UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Função Modular
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Função Modular
1.Função definida por várias sentenças abertas
2.Módulo
3.Função modular
4.Equações modulares
5.Inequações modulares
1. Função definida por várias
sentenças abertas
Uma função f pode ser definida por várias
sentenças abertas, cada uma das quais está ligada
a um domínio D, contido no domínio da f.
3
1. Função definida por várias
sentenças abertas
Exemplos preliminares
1o) Seja a função f : ℝ → ℝ definida por
para x < 0
f ( x ) = 1

f ( x ) = x + 1 para 0 ≤ x < 2
f ( x ) = 3
para x ≥ 2

que também pode ser indicada por
se x < 0
1

f ( x ) =  x + 1 se 0 ≤ x < 2
3
se x ≥ 2

4
1. Função definida por várias
sentenças abertas
O seu gráfico está representado abaixo
4
f(x) = 3
f(x
)=
x+
1
3
2
f(x) = 1
1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
5
1. Função definida por várias
sentenças abertas
2o) Seja a função f : ℝ → ℝ definida por
f ( x ) = − x

2
f
(
x
)
=
x
−1

para x < −1
para x ≥ −1
que também pode ser indicada por
− x
f (x) =  2
x − 1
se x < −1
se x ≥ −1
6
1. Função definida por várias
sentenças abertas
O seu gráfico está representado abaixo
8
7
x 21
6
)=
5
f(x
4
3
f(x )
= -x
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
7
2. Módulo
Definição algébrica: Sendo x ∈ ℝ , define-se módulo ou valor absoluto de x, que se indica por |x|,
por meio da relação
 x = x

 x = − x
se x ≥ 0
se x < 0
Isso significa que:
1o) o módulo de um número real não negativo é igual
ao próprio número;
2o) o módulo de um número real negativo é igual ao
oposto desse número;
8
2. Módulo
Assim, por exemplo, temos:
+2 = +2,
−7 = +7,
− 2 = + 2,
0 =0
3
3
− =+
5
5
+ 3 =+ 3
9
2. Módulo
Definição geométrica: O módulo de um número é a
distância da imagem desse número à origem da
reta real.
−
-4
7
2
2 2
-3
-2
7
7
− =+
2
2
-1
0
1
2
3
4
+2 2 = +2 2
10
2. Módulo
Propriedades: Decorrem da definição as seguintes
propriedades
I.
x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
II. x = 0 ⇔ x = 0
III. a = b ⇔ a = b ou a = −b, ∀x ∈ ℝ
2
IV. x = x 2 , ∀x ∈ ℝ
V. x ≤ a e a > 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a
VI. x ≥ a e a > 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a
11
2. Módulo
Demonstrações:
Se x ≥ 0, então x = x e daí x = x
2
2
Se x < 0, então - x = x e daí (- x ) ⋅ (- x ) = x ⋅ x , isto é, x 2 = x
a >0
2
x ≤ a ⇔ x ≤ a 2 ⇔ x 2 ≤ a 2 ⇔ x 2 − a 2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a
a >0
2
x ≥ a ⇔ x ≥ a 2 ⇔ x 2 ≥ a 2 ⇔ x 2 − a 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a
12
2
3. Função modular
Uma aplicação de ℝ em
ℝ
recebe o nome de
função módulo ou modular quando a cada
socia o elemento
x ∈ ℝ.
x ∈ ℝ as-
f (x) = x
13
3. Função modular
Utilizando o conceito de módulo de um
número real, a função modular pode ser definida
também da seguinte forma:
 x
f (x) = 
− x
se x ≥ 0
se x < 0
14
3. Função modular
O gráfico da função modular é a reunião de
duas
semi-retas
de
origem
O, que são as
bissetrizes do 1o e 2o quadrantes.
4
3
2
1
0
-4
-2
0
2
4
15
3. Função modular
A imagem desta função é
Im = ℝ + , isto é,
a função modular somente assume valores reais
não negativos.
16
4. Equações modulares
Lembremos da propriedade do módulo dos
números reais para k > 0 :
x = k ⇔ x = k ou x = −k
e, utilizando essa propriedade, vamos resolver
algumas equações modulares.
17
4. Equações modulares
Exemplo 1: Resolver 2 x − 1 = 3.
2 x − 1 = 3

2 x − 1 = 3 ⇒ ou
2 x − 1 = −3

⇒x=2
⇒ x = −1
S = {2, − 1}
18
4. Equações modulares
Exemplo 2: Resolver 3 x − 1 = 2 x + 3 .
Lembrando da propriedade
a = b ⇔ a = b ou a = −b

3 x − 1 = 2 x + 3 ⇒ x = 4

3 x − 1 = 2 x + 3 ⇔ ou

2
3 x − 1 = −2 x − 3 ⇒ x = −
5

2

S = 4, − 
5

19
4. Equações modulares
Exemplo 3: Resolver x + 1 = 3 x + 2 .
Devemos ter inicialmente
2
3x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ −
3
para que seja possível a igualdade.
20
4. Equações modulares
2
Supondo x ≥ − , temos:
3
1

x + 1 = 3x + 2 ⇒ x = − 2

x + 1 = 3 x + 2 ⇔ ou

3
 x + 1 = −3 x − 2 ⇒ x = − (não convém)
4

 1
S = − 
 2
21
5. Inequações modulares
Lembrando das propriedades de módulo dos
números reais para k > 0 :
1) x < k ⇔ −k < x < k
2) x > k ⇔ x < −k ou x > k
e, utilizando essas propriedades, podemos resolver
algumas inequações modulares.
22
5. Inequações modulares
Exemplo 4: Resolver em ℝ : 2 x + 1 < 3.
Então:
2 x + 1 < 3 ⇒ −3 < 2 x + 1 < 3 ⇒ −2 < x < 1
S = { x ∈ ℝ / −2 < x < 1}
23
5. Inequações modulares
Exemplo 5: Resolver em ℝ : 4 x − 3 > 5 .
Então:

4 x − 3 < −5

4 x − 3 > 5 ⇒ ou
4 x − 3 > 5


1
⇒x<−
2
⇒x>2
1


S = x ∈ ℝ / x < −
ou x > 2
2


24