Lógica Matemática
Introdução
A que a palavra Lógica te
remete??
Lógica Formal




Inúmeras definições;
Essencialmente iguais;
Consenso, “Leis gerais do Pensamento”
Aplicação correta dessas leis na
investigação da verdade.
Origem

Na Grécia Antiga, 342 a.C, o filósofo
Aristóteles sistematizou o conhecimento
existente em Lógica, elevando-o à categoria
de ciência.

Em sua obra chamada Organum (“ferramenta
para o correto pensar”), estabeleceu
princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje
são considerados válidos.
Definição

A Lógica tem, por objeto de
estudo, as leis gerais do
pensamento, e as formas de
aplicar essas leis corretamente
na investigação da verdade.
Proposição



Uma proposição é uma declaração
(afirmativa ou negativa) que exprime
um pensamento de sentido completo.
Uma proposição pode ser verdadeira,
cujo valor lógico é V;
Ou uma proposição pode ser falsa, cujo
valor lógico atribuído é F
Exemplo 1

“Sete mais dois é igual a nove”

É uma declaração (afirmativa)

Logo é uma proposição.
Valor lógico
V
Exemplo 2

Belém não é a capital do Brasil;

É uma declaração negativa

Logo é uma proposição
Valor Lógico
V
Exemplo 3

O dobro de cinco é 10?

É uma pergunta, não uma declaração

Logo não é proposição

Portanto não podemos atribuir valor
lógico V ou F
Praticando

1.
2.
3.
Construa em seu caderno:
Um exemplo de proposição com valor
lógico V
Um exemplo de proposição com valor
lógico F
Um exemplo que não possa ser
classificado como uma proposição.
Princípios Fundamentais



Princípio da Identidade: Todo objeto é
idêntico a si mesmo.
· Princípio da Não Contradição: Uma
proposição não pode ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo.
· Princípio do Terceiro Excluído: Todo
proposição ou é verdadeira ou é falsa, ou seja,
verifica-se sempre um desses casos, nunca
um terceiro.
Proposição Simples (Atômica)

Como o próprio nome diz, é uma proposição
única, isolada.

Podemos considerá-las como frases formadas
por apenas uma oração que exprime apenas
um fato.

Representaremos as proposições simples por
letras latinas minúsculas (p, q, r, s)
Exemplo de Prop. Simples




Tiradentes foi enforcado (p)
eu sou estudioso (q)
3 + 4 > 12 (r)
O número 25 é um quadrado perfeito (s)
Proposição Composta



Uma proposição é dita composta
quando for formada por duas ou mais
proposições ligadas entre sí por
conectivos operacionais.
Podemos considerá-las como um
período composto de várias orações.
Indicaremos as proposições compostas
por letras latinas maiúsculas
Exemplo

Paulo é estudioso e Maria é bonita.
P é a composta das proposições simples
p: Paulo é estudioso
e
q: Maria é bonita.
Exemplo



Jorge é careca e Pedro é Estudante.
Um número é par ou um número é
impar
Se um número é par, então é divisível
por 2
Praticando



Construa em seu caderno 3 exemplos
de:
Proposição Simples
Proposição Composta
Exercícios
1) Determine o valor lógico (V ou F) de
cada uma das sentenças:
a)
O número 17 é primo.
b)
Fortaleza é capital do Maranhão
c)
TIRADENTES morreu afogado
d)
(3 + 5)2 = 32 + 52
-1<-7
e)
Conectivos Lógicos

Chamamos conectivos ou operadores lógicos
a qualquer palavra ou símbolo que se usa
para formar novas proposições compostas a
partir de outras proposições simples.

São conectivos usuais em lógica matemática e,
ou, não, se, então, se e somente se.
Operadores Lógicos

O operador não é unário e os outros,
binários, isto é ligam duas proposições
para formar uma proposição composta.
Operações Lógicas sobre
Proposições

À partir dos conectivos lógicos pode-se
definir operações fundamentais entre
proposições. Tais operações obedecem
às regras do cálculo proposicional.
Negação
Chama-se negação de uma proposição p
a proposição representada por “não p” ,
cujo valor lógico é verdadeiro (V)
quando p é falsa e falso (F) quando p é
verdadeira.
Simbolicamente:~p
Lê-se: “não p”
p ~p
~V=F
V F
~F=V
F V


Na linguagem comum a negação efetua-se,
nos casos mais simples, antepondo o
advérbio “não” ao verbo da proposição
dada.

p: O Sol é uma estrela
~p: O Sol não é uma estrela


p:Pedro é mecânico
~p:Não é verdade que Pedro é mecânico

Ou
~p: É falso que Pedro é mecânico

Observe que:

“Todos os homens são elegantes”
a negação pode ser:

“Nem todos os homens são elegantes”.

“Nenhum homem é elegante”
a negação pode ser:

“algum homem é elegante”
Conjunção ()

Uma proposição que constitui-se de duas
proposições ligadas por “e” denomina-se
conjunção.

O valor lógico de uma proposição é
verdadeiro se as proposições simples p e q
que a compõe são verdadeiras. Nos demais
casos é falso.
Simbólicamente: “pq”
Lê-se: “p e q”


Simbolicamente: p^q
p
q
p^q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Exemplos
p: A neve é branca (V)
q: 2<5
(V)
p^q= A neve é branca e 2<5 (V)
p: O enxofre é verde
(F)
q: 7 é um número primo (V)
p^q=O enxofre é verde e 7 é um número primo (V)
p: CANTOR nasceu na Rússia (V)
q: FERMAT era médico
(F)
p^q= CANTOR nasceu na Rússia e FERMAT era médico (F)
p:  > 4
(F)
q: sen  /3 = 0 (F)
p^q=  > 4 e sen  /3 = 0 (F)
Exercícios
1)
a)
b)
c)
d)
e)
Sejam as proposições p: Está frio e q:Está chovendo.
Faça a tradução para a linguagem corrente das
seguintes proposições:
~p
p^q
~p^q
p^~q
~p^~q
2) Sejam as proposições p: Cláudio fala inglês e
a)
b)
c)
d)
e)
q:Cláudio fala alemão.Faça a tradução para a
linguagem corrente das seguintes proposições:
~p
p^q
~p^q
p^~q
~p^~q
3) Sejam as proposições p: Marcos é alto q: Marcos é
a)
b)
c)
elegante . Faça a tradução para a linguagem
simbólica das seguintes proposições:
Marcos é alto e elegante
Marcos é alto, mas não é elegante
Marcos não é alto nem elegante
Disjunção ()



Chama-se disjunção uma proposição
composta por duas proposições p e q. O valor
lógico de uma disjunção é verdadeiro se ao
menos uma das proposições simples p e q
que a compõe é verdadeiro, e falso se ambas
as proposições são falsas.
Simbólicamente: “pq”
Lê-se: “p ou q”
Simbolicamente: pq
p
q
p q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Exemplos
p:Paris é a capital da França (V)
q: 9 – 4 =5
(V)
pq= Paris é a capital da França ou 9-4=5 (V)
p:CAMÕES escreveu Lusíadas (V)
q:  = 3
(F)
pq= CAMÕES escreveu os Lusíadas ou =3 (V)
p:Roma é a capital da Rússia (F)
q: 5/7 é uma fração própria (V)
pq= Roma é capital d Rússia ou 5/7 é uma fração própria (V)
p:Lula é governador do Paraná (F)
q: (-2)2= -4
(F)
pq= Lula é governador o Paraná ou (-2)2=4 (F)
Disjunção Exclusiva ()

Chama-se disjunção exclusiva de duas
proposições p e q a proposição representada
simbolicamente por p V q, que se lê: "ou p ou
q" ou "p ou q, mas não ambos", cujo valor
lógico é a verdade (V) somente quando p é
verdadeira ou q é verdadeira, mas não
quando p e q são verdadeiras
simultaneamente, e a falsidade (F) quando p e
q são simultaneamente falsas.
Disjunção Inclusiva ou Disjunção Exclusiva
P: Carlos é médico ou professor
 Q: Mário é alagoano ou paranaense
OBSERVE:
Na proposição P pelo menos uma das
proposições “Carlos é médico” ou
“Carlos é professor” é verdadeira,
podendo ser as duas verdadeiras.



Já na proposição Q, somente uma delas
será verdadeira, “Mario é alagoano” ou
“Mário é paranaense”.
Dizemos que a proposição P é
inclusiva enquanto que a proposição Q
é exclusiva.
Simbolicamente: pq
p
q
p q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Condicional ()

Chama condicional uma proposição
representada por “se p então q”, cujo
valor lógico é a falsidade (F) no caso
em que p é verdadeira e q é falsa, e a
verdade(V) nos demais caso.
Bicondicional ()

Chama-se bicondicional uma proposição
representada por “p se e somente se q”,
cujo valor lógico é a verdade (V) quando
p e q são ambas verdadeiras ou falsas, e
a falsidade (F) nos demais casos.
LÊ-SE:
(i) p é condição necessária e suficiente para q

(ii) q é condição necessária e suficiente para p


Simbolicamente: pq
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Exemplos
p:Roma fica na Europa (V)
q: A neve é branca
(V)
pq= Roma fica na Europa se e somente se a
neve é branca (V)
p:Lisboa é capital de Portugal (V)
q:  = 3
(F)
pq= Lisboa é capital de Portugal se e somente
se =3 (F)
Exemplos
p:VASCO DA GAMA descobriu o Brasil (F)
q: TIRADENTES foi enforcado
(V)
pq= VASCO DA GAMA descobriu o Brasil se e
somente se TIRADENTES foi enforcado (F)
p: A terra é plana (F)
q: o Canário é um mamífero (F)
pq= A terra é plana se e somente se o Canário
é um mamífero (V)
Exercícios
1)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Seja p a proposição “ os meninos jogam” e q a
proposição “o cão ladra”. Traduzir para a linguagem
corrente as seguintes proposições:
~p
~q
p^q
p^~q
pq
pq
~p~q
2) Traduzir para a linguagem simbólica as
seguintes proposições.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Os preços não sobem.
Pedro não é justo.
Os preços sobem e Pedro é justo.
Os preços sobem ou Carlos é asseado.
Carlos não é asseado ou Pedro é justo.
Se os preços sobem , então a oferta cai.
Se Pedro não é justo, então os preços sobem.
A oferta não cai e Pedro é justo se e somente se os
preços sobem.
Se os preços sobem e a oferta cai, então Carlos é
asseado ou Pedro é justo.