Zero: É a saída Y devida a uma entrada arbitrária X quando
(Zero-state response) todos as condições iniciais  zero (zero state).
15
•Variáveis de Estado: São um conjunto de variáveis que
descrevem o comportamento interno de um sistema.
Representam elementos físicos, logo podem ser medidos.
•Representação por Variáveis de Estado: É o modelo
que é definido em termos das variáveis de estado.
•O Modelo de Estado: É apresentado em termos de equações matriciais.
16
Álgebra Linear:
É usada para realizar transformações de similaridade
para resolver equações algébricas lineares
e computar funções de uma matriz.
Solução das Equações de Estado:
Diferentes análises, levam a diferentes maneiras de
descrever o mesmo sistema.
17
Estabilidade: É uma propriedade qualitativa de um
sistema linear. É o primeiro requerimento a ser obtido
quando se projeta um sistema.
Temos
•Estabilidade BIBO (bounded input, bouded output)
•Se um sistema não for internamente estável
não será BIBO!
•Estabilidade no sentido de Lyapunov
•Estabilidade Assintótica
18
Estabilidade à resposta impulsiva:
Se
|h(t))|  
lim
o sistema é bounded.
t
Bk
Ai
H(s) =
s+pi
+
(s
Aie
+ pk)2
, onde Ai são pólos simples
e Bk são pólos múltiplos.
h(t) terá então pólos desta forma, para r<1:
Aie-pitu(t) e Bk [(tr-1)/(r-1)!] e-pkt u(t)
19
Figura 1
20
1) Para a estabilidade à resposta impulsiva,
todos os valores característicos (pólos=)
devem estar localizados no plano esquerdo.
jw

Pólos no eixo jw
são permitidos desde
que não sejam únicos
2) Um circuito que possua só R,L,C
(elementos passivos)é estável.
3) Fontes dependentes (Op.AMP.) são
fontes de instabilidade.
21
Procedimentos para determinar a estabilidade:
P(s)
H(s)=
Q(s)
onde Q(s)=bosn+b1sn-1+....bn para n>2 determine a
a estabilidade do sistema.
1) Podemos resolver explicitamente a equação para encontrar as
raízes ou então usar o Polinômio de Hurwitz:
Q(s) =(s+a)r [s+(b+jc)]m [s+(b-jc)]m (s2+d2)s
Hurwitz restrito
pólos no eixo jw
22
Procedimentos para determinar a estabilidade:
Q(s) =(s+a)r [s+(b+jc)]m [s+(b-jc)]m (s2+d2)s
1) Todos os b’s são > do que ZERO.
2) Abaixo de sn não existem expoentes faltando (não existe sinal
negativo para cancelar outro termo).
3) Quando em Q(s) nós apenas temos termos do tipo (s2+d2),
(perdemos os termos de ordem ímpar).
4) Quando em Q(s) temos apenas termos do tipo (s2+d2)s, perdemos os termos de ordem par.
Exemplo:1) Q(s)= 2s4+10s3-12s3+21s+76  -12 sistema instável!
2) Q(s)= 63s6 + 24s4 10s2 + 64  Sem os termos ímpares
sistema pode ser estável - condição necessária mas
não suficiente!
23
Estabilidade BIBO
e(t)
r(t)
R(s)=H(s).E(s)
H(s)
Pr(s)
PH(s).Pe(s)
=
Qr(s) QH(s).Qe(s)
limt |e(t)|
limt |r(t)|
BO(bounded output)
BI(bounded input)
A
r(t) = TL-1(
B
+
s+p1H
C
D
+ ...) (
+
+ ...)
s+p2H
s+p1E s+p2E
bounded se todos os pólos
bounded por suposição
estão no LHP e sem pólos
no eixo jw
24
Exemplo:
2s  1
Sendo dado H(s)= s 2  1 e uma entrada e(t)=10 sen(2t)u(t).
w
40s  20
R(s) =2s  1 + 10.2  R(s)=
 r(t)= tsen2t u(t)
2
2
(
s

4
)
s 4
s 1
t não bounded
2
2
Aqui, precisamos Hurwitz restrito porque podemos excitar uma freqüência natural do circuito que resultará em ressonância.
25
Controlabilidade e Observabilidade:
•Essencial no estudo da estabilidade e da teoria
do controle ótimo.
•Predição ou filtragem de sinais.
•Se um estado é controlável, os eigenvalues da
equação podem ser arbitrariamente definidos pela
introdução de realimentação de estado através de
uma matriz de ganho constante.
•Se as equações de estado são observáveis, seus
estados podem ser gerados, criando-se um
estimador de estado com eigenvalue arbitrado.
26
Controlabilidade e Observabilidade:
•De forma simplificada podemos dizer que controlabilidade
estuda as possibilidade de dirigir um estado desde a entrada.
•Observabilidade estuda a possibilidade de estimar um estadesde a sua saída.
•Se uma equação dinâmica é controlável, todos os modos da
equação podem ser excitados desde a entrada.
•Se uma equação dinâmica é observável, todos os modos da
equação podem ser observados da saída.
27