Função polinomial
Dado um número real n e os números
reais an,an-1, ..., a2,a1,a0 chama-se função
polinomial ou polinômio na variável x,
a função:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0
Grau de um polinômio
Em um polinômio, o termo de mais alto grau
que possui um coeficiente não nulo é
chamado termo dominante e o coeficiente
deste termo é o coeficiente do termo
dominante. O grau de um polinômio p=p(x)
não nulo, é o expoente de seu termo
dominante, que aqui será denotado por
gr(p).
Existem várias observações importantes:
•Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui
termo dominante
•Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1,
o polinômio será chamado Mônico.
•Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será
dito incompleto
É comum usar apenas uma letra p para representar a
função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os
polinômios reais em x.
Igualdade de polinômios
Os polinômios p e q em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn e
q(x) = bo + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + ... + bn xn
são iguais se, e somente se, para todo
k=0,1,2,3,...,n:
ak = bk
Soma de polinômios
Definimos a soma de p e q, por:
(p+q)(x) =(ao+bo)+ (a1+b1)x + (a2+b2)x2 + ... + (an+bn)xn
Possui algumas propriedades:
Associativa: (p + q) + r = p + (q + r)
Comutativa:
p+q=q+p
Elemento neutro: Po+ p = p
Elemento oposto:
Para cada p em P[x], existe
outro polinômio q=(-p) em
P[x] tal que
p+q=0
Subtração de polinômios
Da álgebra elementar temos que nós só podemos
somar e/ou subtrair termos semelhantes, ou seja,
termos que possuam expoentes iguais.
Exemplo:
P(x) = 3x4 - 7x3 + 5x2 + 12x - 8 Q(x) = x4 - 12x2 + 7x +
2 P(x) + Q(x) = 4x4 - 7x3 - 7x2 + 19x - 6 P(x) - Q(x)
= 2x4 - 7x3 + 17x2 + 5x - 10
Multiplicação de Polinômios
A multiplicação de polinômios é feita através da propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição ou subtração.
Obs.: Se o grau do polinômio P é Gp = n e
o grau
do polinômio Q é Gq = m, então o grau do
polinômio PG
é Gpq = n + m.
Multiplicação
Exemplo:
(2x2 - 7x + 4) . (x3 + 2x) = 2x5 + 4x3 - 7x4 - 14x2 + 4x3
+ 8x
Divisão de Polinômios
Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x) (divisor) com
D(x) diferente de zero, dividir P(x) por D(x) é determinar
outros dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) de
modo que:
Ou seja, dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) é
obter os polinômios Q(x) e R(x) tais que:
P(x) = D(x).Q(x) + R(x) onde GR < GD.
Dispositivo Prático Briot - Rufini
Este dispositivo é utilizado para dividir um
polinômio P(x) por um polinômio do 1º grau da
forma x - a. Neste método trabalha-se apenas com os
coeficientes do polinômio e com o valor a.
Obs.: Se o resto da divisão é zero, então
o polinômio é divisível pelo polinômio
divisor.
Teorema de D'Alembert
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio x
- a, se e somente se, P(a) = 0.