Interpolação
A necessidade de obter um valor
intermediário que não consta de uma
tabela ocorre comumente
 Dados experimentais, tabelas estatísticas
e de funções complexas são exemplos
desta situação.
 Como obter estes dados?


Dado um conjunto de dados {xi,f(xi)} tal como na
tabela abaixo:
xi
f(xi)


0
0,001
1,5
3,0
4,5
6,0
0,016
0,028
0,046
0,057
Como obter o valor de f(x) para um valor de x que
não tenha sido medido, como x=2.0 ?
Quando se deseja saber o valor de f(x) para um x
intermediário entre duas medidas, isto é,
xi<x<xi+1, pode-se usar as técnicas da
interpolação



A interpolação consiste em determinar uma
função, que assume valores conhecidos em
certos pontos (nós de interpolação)
A classe de funções escolhida para a
interpolação é a priori arbitrária, e deve ser
adequada às características que pretendemos
que a função possua
Função a ser considerada:
 Polinômios  Interpolação Polinomial

Métodos de interpolação polinomial são
utilizados para aproximar uma função f(x),
principalmente nas seguintes situações:
 conhece-se apenas valores de f(x) em
apenas pontos discretos x0, x1 , x2 , ...
 f(x) é extremamente complicada e de difícil
manejo
 f(x) não é conhecida explicitamente

A interpolação por meio de polinômios consiste em:

Interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)},
significa calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma
analítica de f(x) ou ajustar uma função analítica aos dados

Interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x)
que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados
{xi,f(xi)}, isto é:
p(x0)=f(x0)
p(x1)=f(x1)
…
p(xn)=f(xn)
Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão

Polinômio p(x) - polinômio interpolador
 Pode-se demonstrar que existe um único
polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que
passa por todos os (n+1) pontos do conjunto
{xi,f(xi)}
p n (x 0
)=
2
n
a 0 + a 1  x 0 + a 2  x 0 + ... + a n  x 0 = f
(x )
0
2
n
p n ( x 1 ) = a 0 + a 1  x 1 + a 2  x 1 + ... + a n  x 1 = f ( x 1 )
...
2
p n (x n ) = a 0 + a 1  x n + a 2  x n + ... + a n  x nn = f (x n )

O conjunto de equações corresponde a um
sistema linear de n+1 equações e n+1 variáveis
 Quais
são as variáveis independentes? ai
ou xi ?
 Poderia
ser resolvido diretamente
 Essa é uma das formas de se obter o
polinômio interpolador
f ( x )  P1 ( x ) = a0 + a1x
P1 ( x0 ) = y0
P1 ( x1 ) = y1
a0 + a1x0 = y0
1 x 0  a0 
 y0 
 
=  




a0 + a1x1 = y1
1 x 1  a1 
 y1 
y1  y0
P1 ( x ) = y0 +
( x  x0 )
x1  x0
Problema

Determinar o polinômio interpolador
através da resolução de um sistema linear
é caro computacionalmente

Outros modos de se obter o polinômio:
 Lagrange
 Newton

Seja um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}.
Encontrar um polinômio interpolador p(x)
que passe por todos os pontos
p(x) = L0(x)  f (x0) + L1(x)  f (x1)+...+Ln (x)  f (xn )
Lk(x) são polinômios tais que:
Lk ( xi ) = ki
sendo que:
0 se , k  i
 ki = 
1 se , k = i
(x  x ) (x  x ) ...(x  x ) (x  x ) ...(x  x )
L ( x) =
(x  x ) (x  x )...(x  x ) (x  x ) ...(x  x )
0
k 1
1
k +1
n
k
k
0
k
Pois:
Lk ( x k ) = 1 e
Lk ( xi ) = 0 se, i  k
1
k
ki 1
k
ki +1
k
n
Interpolação Linear

Interpolação para 2 pontos (n+1=2) ajuste de retas (n=1) (Interpolação
Linear)
x
x
x
i
f(xi)
1
0
f(x0)
1
f(x1)
p( x) =  Li ( x). f ( xi ) = L0 ( x). f ( x0 ) + L1 ( x). f ( x1 )
i =0

Ajuste uma reta aos seguintes pontos
(x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)
 x  x1 
 x  x0 
  f (x0 ) + 
  f (x1 )
p(x ) = 
 x0  x1 
 x1  x0 

Ajuste uma reta aos seguintes pontos
(x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)
 x  x1 
 x  x0 
  f (x0 ) + 
  f (x1 )
p(x ) = 
 x0  x1 
 x1  x0 
 x 4
 x 2
p( x ) = 

3
.
1
+


  5.6 = 1.55  (x  4) + 2.8  (x  2)
24
42
p(x ) = 1.25  x + 0.6
Forma de Newton
p(x ) = d 0 + d 1( x  x0) + d 2( x  x1)(x  x0) + ... +
dn( x  xn  1)(x  xn  2)...(x  x0)
dn -> é o operador diferença dividida
Diferenças divididas
Ordem 0
f [ x 0] = f ( x 0 )
f [ x 0, x1] =
f [ x1]  f [ x 0]
f ( x1)  f ( x 0)
=
x1  x 0
x1  x 0
f [ x 0, x1, x 2] =
f [ x 0, x1, x 2, x3] =
f [ x1, x 2]  f [ x 0, x1]
x 2  x0
f [ x1, x 2, x3]  f [ x 0, x1, x 2]
x3  x 0
Ordem 1
Ordem 2
Ordem 3
Ordem 0
Ordem 1
Ordem 2
f [ x 0]
f [ x0, x1]
f [ x0, x1, x2]
f [ x1]
f [ x 2]
f [ x 3]
...
f [ xn ]
...
f [ x1, x 2]
f [ x1, x2, x3]
f [ x 2, x3]
Exemplo

Calcule a tabela de diferenças divididas
para os seguintes valores:
x
-1
0
1
2
3
F(x)
1
1
0
-1
-2
1
0
1
- 1/2
-1
0
1/6
0
-1
-1
-2
0
0
-1
- 1/24

Mas qual o valor de d?
d 0 = f ( x 0)
d 1 = f [ x 0, x1]
d 2 = f [ x 0, x1, x 2]
dn = f [ x 0, x1,...xn ]

Assim,
p(x ) = f ( x0) + f [ x0, x1](x  x0) +
f [ x0, x1, x 2](x  x1)(x  x0) + ... +
f [ x0, x1,...xn](x  xn  1)(x  xn  2)...(x  x0)