PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E
MATEMÁTICA.
“Elaboração de uma seqüência didática para a aprendizagem de Valor
Absoluto e da Função Modular, utilizando a organização curricular em rede”
Dárcio Costa Nogueira Júnior
Belo Horizonte
2008
Dárcio Costa Nogueira Júnior
“Elaboração de uma seqüência didática para a aprendizagem de
Valor Absoluto e da Função Modular, utilizando a organização
curricular em rede”
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Belo Horizonte
2008
Dárcio Costa Nogueira Júnior
“Elaboração de uma seqüência didática para a aprendizagem de Valor
Absoluto e da Função Modular, utilizando a organização curricular em rede”
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e
Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática,
Belo Horizonte, 2008.
Prof. Dr. João Bosco Laudares – Orientador e Presidente da banca (PUC Minas)
Doutor em Educação: História, Política e Sociedade (PUC-SP)
Prof. Dr. Benedito Antônio da Silva (PUC-SP)
Doutor em Matemática (PUC-SP)
Profª. Drª. Eliane Scheid Gazire (PUC Minas)
Doutora em Educação (UNICAMP)
A Deus, única razão da minha existência.
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela inspiração, vida, saúde e forças quando pareciam que elas não viriam.
A minha família: pai e Vanilda – sempre presentes no coração e nas orações, mesmo
quando a distância é tão grande. Mãe e Oswaldo – presente nestes dois anos tão importantes. É
sempre bom ter vocês ao lado. Tatiana e Douglas – a fraternidade que nos une jamais irá ser
abalada. Temos que acreditar nisso.
Ao prof. Dr. João Bosco Laudares pela orientação, paciência e comprometimento em
partilhar sua experiência e conhecimento. Um mestre na essência da palavra.
Aos professores Dr. Benedito Antônio da Silva e Drª Eliane Scheid Gazire, pelas
contribuições preciosas ao fazerem parte da banca examinadora.
Aos professores e amigos do Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciência e
Matemática, cuja contribuição a cada encontro se faz presentes nas linhas e entrelinhas desta
pesquisa.
Aos funcionários da PUC Minas, pelo apoio, disponibilidade e sorriso sempre presente.
Aos meus amigos Andréia Silva, Maíra Kelly e Marcelo Eustáquio, professores de
Matemática que sempre compartilham momentos em busca do contínuo aprimoramento.
Ao amigo Pe. Sérgio Luiz e Silva, pelas inúmeras orações e momentos de amizade. “Há
amigos mais chegados que um irmão” e você é um deles.
Aos amigos da família Bonifácio, meu segundo lar. A inspiração musical vinda de vocês é
o contrapeso das dificuldades desta vida.
Ao meus amigos e alunos do Colégio Militar de Belo Horizonte, fundamentais para a
realização desta pesquisa.
RESUMO
O ensino de funções é um tema de pesquisa em Educação Matemática com inúmeros trabalhos
publicados. Entretanto, o ensino da função modular e do valor absoluto possui poucas pesquisas
que tratam especificamente deste assunto. Por essa razão, esta pesquisa tem por objetivo geral a
elaboração de uma seqüência didática envolvendo atividades investigativas para o ensino de
função modular e do valor absoluto numa abordagem curricular em rede. Para a elaboração do
produto desta pesquisa, foram propostas algumas atividades investigativas para alunos do Ensino
Médio de uma escola federal de Belo Horizonte. As informações obtidas durante a elaboração da
seqüência comparadas com os dados obtidos na aplicação das atividades contribuíram para a
consolidação do produto desta pesquisa que é a seqüência didática para ensino de função modular
e valor absoluto numa perspectiva curricular em rede. As contribuições na aprendizagem de valor
absoluto são percebidas no estabelecimento da rede através da interação entre álgebra, a
representação na reta numérica e a representação gráfica.
Palavras chaves: Valor absoluto, seqüência didática, currículo em rede.
ABSTRACT
The teaching of functions is a field of study in Math Education with a great number of published
researches in Brazil. However, the teaching of the modular function and of the absolute value has
few published researches that approach specifically this given theme. Given that reason, this
research has the general purpose of the elaboration of a didactics sequence involving
investigative activity for the teaching of the modular function and absolute value on a curricular
approach on network. In order to obtain the results in this research, some investigative activities
where proposed to High School students of a federal public school in Belo Horizonte. The
information obtained during the elaboration of the sequence, compared with data obtained on the
application of the activity contributed for the consolidation of the product of this research, witch
is the didactics sequence for the teaching of modular function and absolute value on a curricular
approach on network. The contributions in learning of absolute value where noted in the
establishing of the network thru the interaction between algebra, the representation on the
numerical line and the graphical representation.
Key words: Absolute Value, didactics sequence, network teaching
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 Definição geométrica de função.........................................................................22
FIGURA 2 Interpretação geométrica da definição de módulo.............................................25
FIGURA 3 O gráfico da função modular básica...................................................................26
FIGURA 4 Exemplo de gráfico de função modular.............................................................27
FIGURA 5 Exemplo de gráfico de função modular.............................................................28
FIGURA 6 Seqüência relativa à construção do gráfico de uma função modular.................29
FIGURA 7 Exemplo de gráfico de função modular.............................................................30
FIGURA 8 Seqüência de construção de um gráfico de função modular..............................68
FIGURA 9 Interface do software Geogebra.........................................................................69
FIGURA 10 Resolução de uma equação modular na reta numérica....................................71
FIGURA 11 Resolução de uma equação modular no plano cartesiano...............................72
FIGURA 12 Situação problema envolvendo Óptica e função modular...............................73
FIGURA 13 Resolução de uma inequação modular na reta numérica.................................75
FIGURA 14 Resolução da inequação modular no plano cartesiano.....................................76
FIGURA 15 Protocolo extraído da atividade 1 – problema 11.............................................81
FIGURA 16 Protocolo extraído da atividade 1 – problema 14.............................................81
FIGURA 17 Protocolo extraído da atividade 1 – aplicação em Estatística..........................82
FIGURA 18 Protocolo extraído da atividade 2, problema 2.................................................84
FIGURA 19 Protocolo extraído da atividade 2, problema 3i................................................84
FIGURA 20 Protocolo extraído da atividade 2, problema 6.................................................85
FIGURA 21 Protocolo extraído da atividade 2, problema 7.................................................86
FIGURA 22 Protocolo extraído da atividade 3, problemas 6 e 7.........................................87
FIGURA 23 Protocolo extraído da atividade 3, problema 8.................................................88
FIGURA 24 Protocolo extraído da atividade 3, problemas 11e,f.........................................89
FIGURA 25 Protocolo extraído da atividade 3, última parte................................................90
FIGURA 26 Protocolo extraído da atividade 4, resolução de inequação em no plano
cartesiano..............................................................................................................................92
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.............................................................................................. 13
1 O CONCEITO DE FUNÇÃO E FUNÇÃO MODULAR.........................19
1.1 O CONCEITO DE FUNÇÃO......................................................................................19
1.2 O CONCEITO DE MÓDULO.....................................................................................23
1.3 O CONCEITO DE FUNÇÃO MODULAR................................................................25
1.4 APLICAÇÕES DO CONCEITO DE MÓDULO E FUNÇÃO MODULAR...........31
1.4.1 Aplicação do conceito de módulo e função modular no plano cartesiano.............31
1.4.2 Aplicação do conceito de módulo e função modular na reta numérica................32
2 OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS E A FUNÇÃO
MODULAR
NOS
LIVROS
DIDÁTICOS
DA
EDUCAÇÃO
BÁSICA...........................................................................................................34
2.1 PARÂMETROS CURRICULARES..........................................................................34
2.2 OS LIVROS DIDÁTICOS..........................................................................................38
2.3 ANÁLISE DE TEXTOS..............................................................................................41
2.3.1 Matemática – Contextos e Aplicações – Luiz Roberto Dante...............................41
2.3.2 Matemática – Ensino Médio – Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz.............42
2.3.3 Matemática – Conceitos, Linguagem e Applicações – Manoel Paiva...................43
2.3.4 Matemática – Uma nova abordagem – José Roberto Bonjorno e José Ruy
Giovanni...............................................................................................................................44
2.3.5 – Matemática – Construção e Significado – José Luiz Pastore Mello...................44
2.3.6 – Matemática – Ciências e Aplicações – Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David
Degenszajn, Roberto Perigo e Nilze de Almeida..............................................................45
2.4 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES................................................................................46
3 O CURRÍCULO EM REDE – A ATIVIDADE INVESTIGATIVA E A
SEQUENCIA DIDÁTICA.............................................................................48
3.1 – A PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA................................................48
3.2 – CURRÍCULO EM REDE.........................................................................................50
3.3 – ATIVIDADES INVESTIGATIVAS E A SEQUÊNCIA DIDÁTICA...................53
4 UMA PROPOSTA METODOLÓGICA A PARTIR DE UMA SEQÜÊNCIA
DIDÁTICA PARA O ENSINO DE VALOR ABSOLUTO E FUNÇÃO
MODULAR.....................................................................................................60
4.1 METODOLOGIA.........................................................................................................60
4.2 FASES DO EXPERIMENTO E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS.......61
4.3 A SEQUENCIA DIDÁTICA........................................................................................63
4.4 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES.............................................................................77
4.5 ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS..............................................................79
5 CONCLUSÃO..............................................................................................93
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................96
APÊNDICE................................................................................................................100
13
INTRODUÇÃO
Atuando como professor de Matemática do Ensino Fundamental e Médio desde 1998, este
pesquisador ministrou aulas para todas as séries do Ensino Médio e para quase todas as séries
finais do Ensino Fundamental. Entre as séries trabalhadas, a que despertou interesse em
pesquisas, tendo em vista as inúmeras questões provenientes das atividades e da atuação em sala
de aula, foi a primeira série do Ensino Médio.
A dificuldade com o estudo de funções, mesmo tendo o conteúdo sido ministrado na série
anterior fica evidenciada a medida em que se aprofunda em alguns conceitos e se aplica em
alguns tipos básicos, como a do 1º e 2º graus que são estudadas na série anterior. A introdução de
um novo tipo de função, como é o caso da modular, remete uma série de conflitos devido a
diversidade de situações e casos envolvidos no estudo desta função.
A exploração dos gráficos com uso de softwares, prática deste pesquisador desde a
conclusão de sua especialização em Informática na Educação, pela Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais em 2001, tem contribuído para uma aprendizagem mais significativa de
funções. Porém, a organização linear e compartimentada dos currículos nas escolas em que este
pesquisador atuou tem refletido no processo ensino e aprendizagem de modo a não garantir uma
compreensão do tema estudado.
Desse modo, a reestruturação do currículo em uma nova organização em rede tornou-se
um desafio. A procura por temas que se estabelecessem como nós de ligações entre outros
diversos nós da rede resultou na escolha de apenas um nó para mostrar de que maneira essa rede
se estabelece no contexto escolar.
14
A função modular e o valor absoluto foram os temas escolhidos nesta pesquisa como nós
da rede para serem analisados quanto a suas possíveis interações com outros temas do currículo
de Matemática na primeira série do Ensino Médio.
Na escolha deste tema levou-se em conta a mais recente proposta de Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM 2006), que reforça a prioridade do ensino de
funções para a Educação Básica. No entanto, existem lacunas nesta proposta que provocam
equívocos de interpretação e que acarretam inúmeras perdas no ensino de Matemática além de
desestabilizar o processo de aprendizagem e interação entre professor e aluno. Uma dessas
lacunas é o estudo da função modular, que pelo fato de ser a única função não explorada
amplamente pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, tem sido abordada de maneira superficial
ou até mesmo suprimida nos livros didáticos do Ensino Médio.
Assim, se fez necessária uma análise apurada dos impactos que o ensino de função
modular e valor absoluto pode promover na concepção geral de funções, proporcionando a
construção de um novo significado para o estudante, e até mesmo uma nova maneira de lidar com
situações problemas e a investigação de novos conceitos.
O ensino de função modular, na Educação Básica, bem como nas disciplinas de
introdução ao Cálculo e Fundamentos de Matemática, é uma grande oportunidade para
estabelecer estas conexões entre seus temas e com outras áreas de conhecimento, através de
atividades que favoreçam a investigação em Matemática.
A produção acadêmica em Educação Matemática no Brasil, no que diz respeito ao ensino
e aprendizagem de valor absoluto e função modular, apresenta poucos trabalhos específicos sobre
este tema, razão pela qual despertou interesse neste pesquisador. Na busca pelos trabalhos que
mais se aproximassem do objeto de estudo desta pesquisa, destacam-se três, sendo duas
dissertações defendidas no programa de Pós-graduação dos mestrado profissional em Ensino de
15
Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo e um artigo apresentado no VIII
Encontro Nacional de Educação Matemática.
A dissertação de mestrado apresentada por Umberto Almeida Silva intitulada "Análise da
abordagem de função adotada em livros didáticos de Matemática da Educação Básica" foi
apresentada no segundo semestre de 2007 no programa do mestrado profissional em Ensino de
Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. O autor buscou verificar quais são
as estratégias utilizadas pelos autores desses livros para apresentar a noção de função, se a
relação discreto/contínuo fica evidente na construção de gráficos, e se a conversão entre os
registros gráfico e algébrico ocorre nos dois sentidos. Para tanto, fez uma análise qualitativa de
cinco obras verificando que na grande maioria dos livros a conversão entre os registros gráfico e
algébrico não ocorre nos dois sentidos, e que as variáveis visuais pertinentes geralmente não são
levadas em conta, no esboço de gráficos.
No mesmo programa de Pós-graduação, Antonio dos Santos defendeu sua dissertação
intitulada "Revisando as funções do 1º e do 2º grau com a interatividade de um hiperdocumento"
no fim do ano de 2005. A pesquisa explorou as múltiplas interações que podem ser estabelecidas
quando se usa um software para o ensino de aprendizagem de funções. Os resultados mostraram
que a aprendizagem se tornou mais significativa com o uso do software, trazendo um incentivo a
mais para que os alunos estudem o conteúdo de funções do 1º e 2º graus.
O artigo “Formalização do conceito de função no Ensino Médio: uma seqüência de
ensino-aprendizagem” foi apresentado por Maria Isaura de Albuquerque Chaves e Hamilton
Cunha de Carvalho no VIII Encontro Nacional de Educação Matemática, realizado no estado de
Pernambuco em 2004. Nesta comunicação científica, os autores propõem uma forma de
aprendizagem mais significativa de funções. Sendo assim, a proposta inicia-se explorando a
16
noção intuitiva de funções para em seguida estudar situações em que ocorrem dependência entre
os dados. Finalmente, gráficos, tabelas e situações problemas se alternam na consolidação do
ensino e aprendizagem de funções.
A partir deste cenário de pesquisa, a problemática consistiu em saber como uma seqüência
didática, aplicada ao estudo de função modular e valor absoluto, usando a concepção e
organização curricular em rede, poderia estabelecer relações e interações com os diversos saberes
envolvidos na aprendizagem de funções no Ensino Médio.
Tendo em vista o problema de pesquisa, buscou-se propor uma seqüência didática para o
ensino e aprendizagem através da investigação e construção do conhecimento em função modular
e valor absoluto, utilizando a organização curricular em rede através da interpretação geométrica
em na reta numérica e no plano cartesiano.
Uma proposta similar foi apresentada por Friedlander (1995) em seu artigo sobre o ensino
de valor absoluto numa abordagem em espiral. Através de interpretações geométricas na reta
numérica e especialmente no plano cartesiano, ele propõe uma abordagem que contribui para
uma aprendizagem significativa de equações e inequações modulares sem a necessidade de
resolver pelo método algébrico, que em muitas situações é considerado mais longo e intrincado.
A partir do objetivo geral, fez-se necessária a elaboração de atividades investigativas
sobre o conceito e aplicações de função modular e valor absoluto para alunos do Ensino Médio.
Em seguida, ocorreu a aplicação do instrumento de pesquisa para posterior avaliação dessas
atividades tendo em vista a análise do aprendizado e a elaboração da seqüência didática para a
aprendizagem de função modular e do valor absoluto numa perspectiva curricular em rede.
Durante a aplicação das atividades, o uso do software de Geometria dinâmica Geogebra, que por
ser um software livre compatível com os sistemas Windows e Linux e por apresentar boa
interface e navegabilidade, contribuiu para a estruturação da seqüência didática.
17
A seqüência didática para o ensino de função modular e valor absoluto na perspectiva
curricular em rede é o produto desta pesquisa. As atividades que constituem a seqüência foram
revistas e adaptadas de acordo com as informações obtidas ao logo da pesquisa. A seqüência é
apresentada de forma integral nos anexos deste trabalho.
Verificou-se através das informações obtidas na fase de elaboração das atividades que
constituem a seqüência didática e durante a sua aplicação que a interação entre os diversos temas
intra-matemáticos e as conexões com temas extra-matemáticos contribui para uma aprendizagem
mais significativa do conceito de função modular.
No primeiro capítulo é apresentado o conceito de valor absoluto e função modular.
Através de uma abordagem em rede, são apresentadas situações problemas em que igualdades e
desigualdades modulares são resolvidas na reta numérica e no plano cartesiano.
No segundo capítulo, os Parâmetros Curriculares Nacionais são analisados tendo em vista
o ensino de função modular.
No capítulo seguinte, os temas valor absoluto e função modular são analisados quanto a
sua apresentação em alguns livros didáticos de Matemática para o Ensino Médio.
No quarto capítulo são apresentados fundamentos para a construção de uma rede
curricular em que a função modular é um dos nós de interação entre as diversas funções e outros
temas da Matemática, como a Geometria Analítica, através de atividades investigativas e da
formação de uma seqüência didática.
No quinto capítulo, a metodologia de pesquisa é apresentada. A seqüência didática é
analisada tendo em vista as possíveis interações formadas em relação a rede curricular que se
estabelece ao longo das atividades. Em seguida, as informações coletadas durante a aplicação das
quatro atividades são analisadas, mostrando os efeitos da seqüência sobre a aprendizagem de
valor absoluto e função modular.
18
Na conclusão, são apresentadas algumas considerações e recomendações a partir das
informações obtidas na pesquisa.
19
1 O CONCEITO DE FUNÇÃO E FUNÇÃO MODULAR
1.1 O CONCEITO DE FUNÇÃO
O conceito de função é um conteúdo que desperta mais interesse no ensino e
aprendizagem da Matemática. Devido a suas inúmeras aplicações na própria Matemática e em
outras áreas de conhecimento como a Física, Química, Informática e Biologia, entre outras, existe
uma tentativa de estudar o seu conceito com o foco na área de conhecimento em que se pretende
fazer a aplicação. Porém, limitar o conceito de função apenas às suas aplicações pode trazer
dificuldades na construção do seu significado.
Nesse contexto, percebe-se que o estudo do conceito de função nem sempre é proposto
com o rigor matemático necessário, resultando em diversos erros de concepção na aprendizagem
em relação a esse tema. A compreensão do conceito de função abre perspectivas para se fazer
aplicações consistentes como crescimento populacional, demanda e oferta de mercado,
movimento de uma partícula, ondas sonoras, harmonia musical entre outras.
Para se definir função é necessário compreender o significado de variável, incógnita e
parâmetro. Sobre essa necessidade, Usiskin (1995) propõe que na concepção da Álgebra como
estudo de relações de grandezas, sejam estudadas as noções de variável dependente e
independente a partir do significado de argumento (valores particulares do domínio de uma
função) e parâmetro. Sobre as idéias de função no estudo da Álgebra,
20
trata-se mais uma vez de uma questão da importância relativa da visão da Álgebra como
estudo de relações entre quantidades, em que a variável é manifesta predominantemente
como argumento, em comparação com os outros papéis da Álgebra: como a Aritmética
generalizada ou como provedora de meios para a resolução de problemas. (USISKIN,
1995, p.21)
Segundo Usiskin (1995), parâmetro é uma letra que representa um número do qual
dependem outros. Desse modo, ao analisar uma relação do tipo y = ax + b , entende-se por
parâmetros as letras a e b, se considerarmos que as variáveis são x e y.
Ao definir incógnita, Usiskin (1995) afirma que a letra é utilizada para simplificar e
resolver uma determinada situação problema proposta algebricamente. Assim, em uma equação
pode-se afirmar que a letra é apresentada como uma incógnita.
Para Courant (2000), ocorre com freqüência entes matemáticos que podem ser livremente
escolhidos a partir de um conjunto S de entes quaisquer. Assim, o autor denomina tal ente de uma
variável dentro do campo de variação ou domínio S. A utilização torna-se conveniente quando se
quer fazer afirmações envolvendo elementos escolhidos num conjunto equiprovável. O domínio
da variável não precisa ser necessariamente numérico e nem precisa conter um número infinito de
elementos.
A variável numérica, tipo de variável abordada nesta pesquisa, pode apresentar um
domínio de variabilidade constituído por um intervalo da reta real. Segundo Courant (2000), a
variável numérica, nesta situação, denomina-se variável contínua no intervalo, podendo o
domínio ser prolongado até o infinito.
Sobre os tipos de variável, Caraça (1998) afirma que a variável é o que for determinado
pelo conjunto numérico que a representa e que dois casos particularmente importantes são:
a)
O domínio é o conjunto dos números reais compreendidos entre dois números reais
a e b dados, ou, como correntemente se diz: o conjunto dos números reais do
intervalo (a,b); a variável x diz-se então variável contínua (porque o conjunto dos
21
números reais é o equivalente aritmético do contínuo geométrico), ou simplesmente
variável real.
b) O domínio é o conjunto infinito dos números naturais 1, 2, 3, ...; utilizaremos, neste
caso, o símbolo n e designaremos a variável por variável inteira. (CARAÇA, 1998,
p.120)
Este tipo de distinção entre variável contínua e inteira se faz necessária para a
compreensão de princípios da função como a continuidade, a imagem e o limite de uma função.
A não distinção destes dois casos pode resultar em dificuldades no esboço gráfico de uma função,
determinação de seu domínio e conjunto imagem e propriedades de funções como translação de
eixos e gráficos de funções transformadas.
Essa metodologia para o estudo do conceito de função a partir da definição de variável é
proposta por Courant (2000) e Caraça (1998). Ambos optam por sistematizar o significado de
variável para não recorrer a manipulações que envolvem produto cartesiano e relação entre dois
conjuntos. Assim,
Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz se que y é
função de x e escreve-se y = f(x), se entre as duas variáveis existe uma correspondência
unívoca no sentido x → y . A x chama-se variável independente, a y variável
dependente. (CARAÇA, 1998, p.121)
Segundo Courant (2000), o conceito de função possui destaque no estudo da Matemática
devido a suas aplicações em outras áreas de conhecimento como a Física, uma vez que leis físicas
são modelos matemáticos que expressam dependência entre grandezas. Logo, para este autor,
a função matemática é uma lei que rege a interdependência de quantidades variáveis.
Considerando o plano cartesiano, sistema formado no plano por dois eixos
perpendiculares tais que o semi-eixo positivo Ox se pode levar à coincidência como o semi-eixo
positivo Oy, por uma rotação de 90º no sentido anti-horário, é possível estabelecer uma definição
geométrica de função. Para Caraça (1998),
22
Seja P um ponto qualquer da curva e tiremos, por ele, perpendiculares aos eixos, as
quais os encontram nos pontos A e B; sejam a e b os números reais (relativos) iguais,
respectivamente, às medidas algébricas de OA e OB . Suponhamos feita uma
construção análoga para cada ponto da curva e façamos corresponder a cada número a o
número b(...) Fica assim definida uma correspondência do conjunto dos aa – variável x
– ao conjunto dos bb – variável y – fica, portanto, definida a função y(x). (CARAÇA,
1998, p.125)
Figura 1: definição geométrica de função segundo Caraça (1998).
A partir desta definição de função proposta por Caraça (1998) fica bem perceptível que a
curva no plano cartesiano, para representar uma função, só pode ser interceptada uma única vez
por cada reta paralela ao eixo Oy, garantindo a correspondência unívoca no sentido x → y .
A definição geométrica de uma função remete ao conceito de imagem geométrica de uma
função, que segundo Courant (2000), é o conjunto dos pontos no plano cartesiano cujas
coordenadas (x,y) estão na relação y = f (x) .
Sendo assim, o conceito de função, ao ser abordado tanto na forma algébrica quanto na
forma geométrica, é um facilitador para poder estabelecer vínculos com todos os campos da
23
Matemática e proporcionar interpretações em outras áreas de conhecimento, como a Física,
Química e Biologia, por exemplo. Para Braga (2006), o ensino de função é um dos fundamentos
do Ensino Médio e sua abordagem necessita ser articulada com uma metodologia que realmente
possibilite a concepção do conceito de função sem os vícios presentes do tecnicismo, ainda
presente nas escolas. Assim, “a metodologia e o conteúdo estão entrelaçados enquanto
componentes escolares. E mais, o sucesso da disciplinarização de um saber no ambiente escolar
está diretamente relacionado à adequação e à eficiência desse entrelaçamento”. (BRAGA, 2006,
p. 147).
O estabelecimento de uma rede curricular entre Álgebra e Geometria pode ser
consolidado no estudo de funções. A definição de função, ao ser abordada algebricamente e
geometricamente, permite a compreensão de propriedades gráficas da função, além de relacionálas com outros conceitos como domínio, imagem, continuidade, máximo e mínimo, intervalos em
que a função é crescente ou decrescente, entre outros.
1.2 O CONCEITO DE MÓDULO
No estudo de função modular, o impacto dessa abordagem pode facilitar a compreensão
da definição de valor absoluto, pois o conceito de módulo ao ser aplicado ao conceito de função
proporciona uma abordagem bem articulada e em rede entre Álgebra e Geometria. Ao definir
módulo, sua aplicação em equação modular e inequação modular pode tornar-se mais promissora
em termos de ensino e aprendizagem quando a abordagem não foca apenas a intrincadas
resoluções algébricas, mas também a interpretações geométricas em IR e IR² (na reta numérica e
24
no plano cartesiano, respectivamente) que em muitas situações, são métodos mais simples de
resolução e possibilitam uma melhor visualização do comportamento gráfico de função e maior
compreensão da resoluções de equações e inequações modulares.
O conceito de módulo pode ser abordado de diversas maneiras, dependendo do nível
escolar. Na abordagem espiral proposta por Friedlander (1995), o valor absoluto é estudado em
várias etapas do ensino de Álgebra. Segundo o autor, em cada etapa a seqüência desenvolve a
capacidade do aluno em compreender e visualizar situações problemas de complexidade
crescente. Essa abordagem em espiral associada à interação com a Geometria Analítica favorece
a compreensão da resolução de problemas que envolvem o módulo de um número real.
Em séries com predominância do pensamento pré-algébrico, em geral a abordagem
consiste numa análise aritmética com pequenas interpretações geométricas na reta numérica,
quase sempre, relacionadas a distância entre dois pontos ou mensurabilidade de um segmento.
Para definir valor absoluto de um número, Caraça (1998) define número relativo como a
diferença entre dois números reais quaisquer, que pode ser chamada positiva, nula ou negativa,
conforme o valor dos dois números reais tomados.
Em seguida, Caraça (1998) define valor absoluto como um número real independente de
suas qualidades no campo relativo. Para indicar o valor absoluto de um número, encerra-se esse
número por dois traços verticais.
Outra maneira de definir o valor absoluto de um número é apresentada por Lima (1997),
que propõe que o valor absoluto de um número x é o maior dos números x e –x.
A interpretação da definição de valor absoluto pode estabelecer aplicações em outras
áreas da Matemática. Na Aritmética, existe uma propriedade da raiz com índice par que
25
essencialmente depende da definição de valor absoluto. Assim,
n
x n = x se x ∈ IR e n é natural
par diferente de zero.
Aplicado à Geometria Analítica, o valor absoluto de um número real pode ser interpretado
como a distância entre dois pontos na reta numérica (IR). Se considerarmos dois pontos da reta
numérica, X e Y, com respectivas coordenadas x e y, temos que a distância do ponto X ao ponto
Y é dado por x − y .
Figura 2: a interpretação geométrica da definição de Módulo na reta numérica.
Segundo Lima (1997), a interpretação de valor absoluto como distância, no eixo real,
entre dois pontos de coordenadas estabelecidas permite visualizar intuitivamente o significado e
as resposta de algumas questões envolvendo módulos, como a resolução de equações e
inequações modulares.
1.3 O CONCEITO DE FUNÇÃO MODULAR
A definição de função modular permite a aplicação do conceito de módulo no plano
cartesiano. Essa aplicação abre perspectivas para inúmeras relações e aplicações do conceito de
módulo com o conceito de função, gráfico de uma função, função composta, translação de eixos,
distância, resolução de equações e inequações na reta numérica e no plano cartesiano, condição
26
de existência para propriedades aritméticas ou aplicações em outras áreas de conhecimento que
são válidas apenas para números estritamente positivos.
A definição da função modular básica¹ decorre diretamente da definição de módulo.
Porém, torna-se essencial compreender que em certas funções é necessário o uso de duas ou mais
sentenças. É nesse caso que se encontra a função modular básica, dada por
 x, se x ≥ 0
f ( x) = x = 
.
− x, se x < 0
Por se tratar de uma função definida por duas sentenças, a representação gráfica desta
função no plano cartesiano consiste na reta bissetriz do 1º quadrante para valores positivos do
domínio da função f, e na reta bissetriz do 3º quadrante para valores negativos do domínio da
função f. O domínio da função é o conjunto de todos os números reais, porém sua imagem é
formada por todos os números reais não negativos.
Figura 3: O gráfico da função modular básica.
___________
¹ A nomenclatura função modular básica, neste trabalho, será empregada para a função valor absoluto em sua
forma básica, isto é, f(x) = |x|.
27
Para estudar as transformadas oriundas da função modular é possível fazer aplicações de
função composta e translação de eixos para a construção de gráficos. Esses gráficos, em sua
grande maioria, podem ser determinados através de princípios geométricos, como a simetria,
principalmente em relação ao eixo Ox, e eventualmente em relação ao eixo Oy.
Ao esboçar, por exemplo, o gráfico da função g ( x ) = x 2 − 4 x , determina-se o esboço
gráfico da função f ( x) = x 2 − 4 x para em seguida transformar os pontos de ordenadas negativas
em seus simétricos em relação ao eixo das abscissas, conservando os pontos de ordenadas não
negativas.
Neste caso, aproveita-se do estudo da função do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola
caracterizada por uma reta diretriz paralela ao eixo das abscissas, para a partir daí usar o princípio
de simetria e reflexão.
Figura 4: Exemplo de gráfico de Função Modular transformada com simetria em relação ao eixo Ox.
28
2
2
Para esboçar o gráfico de uma função do tipo h( x ) = x − 4 x , pela propriedade x = x 2
e pela definição de módulo de um número real, temos duas sentenças a considerar:
 x 2 − 4 x se x ≥ 0
f ( x) =  2
 x + 4 x se x < 0
Neste caso, se faz necessária a representação de cada uma das sentenças nas condições de
existência já determinadas em seu domínio. O gráfico resultante é um bom exemplo de situação
em que se encontra uma simetria em relação ao eixo Oy. Além disso, nem todos os valores do
conjunto imagem são não negativos, uma vez que a equação da função f ( x) é formada por uma
subtração envolvendo valores absolutos, cuja diferença pode resultar em números positivos e
negativos.
Figura 5: Exemplo de gráfico de Função Modular transformada com simetria em relação ao eixo Oy.
29
Apesar da definição de módulo indicar que o valor absoluto de um número é sempre
positivo, em algumas situações da função modular percebe-se que o conjunto imagem pode
conter valores negativos.
O gráfico da função f ( x) = − x 2 − 4 x é um exemplo de esboço em que o conjunto
imagem é formado por números não positivos. Para construir o gráfico, basta esboçar o gráfico da
parábola f ( x) = x 2 − 4 x e em seguida, por simetria em relação ao eixo Ox, transformar os pontos
de ordenadas não positivas em pontos de ordenadas não negativas, determinando o gráfico de
f ( x) = x 2 − 4 x . Finalmente, o gráfico de f ( x) = − x 2 − 4 x é obtido pelo mesmo princípio de
simetria em relação ao eixo Ox, porém transformando os pontos de ordenadas não negativas do
gráfico da função f ( x) = x 2 − 4 x em pontos de ordenadas não positivas.
Figura 6: Seqüência relativa à construção do gráfico de
do gráfico da parábola
f ( x) = − x 2 − 4 x (gráfico da esquerda) a partir
f ( x) = x 2 − 4 x (gráfico da direita) e do gráfico de f ( x) = x 2 − 4 x (central).
30
A construção do gráfico de f ( x) = − x 2 − 4 x pode ser feita a partir do gráfico da parábola
f ( x) = x 2 − 4 x , transformando por simetria em relação ao eixo Ox, os pontos de ordenadas não
negativas em pontos de ordenadas não positivas.
Figura 7: Exemplo de gráfico de Função Modular transformada com o conjunto Imagem formado por
números não positivos.
Para justificar a importância da construção do gráfico de uma função modular e sua
família de funções transformadas, Friedlander (1995) aponta suas aplicações na resolução de
equações e inequações modulares através da representação gráfica no plano cartesiano além da
utilização significativa das habilidades em trabalhar com simetria, reflexão e translação.
31
1.4 APLICAÇÕES DO CONCEITO DE MÓDULO E FUNÇÃO MODULAR
1.4.1 Aplicação do conceito de módulo e função modular no plano cartesiano
Uma das aplicações do conceito de função modular consiste em resolver geometricamente
equações e inequações modulares no plano cartesiano. Sobre este tipo de resolução, Friedlander
(1995) afirma que
O sistema de coordenadas cartesianas, contudo, tem algumas vantagens:
* permite-nos resolver inequações com valor absoluto de maior complexidade. (...)
* utiliza mais ou menos a mesma estratégia em todos os casos. Ademais, ela poderá ser
utilizada posteriormente para resolver inequações de qualquer tipo. (...)
* é um dos poucos casos do currículo matemático em que uma resolução gráfica é
menos tediosa e consome menos tempo que a resolução algébrica. (...)
* utiliza de maneira significativa a habilidade em trabalhar com simetria, reflexão e
translação. (FRIEDLANDER, 1995, p.253)
Para revolver uma inequação modular, o mesmo autor propõe separar cada desigualdade
em duas partes, separadas pelo sinal da desigualdade e representar o gráfico das funções que
cada parte representa. A partir dos pontos de interseção entre os gráficos, caso existam, se
determina a solução. Se não existir ponto de interseção, basta fazer uma comparação direta entre
as funções e determinar se ambas satisfazem a inequação modular.
Esta aplicação em inequação modular proposta por Friedlander (1995) pode ser utilizada
para a resolução de equações modulares, sendo a solução dada pelos pontos de interseção entre os
gráficos obtidos pela igualdade modular. Assim, a rede estabelecida entre Álgebra e Geometria se
consolida por meio dessa aplicação do conceito de função modular, que por sua vez, na
32
representação gráfica, pode utilizar todas as propriedades das funções do 1º e 2º grau,
exponencial e logarítmica e trigonométricas. Além dessas propriedades, a interpretação
geométrica da interseção entre gráficos de duas ou mais funções e o conceito de distância estão
presentes neste tipo de resolução integrada entre Álgebra e Geometria.
1.4.2 Aplicação do conceito de módulo e função modular na reta numérica
O conceito de Módulo pode ser aplicado como a distância entre dois pontos de
coordenadas quaisquer, como apresentado anteriormente. Esta aplicação possibilita a resolução
de equações do tipo x − a = b , com b ≥ 0 , sendo que na reta numérica, esta igualdade significa
que o número x está a uma distância b do número a.
Ainda nesta linha de aplicação na reta numérica, Lima (1997) propõe que
Se tivermos uma desigualdade, como
x − a < ε , com ε > 0 , isto significa
ε , logo x deve estar entre
{x ∈ IR; x − a < ε } é o intervalo aberto
que a distância de x ao ponto a é menor do que
a − ε e a + ε . Portanto o conjunto
(a − ε , a + ε ) . (LIMA, 1997, p.73-74)
A interpretação geométrica na reta numérica favorece a compreensão do uso dos
conectivos lógicos nas desigualdades modulares. Neste caso, é possível perceber que ao
representar o conjunto {x ∈ IR; x − a < ε }, obtém-se o intervalo aberto (a − ε , a + ε ) , ou seja,
{x ∈ IR; x > a − ε e x < a + ε }.
33
Ao representar o conjunto
(− ∞, a − ε )
{x ∈ IR; x − a > ε },
obtém-se dois intervalos abertos:
ou (a + ε ,+∞ ) . A união destes dois intervalos determina a representação na reta
numérica do conjunto dado, ou seja, {x ∈ IR; x < a − ε ou x > a + ε }.
A partir da interpretação na reta numérica de problemas que envolvem igualdades e
desigualdades modulares, é possível determinar o conjunto solução de equações e inequações que
envolvem adição de módulos sem a necessidade de recorrer à resolução algébrica por casos.
Essas múltiplas abordagens geométricas, tanto na reta numérica como no plano
cartesiano, contribui para o estudo de definições e aplicações em Matemática. O conceito de
distância na Geometria Analítica e suas aplicações para casos como distância entre um ponto e
uma reta, a definição de limite de uma função e a interpretação geométrica da solução de sistema
lineares em IR² e IR³ são alguns exemplos dessa contribuição.
Enfim, o estudo do conceito de Módulo e Função Modular é uma oportunidade para
estabelecer ligações entre as funções fundamentais estudadas, em especial, no primeiro ano do
Ensino Médio e aplicação de propriedades de Função e propriedades geométricas como simetria,
reflexão e translação usadas também em Geometria Analítica. Ao associar a Álgebra e a
Geometria, especialmente pela construção de gráficos e sua análise interpretativa, a Função
Modular lança perspectivas para uma integração das diversas partes em que se divide o conteúdo
de Funções e Geometria Analítica, construindo uma rede de conhecimento em que se interliga as
diversas funções, suas aplicações e propriedades geométricas à definição de valor absoluto de um
número real.
34
2 OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS E A FUNÇÃO
MODULAR NOS LIVROS DIDÁTICOS DA EDUCAÇÃO BÁSICA
2.1 PARÂMETROS CURRICULARES
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ministério da Educação é um documento com
diretrizes que possuem como principal objetivo a organização de uma base nacional comum. O
documento propõe que esta base nacional comum deve ser completada pelos sistemas de ensino e
cada estabelecimento escolar, tendo em vista as diversidades regionais e suas especificidades,
demandas da sociedade, da cultura, da economia e do próprio aluno.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (2006), o planejamento e desenvolvimento
orgânico do currículo supera a organização por disciplinas buscando a integração e a articulação
dos conhecimentos em processo permanente de interdisciplinaridade e contextualização.
O documento apresentado aos professores contém estudos e investigações iniciadas em
2004, através de grupo de trabalho formado por pesquisadores na área de educação. Para cada
disciplina foi elaborado um capítulo específico tendo em vista favorecer os diálogos entre as
áreas de conhecimento.
Através de um documento preliminar, foram realizados cinco seminários regionais e um
seminário nacional, e a partir dessa produção, foram feitos debates e análises com a participação
das Secretarias de Educação, professores e em alguns casos, até representantes dos alunos.
Na apresentação das diretrizes curriculares nacionais, encontra-se a seguinte definição de
currículo:
35
O currículo é a expressão dinâmica do conceito que a escola e o sistema de
ensino têm sobre o desenvolvimento dos seus alunos e que se propõe a realizar
com e para eles. Portanto, qualquer orientação que se apresente não pode chegar
à equipe docente como prescrição quanto ao trabalho a ser feito.
(PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 2006, p.9)
Apesar de ser amplamente proposta a participação dos professores no Projeto Pedagógico
e no currículo escolar, questiona-se em que medida o professor realmente participa da elaboração
das propostas pedagógicas da escola, em especial, da discussão e constituição do currículo real
que se efetiva no interior da escola e de cada sala de aula. E caso esta participação não ocorra, é
possível ainda assim garantir o currículo como a expressão dinâmica da concepção e
desenvolvimento dos alunos?
Os Parâmetros Curriculares Nacionais propõem uma organização curricular que favorece
o diálogo entre as áreas de conhecimento. Sendo assim, percebe-se o crescente discurso de
incentivo a propostas pedagógicas multidisciplinares e interdisciplinares. Neste sentido, Zabala
(1995) afirma que:
“A interdisciplinaridade é a interação entre duas ou mais disciplinas, que pode ir
desde a simples comunicação de idéias até a integração recíproca dos conceitos
fundamentais e da teoria do conhecimento, da metodologia e dos dados da
pesquisa. Estas interações podem implicar transferências de leis de uma
disciplina para outra e, inclusive, em alguns casos dão lugar a um novo corpo
disciplinar, como a bioquímica ou a psicolingüística. Podemos encontrar esta
concepção na configuração das áreas de Ciências Sociais e Ciências
Experimentais no Ensino Médio e da área de Conhecimento do meio no Ensino
Fundamental” (ZABALA, 1995, p.143)
Neste contexto de diálogo entre as áreas de conhecimento, os Parâmetros Curriculares
Nacionais trazem a Matemática como desenvolvimento de habilidades relacionadas à
representação, compreensão, comunicação, investigação e contextualização sociocultural.
Os três últimos documentos sobre Parâmetros Curriculares Nacionais publicados pelo
Ministério da Educação foram os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio de 2002
36
(PCNEM), as Orientações Curriculares Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais
do Ensino Médio de 2002 (PCN+) e os Parâmetros Curriculares Nacionais de 2006. Em todos
eles, existe uma divisão do programa de Matemática em quatro blocos: Números e operações;
Funções; Geometria e Análise de dados e probabilidade com a recomendação de buscar constante
articulação entre eles.
Ao analisar os Parâmetros Curriculares Nacionais e seus documentos complementares de
2002 e 2006 percebe-se que em Números e as operações fundamentais existe uma preocupação
em capacitar os alunos a resolver problemas do cotidiano que envolvem as propriedades
aritméticas, porcentagem, proporcionalidade e unidades de medidas. Apesar de não citar as
propriedades e definições para trabalhar no campo numérico, é inegável a necessidade de
introduzir o conceito de módulo para estas situações problemas, especialmente as que envolvem
princípios econômicos e por essa razão, são definidas para números estritamente positivos.
Ainda no campo numérico, problemas que envolvem unidades de medidas aplicadas a
Geometria podem abranger o conceito de distância que pode ser bem explorada na série inicial do
Ensino Médio com a interpretação geométrica na reta numérica do conceito de Módulo. A partir
daí, inúmeras propriedades podem ser estudadas através da articulação entre Aritmética, Álgebra
e Geometria, tão amplamente apregoada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ministério
da Educação.
Na apresentação do estudo de funções, a função modular é ausente entre as funções que
devem ser exploradas. Existe citação da função afim, quadrática, exponencial, logarítmica e
trigonométricas com detalhadas sugestões de abordagem.
A ausência da função modular é uma oportunidade perdida de articular ainda mais o
conteúdo de função com outras áreas de conhecimento, em especial a Geometria e estabelecer
uma rede de conhecimento onde a função modular desempenharia o papel de articuladora das
37
demais funções fundamentais estudadas com a Geometria, Aritmética e em alguns casos, com a
análise de dados e probabilidade.
A função modular básica, ao ser definida como função formada por duas ou mais
sentenças, possui uma extensa e variada família de curvas, possibilitando uma aplicação das
propriedades das funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logarítmica na construção e
análise de gráficos e a aplicação de princípios como a reflexão, simetria e translação.
A ausência nominal do estudo de valor absoluto não implica em suprimir tal assunto, mas
pelo contrário, possibilita o estudo de Módulo no momento em que o professor julgar ideal, visto
que os Parâmetros Curriculares Nacionais são flexíveis quanto a inclusão de temas pertinentes ao
ensino de Matemática.
A falha dos Parâmetros Curriculares Nacionais na omissão da função modular impede o
estabelecimento de elos da rede conhecimento nas interações entre Álgebra, Geometria e
Aritmética. Uma vez que tal conteúdo é omitido, como explicar o conceito de distância em
Geometria Analítica ou até mesmo como compreender o conceito de módulo de um número
complexo para em seguida escrevê-lo na forma trigonométrica a partir da forma algébrica?
O estudo do valor absoluto de um número real possui algumas importantes aplicações que
já podem ser exploradas no Ensino Médio. Em Estatística, pode ser aplicado no cálculo do desvio
médio absoluto, assim como em Física pode ser aplicado ao conceito de distância. Na própria
Matemática, no que diz respeito ao estudo de distância entre dois pontos e entre um ponto e uma
reta na Geometria Analítica.
Estas inúmeras aplicações e interações oriundas do estudo de valor absoluto de um
número real reforçam a argumentação de que a função modular é um assunto do currículo escolar
que contribui para a interação da Matemática com outras áreas de conhecimento assim como
aplicações específicas em outros temas. Sobre a organização curricular,
38
“um desenho curricular deve ser composto por uma pluralidade de pontos,
ligados entre si por uma pluralidade de ramificações/ caminhos, em que nenhum
ponto (ou caminho) seja privilegiado em relação ao outro, nem univocamente
subordinado a qualquer um. Os caminhos percorridos embora lineares, não
devem ser vistos como os únicos possíveis; um percurso pode incluir tantos
pontos quanto desejarmos e, em particular, todos os pontos da rede”. (PIRES,
2000, p. 204)
Ao ser composto por uma pluralidade de pontos, o desenho curricular abre múltiplas
possibilidades de caminhos e interações entre as diversas áreas de conhecimento. Essa
pluralidade também favorece a interação entre os diversos temas presentes numa área de
conhecimento, contribuindo para a consolidação de aplicações significativas no processo ensino e
aprendizagem.
2.2 OS LIVROS DIDÁTICOS
O livro didático no processo ensino e aprendizagem em Matemática contribui para o
estabelecimento do referencial teórico e conseqüentemente, abre perspectivas para aplicações
dentro da própria Matemática assim como outras áreas de conhecimento. Por essa razão, a
seleção do livro didático precisa ser precedida de uma análise que justifique a opção escolhida
tendo em vista os objetivos gerais e específicos da escola na qual o educador está inserido.
Em 2001, coordenados por Elon Lages Lima, uma equipe de professores e pesquisadores
avaliaram livros de Matemática do Ensino Médio. Essa equipe foi formada por Augusto César
Morgado, Edson Durão Júdice, Eduardo Wagner, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Jose Paulo
Quinhões Carneiro, Maria Laura Magalhães Gomes e Paulo Cezar Pinto Carvalho. Do trabalho
39
da equipe organizado pelo editor Elon Lages Lima surgiu o livro Exame de textos que está
disponível gratuitamente, pela Internet, no sítio da Sociedade Brasileira de Educação Matemática.
A determinação de parâmetros de avaliação contribui para uma análise imparcial e
justifica a escolha do livro didático. Sobre esta determinação de parâmetros, Lima (2001) propõe
três componentes básico do ensino, a saber: conceituação, manipulação e
aplicação. Para
estabelecer uma interação entres esses componentes básicos do ensino, a estruturação curricular
da Matemática, ao ser organizada em rede, pode estabelecer elos de ligação entres os seus
diferentes saberes.
O currículo em rede proporciona fundamentos para a conceituação através de vínculos
naturais presentes no raciocínio lógico matemático. Em muitas situações, um conceito é oriundo
de propriedades ou definições de outro assunto. Esses vínculos são consolidados através de
manipulações cada vez mais elaboradas que culminam em aplicações simples do cotidiano ou até
mesmo mais elaboradas, quer seja de caráter científico ou técnico.
A escolha do livro didático é um momento de decisão pois, segundo Lima (2001)
“o livro didático é, na maioria dos casos, a única fonte de referência com que conta o
professor para organizar suas aulas, e até mesmo para firmar seus conhecimentos e
dosar a apresentação que fará em classe. Assim, é necessário que esse livro seja não
apenas acessível e atraente para o aluno, como também que ele constitua uma base
amiga e confiável para o professor, induzindo-o a praticar os bons hábitos de clareza,
objetividade e precisão, além de ilustrar, sempre que possível, as relações entre a
Matemática e a sociedade atual”. (LIMA, 2001, p.1)
Para analisar os assuntos função modular e valor absoluto nos livros didáticos utilizados
nas escolas do Ensino Médio, serão usados os três componentes básicos do ensino, propostos por
Lima (2001): conceituação, manipulação e aplicação.
A conceituação compreende formulação de definições, elaboração de problemas,
interpretação em diferentes contextos, além de favorecer, segundo Lima (2001), o
40
estabelecimento de conexões entre diferentes conceitos. Esse parâmetro está ligado ao que Zabala
(1998) denomina conteúdo conceitual.
A manipulação está ligada à operacionalização e instrumentação de propriedades
algébricas, aritméticas e geométricas, bem como definições e características. Não se trata
exclusivamente de técnicas, mas de conteúdo procedimentais, que segundo Zabala (1998), referese ao saber fazer.
A aplicação compreende o estudo de situações problemas em que a Matemática é usada
tanto em soluções triviais de problemas do cotidiano até solução mais elaboradas usadas pela
comunidade científica. Zabala (1998) refere-se a este componente básico como conteúdo
atitudinal.
Os capítulos analisados nos livros selecionados neste trabalho foram escolhidos levando
em conta dois critérios e considerando-se apenas o primeiro volume da coleção ou o volume
único. A restrição quanto ao volume se justifica pela análise do tema valor absoluto e função
modular presentes nos volumes anteriormente citados.
O primeiro critério é a presença na lista de livros que foram recomendados pelo
Ministério da Educação no Plano Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM/
2007), segundo portaria 1818 de 13 de novembro de 2006. Nesta lista, foram selecionados livros
dos seguintes autores: Dante (2007), Bonjorno (2000), Smole (2003) e Paiva (2002).
O segundo critério é a utilização em algumas escolas da cidade de Belo Horizonte. Foram
escolhidas duas escolas aleatoriamente que foram questionadas sobre qual livro didático
utilizado. Sendo assim, mais dois autores foram incluídos nessa análise de livros didáticos, a
saber: Iezzi (2006) e Mello (2005).
41
2.3 ANÁLISE DE TEXTOS
2.3.1 Matemática – Contextos e Aplicações – Luiz Roberto Dante – Editora Ática – 2007
O livro didático de Dante (2007), com o título: Matemática – contexto e aplicações –
volume único, apresenta o assunto função modular logo após a abordagem inicial de conceitos e
propriedades de função, inclusive função afim e quadrática. O capítulo dedicado ao estudo do
valor absoluto e função modular apresenta a definição de módulo e propõe apenas uma
interpretação dessa definição na reta numérica.
Em seguida, o autor lista algumas propriedades do valor absoluto seguido de alguns
exemplos e uma aplicação do conceito de distância na reta numérica. A representação do gráfico
da função modular é feita de forma direta, através da escolha de cinco valores para a abscissa,
preferencialmente simétricos e logo em seguida alguns gráficos são construídos explorando a
translação de eixos e a simetria reflexiva em relação ao eixo Ox.
No estudo de equações modulares, Dante (2007) explora apenas duas situações básicas no
plano cartesiano, sendo todos os demais exemplos de cunho exclusivamente algébrico.
As inequações são apresentadas apenas na sua forma de resolução algébrica.
Em relação a conceituação, Dante (2007) apresenta a definição de valor absoluto para em
seguida explorar as propriedades, sem demonstrá-las. A aplicação do conceito de valor absoluto
em distância é feita de forma superficial, sem estabelecer interações com gráficos da função
modular ou resolução de equações e inequações.
42
A manipulação se dá no campo algébrico através de situações problemas básicas e não
existe, a não ser em dois momentos pouco explorados, conexão entre Álgebra e Geometria.
Quando a manipulação é feita geometricamente, via construção de gráficos no plano cartesiano,
as propriedades são apresentadas visualmente com poucos comentários.
2.3.2 Matemática – Ensino Médio – Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz – Editora
Saraiva – 2003
O livro Matemática – Ensino Médio – volume 1, de Smole (2003) apresenta o conceito de
módulo introduzido por pequenas contextualizações para em seguida explorar algumas
propriedades, que segundo a autora, são usadas na resolução de equações e inequações
modulares. Não se percebe nenhum incentivo ou oportunidade de estabelecimento de interações
entre a Álgebra e Geometria.
Quanto a manipulação, sem nenhuma demonstração ou exploração dos diversos casos de
resolução de equações e inequações, Smole (2003) propõe exercícios aleatórios de revisão sem
qualquer vínculo com o assunto do capítulo. Ao final, uma oportunidade de explorar a aplicação
de módulo em estatística se resume a um pequeno comentário, sem qualquer outro tipo de
exploração.
43
2.3.3 Matemática – Conceitos, Linguagem e Applicações – Manoel Paiva – Editora
Moderna – 2002
Para apresentar a definição de módulo de um número real, Paiva (2002), em seu livro
didático: Matemática – conceitos, linguagem e aplicações – volume 1, define a distância entre
dois pontos do eixo real. Ao explorar alguns exemplos de distância e módulo, lista algumas
propriedades com as respectivas explicações, simbologia e em algumas delas, exemplos.
A aplicação feita do conceito de módulo é a mesma proposta por Smole (2003), porém
através de uma situação problema.
Quanto a manipulação, o estudo do gráfico da função modular contém uma regra prática
que pode induzir ao leitor generalizar que a imagem da função modular básica, qualquer que seja
a função transformada estudada, é sempre positiva.
A resolução de equações e inequações modulares se conduz pela via algébrica, exceto por
uma atividade proposta. E em todos os casos, tratam-se de situações básicas sem explorar
conceitos vistos anteriormente e sem prosseguir na linha inicial de aplicar o conceito de valor
absoluto através da interpretação de distância.
44
2.3.4 Matemática – Uma nova abordagem – José Roberto Bonjorno e José Ruy Giovanni –
Editora FTD – 2000
No primeiro volume da coleção Matemática – uma nova abordagem – Bonjorno (2000)
apresenta a definição de módulo de modo formal logo no início do capítulo. Propõe alguns
exemplos e uma breve aplicação sobre a ordenação na reta numérica.
A função modular, assim como a resolução de equações e inequações, é apresentada por
exemplos, através do princípio de função formada por várias sentenças, assunto este ausente na
obra. Percebe-se uma única tentativa de associar a resolução de equações e inequações modulares
com a representação gráfica no plano cartesiano.
Sem aplicações, o livro didático do Bonjorno (2000) apresenta pouca manipulação de
propriedades operatórias e gráficas, que pode ser traduzida pela indução ao leitor em aceitar que a
imagem da função modular é sempre positiva.
2.3.5 – Matemática – Construção e Significado – José Luiz Pastore Mello – Editora
Moderna – 2005
Em seu livro didático na versão volume único, Mello (2005) apresenta a função modular
antes do estudo das funções polinomiais e logo a seguir de funções definidas por mais de uma
sentença. Devido a esta inusitada disposição da obra, o valor absoluto e a função modular são
45
estudados de forma superficial sem qualquer conexão entre Álgebra e Geometria e sem
apresentar nenhum aplicação.
O autor apresenta a construção gráfica da função modular através da indiscriminada
atribuição de valores para a abscissa sem qualquer interação com o assunto anterior, que é a
função formada por várias sentenças.
Durante o estudo de funções polinomiais, o autor propõe algumas aplicações à função
modular, momento em que é estudada a inequação modular através de casos simples.
2.3.6 – Matemática – Ciências e Aplicações – Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David
Degenszajn, Roberto Perigo e Nilze de Almeida – Editora Atual – 2006
Em seu livro didático Matemática – ciências e aplicações – volume 1, Iezzi (2006) incia o
estudo de função modular com a definição de função formada por várias sentenças e inúmeros
exemplos e situações problemas em que este tipo de função pode ser aplicada.
Para definir módulo, Iezzi (2006) recorre a propriedade da raiz quadrada de um número
elevado ao quadrado. Desse modo, ele apresenta a definição sem estabelecer qualquer aplicação a
distância na reta numérica.
A função modular é explicada em sua forma básica e em seguida, as transformadas são
estudadas através de função composta e translação de eixos. Porém, o estudo gráfico é feito
apenas por meio de exemplos.
46
Em equações e inequações modulares, a resolução se restringe ao modo algébrico e a
situações básicas. Não existe nenhum incentivo por parte do autor em promover interações entre
Álgebra e Geometria. Não existe aplicações em outras áreas de conhecimento.
2.4 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Em todos os livros didáticos analisados, percebe-se uma exposição do assunto valor
absoluto e função modular sem qualquer preocupação em estabelecer as possíveis conexões entre
Álgebra e Geometria. Em alguns livros percebe-se uma ou duas situações problemas em que se
propõe a resolução de equações e inequações modulares no plano cartesiano. Em nenhum caso
foi explorada esta metodologia ou a resolução na reta numérica.
Quanto a conceituação, existem em alguns casos graves equívocos referentes a
representação gráfica da função modular e suas transformadas, especialmente no que diz respeito
a imagem da função. A grande maioria dos livros pode induzir o leitor a concluir que a função
possui imagem sempre positiva por apresentar um número muito reduzido de situações em que a
imagem é formada também por número não positivos.
No que diz respeito a manipulação, as obras se prendem a resoluções algébricas de casos
básicos. A grande maioria das propriedades não são demonstradas e não tem seu uso incentivado
em equações e inequações.
As aplicações propostas pelos autores são sintéticas e em grande parte, desconexas do
assunto que está sendo discutido. Algumas aplicações em Física e Estatística são pouco
47
exploradas e suas conexões com o assunto se resumem a exemplos aritméticos, sem abordar as
suas interpretações algébricas e geométricas.
Sendo assim, percebe-se que a proposta de diálogo entre as áreas de conhecimento,
presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais assim como a organização curricular
favorecendo a interação entre Álgebra e Geometria não é plenamente seguida pelos autores em
seus livros didáticos. Existe uma forte tendência de abordar métodos algébricos e abandonar
interpretações geométricas.
48
3 O CURRÍCULO EM REDE – A ATIVIDADE INVESTIGATIVA E A
SEQUENCIA DIDÁTICA
3.1 – A PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
A pesquisa em Educação Matemática apresenta diversas tendências temáticas e
metodológicas em desenvolvimento desde a década de 1990. Por ser uma área relativamente
nova, consolidou-se ao longo da segunda metade do século XX, período em que estabeleceu e
delineou seu campo profissional.
A pesquisa em Educação Matemática tende a ser qualitativa quanto à metodologia e
métodos de pesquisa empregados. Sobre essa tendência, Bicudo (2004) afirma que para se fazer
uma pesquisa qualitativa privilegiam-se descrições de experimentos, relatos de compreensões,
respostas discursivas de questionários, entrevistas e relatos de observações. Esses procedimentos
dão conta de dados sensíveis, concepções, estados mentais e acontecimentos, entre outros.
A autora ainda afirma que a principal diferença entre a pesquisa quantitativa e qualitativa
está no fato da última conter procedimentos e concepções alternativas em relação ao paradigma
positivista. A partir desses princípios estabelece-se a grande parte das tendências temáticas da
pesquisa em Educação Matemática e fundamenta-se as metodologias empregadas nas pesquisas.
Segundo Fiorentini (2006), algumas dessas tendências temáticas são o processo ensino e
aprendizagem da Matemática, mudanças curriculares, utilização de Tecnologias de Informação e
49
Comunicação, prática docente, formação de professores, práticas de avaliação e o contexto
sociocultural e político do ensino aprendizagem da Matemática.
No eixo temático do processo ensino e aprendizagem da Matemática, Fiorentini (2006)
verifica a emergência de estudos que procuram investigar o modo como os alunos desenvolvem
seu processo de aprendizagem de algum conceito de Matemática. De acordo com o autor, essas
pesquisas utilizam, com freqüência, mapas conceituais elaborados pelos próprios alunos como
recurso de coletas de dados.
Associado a este eixo temático, as mudanças curriculares focam a procura pelos fatores
que provocam as transformações no currículo e o modo como se processam na prática escolar. As
mudanças sociais, políticas e econômicas que ocorrem na realidade onde a escola está inserida,
assim como o uso de tecnologias de informação e comunicação, para Fiorentini (2006) são
responsáveis por grande parte das mudanças curriculares.
A pesquisa-ação é um meio de mudança curricular usada por alguns professores que
buscam inovações em sua prática tendo em vista sua vivência no contexto escolar.
O terceiro eixo temático, da Tecnologia de Informação e Comunicação é também
considerado por Borba (1999), que faz uma análise das mudanças provocadas pelo uso dos meios
de informação no ensino de Matemática e seu impacto na pesquisa em Educação Matemática,
considerando que
ao mesmo tempo que as técnicas se tornam cada vez mais humanizadas, na medida em
que as interfaces amigáveis são desenvolvidas buscando seduzir o usuário em geral, em
nosso caso o estudante, vemos que as técnicas permeiam e condicionam o pensamento
humano. As mídias, vistas como técnicas, permitem que “mudanças ou progresso do
conhecimento” sejam vistos como mudanças paradigmáticas impregnadas de diferentes
técnicas desenvolvidas ao logo da história. É neste sentido que no atual momento da
Educação Matemática devemos testar essas metáforas teóricas geradas por diferentes
pesquisas, para que consigamos desenvolver novas práticas pedagógicas que permitam
que mais estudantes tenham acesso a estudar Matemática e a resolver problemas que
sejam relevantes para sistemas seres-humanos-computadores, quer sejam estes
50
problemas propostos pelo professor, como no caso da experimentação, quer
desenvolvidos pelos próprios estudantes, como no caso da modelagem. (BORBA, 1999,
p.294)
A associação entre os eixos temáticos, citados por Fiorentini (2006), abre perspectivas
para novas pesquisas em Educação Matemática, em especial no Ensino Médio e Superior,
segmentos da Educação que começaram a ser pesquisados mais recentemente.
Neste contexto, esta pesquisa sobre o ensino e aprendizagem de valor absoluto integra
estes eixos temáticos e aborda a tendência metodológica de aproximação crítica, que segundo
Kilpatrick, citado por Fiorentini (2006), leva o pesquisador a se inserir no ambiente educacional
não só para compreendê-lo, mas para provocar mudanças em direções que permitam aos
participantes do processo de ensino e aprendizagem maior liberdade de ação.
3.2 – CURRÍCULO EM REDE
Uma das mudanças curriculares propostas nesta pesquisa é a organização curricular em
rede. Esta estruturação segue tendência contrária à organização linear, onde percebe-se uma forte
fragmentação dos temas que em geral, podem resultar em aprendizagens superficiais e currículos
extensos e sem quase nenhuma ligação entre as suas diversas partes, sendo as poucas existentes
presentes em algumas situações problemas.
Para fundamentar o currículo em rede, Pires (2000) propõe alguns pilares de sustentação
dessa nova organização curricular. Na Pedagogia, a autora recorre à interdisciplinaridade para
51
buscar a interação entre duas ou mais disciplinas e a reconstrução da unidade perdida, bem como
a complementaridade nas ações que envolvem diferentes áreas de conhecimento.
Na Ciência, Pires (2000) analisa instrumentos como a analogia e a metáfora para a
realização de inferências a partir de semelhanças entre dois domínios de conhecimento. Deste
modo, “ao estabelecer uma conexão entre os diferentes contextos semânticos, a metáfora
possibilita a transferência de relações de um feixe consolidado para outro em formação,
desencadeando e desenvolvendo novos significados”. (PIRES, 2000, p.86)
Tendo em vista o uso de analogias e metáforas, Pires (2000) faz uso da teia como
metáfora do universo, para justificar através da Física, que os eventos são inter-relacionados e
formam deste modo, uma teia dinâmica. Propriedades individuais não é fundamental, pois todas
decorrem de propriedades de outras partes, o que garante a consistência das relações que
estruturam toda a teia.
Destacando a concepção sistêmica da vida, a mesma autora faz uso da Biologia para
mostrar que o mundo hoje é visto em termos de relação e integração. Afirma que os sistemas são
totalidade integradas e os princípios básicos de organização são destacados em detrimento de
elementos ou substâncias básicas.
No campo da Psicologia, Pires (2000) explora as teorias sobre as inteligências múltiplas
em que as manifestações de inteligência formam um amplo espectro de competências tais como a
lingüística, lógico-matemática, musical, corporal-cinestésica, intrapessoal e interpessoal. Desse
modo, todos podem desenvolver múltiplas inteligências que favorecem o estabelecimentos de
interações entre as áreas de conhecimento a partir das relações interpessoais e intrapessoais.
Ainda a autora afirma que na Matemática se usa a trilha das categorias e alegorias tendo
em vista que a categoria é constituída por uma coleção de objetos ou morfismos, sendo cada um
deles associado a dois objetos, que podem ser idênticos, e uma tábua de multiplicação que
52
possibilita a composição entre certos morfismos. Sobre alegoria, mostra que os correlatos dos
morfismos deixam de ter origem e extremidades para torna-se elos, arcos de ligação, formando
assim relações e conexões. Assim,
a noção de estrutura caracteriza-se pelo deslocamento das atenções do ser como
essência para os objetos articulados por sistemas de relações. Com as categorias, ocorre
um deslocamento nas atenções dos entes para as relações, na medida em que, tendo por
objetos as próprias estruturas matemáticas, os objetos passam a ser constituídos por
sistemas de relações, o que leva a uma dualidade entre objetos e relações. (PIRES,
2000, p.74)
Na Comunicação, Pires (2000) busca inspiração para o desenvolvimento da idéia de
conhecimento como rede, sendo que da Tecnologia da Informação, utiliza-se da linguagem do
hipertexto, que trata da escrita e leitura não linear num sistema de informática, possibilitando
inúmeras conexões entre os diversos caminhos oferecidos.
Assim, seu último fundamento é a Educação, como elo de ligação entre todos os demais
pilares, focando as teias de aprendizagem e buscando romper com a linearização presente na
estrutura do ensino básico até a pós-graduação. Desse modo, abrem-se oportunidades para
qualquer indivíduo ter acesso aos recursos disponíveis em qualquer época de sua vida. Essa teia
permite a interação entre as diversas áreas de conhecimento, a partir do desenvolvimento das
inteligências múltiplas que favorecem as relações interpessoais e intrapessoais, buscando
consolidar uma rede que seja fundamentada nas relações e não nos entes que a compõe.
Consolidando a idéia da rede, Weil (1993) propõe a transdisciplinaridade como
axiomática comum entre as diferentes áreas de conhecimento. Trata-se do resultado de um
esforço de conceitualização que leva à compreensão e definição do novo paradigma holístico.
Para tecer a rede, Pires (2000) propõe um desenho curricular integrado por uma
pluralidade de pontos e cada um desses pontos com diversas ramificações. Após escolher alguns
53
temas, denominados nós pela autora, os primeiros fios de ligação são puxados dando inícios a
percursos que serão formados tendo em vista as significações, ampliando assim os eixos
temáticos. A escolha desses temas é aleatória, ou seja, qualquer tema pode ser escolhido para
começar a tecer a teia que formará o currículo em rede.
A escolha do tema de pesquisa valor absoluto e função modular como um dos nós entre as
ligações e interações do currículo em rede revela que cada elo formado entre os nós (temas) não
tem início e fim, isto é, um tema não pode ser considerado exclusivo gerador e nem receptor dos
elos de ligação. Isto se deve ao fato do currículo em rede não ser fundamentado nos temas, mas
nos elos de ligação entre os temas. Desse modo, a forma de estabelecer estes elos é que vai
determinar a quantidade de ramificações que podem ser originadas entre os diversos nós.
Uma das formas de estabelecer estes elos é através de atividades investigativas. Este tipo
de atividade permite a exploração de temas por meio de uma aprendizagem significativa e
possibilita a interação entre os diversos temas de uma área de conhecimento ou áreas distintas.
3.3 – ATIVIDADES INVESTIGATIVAS E A SEQUÊNCIA DIDÁTICA
A investigação em Matemática, segundo Silva (1999), consiste em atividades que
permitem a formulação de conjecturas, a avaliação de sua plausibilidade e a escolha dos testes
adequados para sua validação ou rejeição. É um processo de criação matemática que é inerente ao
que é Matemática e ao que significa saber Matemática.
Apesar de demandar um tempo certo para sua realização, a atividade investigativa em
Matemática pode trazer contribuições no processo ensino e aprendizagem que justifiquem o
54
tempo utilizado. Tais contribuições são citadas por Ponte (2005) em sua pesquisa sobre
investigações matemáticas em sala de aula:
a realização de investigações matemáticas, pelo aluno, pode contribuir de modo
significativo para a sua aprendizagem da Matemática e para desenvolver o gosto por
essa disciplina. Também o professor pode desenvolver uma atitude investigativa em
relação à Matemática e em relação à sua prática. Ao envolver-se, ele próprio, a
investigar situações matemáticas, o professor pode desenvolver idéias para propor aos
alunos. É também, a melhor garantia de que será capaz de dar uma boa seqüência a uma
questão inesperada de um aluno. (PONTE, 2005, p.142)
Neste contexto, Ernest (1996) afirma que a resolução de problemas e as investigações, ao
serem considerados como métodos de ensino, devem levar em consideração o contexto social da
sala de aula. Na abordagem investigativa, o papel do professor como gestor do ambiente e dos
recursos de aprendizagem consolidam sua atuação como facilitador da aprendizagem. Assim, o
aluno define seus próprios problemas dentro da situação e traça seu próprio caminho de busca
pela resolução. Desse modo, o professor torna-se um articulador do processo, estimulando o
aluno na investigação matemática e prestando a assistência para a construção de significados na
Matemática que propiciem aplicações dentro da própria Matemática e em outras áreas de
conhecimento.
As atividades investigativas possibilitam, inclusive, o uso de tecnologias da informática e
comunicação para estudar temas numa perspectiva integrada do currículo. Para Silva (1999), a
utilização crescente do computador ao nível da investigação impulsionou de maneira relevante a
produção do conhecimento matemático. O papel do computador está além da realização de
cálculos numéricos auxiliares, pois contribui para a formação de conjecturas e estabelecimento de
provas, que segundo o autor, aprofundam o conhecimento sobre objetos que ajuda a visualizar.
Outro fator que permite o estabelecimento de elos no currículo organizado em rede é a
utilização de seqüências didáticas. Num primeiro momento, a seqüência associada com atividade
55
de investigação em Matemática contribui para a compreensão de significados e conceitos
matemáticos e a interação entre eles.
Sobre a interação entre os diversos temas matemáticos,
a realização de investigações proporciona, muitas vezes, o estabelecimento de conexões com
outros conceitos matemáticos e até mesmo extramatemáticos. O professor precisa estar
atento a tais oportunidades e, mesmo que não seja possível explorar cabalmente essas
conexões, deve estimular os alunos a refletir sobre elas. Essa é mais uma das situações em
que o professor dá evidência do que significa raciocinar matematicamente. (PONTE, 2005
p.51)
Assim, além de contribuir para formação de conjecturas e formulação de provas, a
investigação matemática permite a interligação entre os nós da teia que se pretende tecer através
da organização curricular em rede.
Uma das formas de usar a abordagem investigativa em atividades de Matemática consiste
na elaboração de seqüências didáticas que permitam explorar temas, como o valor absoluto e a
função modular, nesta investigação realizada e irá mostrar a interligação com outros temas da
Matemática e estabelecendo aplicações em outras áreas.
A definição de seqüência didática é apresentada por Zabala (1998, p.18) como “um
conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos
educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos professores como pelos
alunos”.
A articulação das atividades se faz necessária para garantir a construção do significado
num contexto mais amplo, que permite a interação entre os diferentes temas, resultando em
diversas aplicações. Dessa forma, interações entre os nós da rede podem ser estabelecidas
construindo uma teia em que os significados dos objetos contribuem para a conexão entre os
conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais.
56
As seqüências didáticas possuem, como elementos identificadores, as atividades que a
compõem. Desse modo, ao organizar uma seqüência utilizando a abordagem investigativa, as
atividades ampliam as múltiplas possibilidades de exploração de um determinado tema,
articulando os conteúdos conceituais (referentes ao saber), procedimentais (referentes ao saber
fazer) e atitudinais (essência de ser). Esta articulação abre perspectivas para a construção da rede
de conhecimento a partir das conexões estabelecidas tendo como foco um determinado tema.
No caso do estudo do valor absoluto e da função modular, produto da investigação
apresentado nesta dissertação, entende-se que este tema, por sua posição estratégica no currículo
de Matemática de grande parte das escolas no Brasil, possui múltiplas possibilidades de conexões
com outros assuntos da Matemática.
A definição de valor absoluto no campo aritmético possibilita a interação com a geometria
através do conceito de distância, associando a idéia de ordenação dos números reais na reta
numérica tendo em vista a sua distância relativa ao ponto de abscissa zero e o seu valor relativo.
Sobre esta perspectiva de ensino, Stallings-Roberts (1991) utiliza material manipulativo formado
por uma tira de papel com a devida marcação, simulando a reta numérica e dois indicadores
móveis sobre a tira para visualizar situações problemas com uso da interpretação geométrica em
IR. Sobre sua pesquisa, ela descreve os resultados obtidos apontando que
os alunos foram capazes de desenvolver melhor o significado da definição formal de
valor absoluto. Com o apoio necessário e a experimentação, os alunos desenvolveram
sua capacidade de determinar a afirmação lógico-matemática que descreve o valor
absoluto numa expressão. (STALLINGS-ROBERTS, 1991, p. 304, tradução nossa) ²
________________
² Students now should be able better to develop a formal but more meaningful definition for absolute value. With
proper guidance and experimentation, students should be able to determine a logical mathematical statement that
describes the absolute value of an expression.
57
Ainda no campo aritmético, através do uso de padrões é possível explorar propriedades de
módulo para números reais favorecendo a iniciação ao pensamento algébrico que será utilizado
mais adiante quando for explorada a função modular ou outras propriedades operatórias no
conjunto dos números reais, como por exemplo, a raiz com índice par de um número elevado ao
mesmo valor do índice da raiz.
A função modular possui uma amplitude maior de ligações na própria Matemática por ser
estudada quando o pensamento algébrico está se consolidando no processo ensino e
aprendizagem. Deste modo, este tipo de função pode ser introduzido utilizando o conceito de
função formada por várias sentenças. Além de inúmeras aplicações ligadas à Economia e
cotidiano, é possível utilizar funções como a do 1º grau, 2º grau, exponencial, logarítmica e
trigonométricas, bem com suas respectivas propriedades gráficas para a construção de gráficos de
funções formadas por várias sentenças e, conseqüentemente, o gráfico da função modular. Outras
propriedades podem ser utilizadas como a simetria, reflexão e translação de eixos, sendo esta
última uma referência direta a gráficos de funções compostas.
A interpretação geométrica na reta numérica e no plano cartesiano permite uma
abordagem em espiral do tema valor absoluto, conforme propõe Friedlander (1995)³, que explora
principalmente a interpretação geométrica no plano cartesiano. Nesta situação, ele mostra como
________________
³ No livro The ideas of Álgebra, Alex Friedlander e Nurit Hadas publicaram um artigo sobre o ensino do valor
absoluto numa abordagem em espiral (Teaching Absolute Value Spirally). A partir de vários artigos publicados na
revista Mathematics Teacher, entre 1976 e 1985, eles desenvolveram uma abordagem espiral interligando a Álgebra
e a Geometria para resolver problemas que envolvem o módulo de um número real. Estes tipos de artigos aparecem
com razoável freqüência na revista acima citada e três deles foram usados nesta pesquisa. Na edição de abril de 1991,
Virginia Stallings-Roberts desenvolveu uma técnica que usa material manipulativo para a interpretação geométrica
de valor absoluto na reta numérica. Na edição de dezembro de 1992, Charles R. Parish propõe uma novo método
para alunos entendam o uso de conectivos lógicos nas desigualdades modulares. Este método consiste em usar a
interpretação geométrica no plano cartesiano e regiões do plano para compreender as situações em que se usa os
conectivos que indicam conjunção e disjunção. Na edição de agosto de 2005, Shiyuan (Steve) Wei propõe o uso de
Geometria Analítica, em especial a definição de cônicas a partir do conceito de distância e lugar geométrico para a
resolução de equações modulares. Os três artigos reforçam a importância de uma integração curricular para que tais
abordagens sejam realmente implementadas e apresentam resultados significativos em relação a aprendizagem.
58
equações e inequações podem ser resolvidas tendo em vista esta perspectiva.
A resolução de equações e inequações através da interpretação geométrica na reta
numérica e no plano cartesiano, associada com a resolução algébrica consolida, como mostrado
na seqüência didática apresentada nesta dissertação, pode contribuir para a compreensão do
significado de valor absoluto, a aplicação de suas propriedades em um contexto adequado e
interação com outros temas como a distância em Geometria Analítica.
Na Geometria Analítica, são estabelecidas diversas interações que contribuem para a
compreensão da definição de valor absoluto e suas aplicações. A interpretação geométrica de
sistemas de equações com duas variáveis possibilita a visualização das raízes de uma equação
modular assim como os intervalos que descrevem a solução de uma desigualdade modular.
Em diversas situações, problemas da Geometria Analítica fazem uso do valor absoluto
para determinação de resultados como a área de um triângulo dado os seus três vértices, distância
entre dois pontos e distância entre ponto e reta, entre outros.
A interação entre Geometria Analítica e o valor absoluto ainda inclui o uso das definições
de cônicas como lugares geométricos e o conceito de distância. Esta interação, explorada por Wei
(2005), consiste em resolver equações modulares algebricamente e comparar as soluções com
cônicas que descrevem geometricamente no plano cartesiano as igualdades propostas.
Em relação a inequações modulares, Parish (1992) desenvolveu uma associação entre o
eixo Ox e o eixo Oy com o objetivo de usar corretamente o conectivo lógico na solução. Deste
modo, segundo autor, essa abordagem tornou assuntos abstratos como os conectivos lógicos em
temas mais acessíveis e significativos para o aluno.
Certamente o estudo sem conexões entre os diversos temas não tornaria em realidade a
construção de significados e a consolidação de aplicações. As interações feitas com a função
modular podem facilitar, segundo Friedlander (1995), a elaboração de um currículo em espiral,
59
em que ao longo das séries do Ensino Básico, extratifica cada vez mais interações à medida que o
tema vai sendo aprofundando ao longo das séries.
60
4 UMA PROPOSTA METODOLÓGICA A PARTIR DE UMA SEQÜÊNCIA
DIDÁTICA PARA O ENSINO DE VALOR ABSOLUTO E FUNÇÃO
MODULAR
4.1 METODOLOGIA
Com o objetivo de elaborar uma seqüência didática em que o estudo do valor absoluto e a
função modular ocorra numa perspectiva curricular de rede, esta pesquisa foi adotada com
abordagem qualitativa.
Sendo assim, levantou-se um referencial teórico para a elaboração de atividades de
investigação em Matemática que contribuíssem para a formação da rede curricular com ligações
interativas entre os nós (assuntos) que compõem o currículo, em especial do Ensino Médio,
segmento focado nesta pesquisa. O nó escolhido como referência foi o valor absoluto e a função
modular e partir desta escolha, foram analisadas as interações estabelecidas com outros assuntos
da Matemática e de outras áreas de conhecimento, tendo em vista as aplicações.
Através da inserção do pesquisador no meio investigado, foram realizadas observações
sobre a forma de construção e desenvolvimento dos conteúdos assim classificados por Zabala
(1999): conceitual, procedimental e atitudinal.
A análise ocorreu com a comparação entre os dados prévios obtidos na fase de
planejamento das atividades e os dados posteriores, obtidos com a observação direta da postura
dos alunos diante da atividade, a formação de conjecturas para a resolução das atividades e as
estratégias utilizadas.
61
O processo foi analisado, através de descrições tendo em vista a situação em que se
desenvolveram os conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais e sua relação com a
proposição das atividades numa perspectiva curricular de rede.
4.2 FASES DO EXPERIMENTO E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A primeira fase constituiu no planejamento das atividades de investigação do valor
absoluto e função modular. Esse planejamento foi fundamentado no referencial teórico e na
análise das atividades através de discussões com o orientador sobre as possíveis interações que
poderiam ser estabelecidas a partir desta seqüência didática. As estratégias de solução para cada
atividade foram analisadas para suscitar conjecturas e interações estabelecidas na rede curricular
que envolve o valor absoluto e a função modular. Uma vez que o foco desta pesquisa está na
elaboração das atividades investigativas envolvendo valor absoluto e função modular numa
perspectiva curricular de rede, a interação entre Álgebra e Geometria consolida-se na resolução
de problemas pela interpretação geométrica na reta numérica e no plano cartesiano, estabelecendo
conexões entre os vários temas presentes na Matemática do Ensino Médio e criando condições
para uma aprendizagem significativa.
A partir da necessidade do Mestrado Profissional em se realizar um estágio, foi planejada
uma aplicação das atividades para a sua validação e avaliação. Assim, as duas próximas fases
descrevem a realização deste estágio e mostra o impacto que os dados obtidos tiveram sobre a
última fase.
62
A segunda fase foi marcada pela escolha dos alunos participantes nas atividades
investigativas sobre valor absoluto e função modular. Uma escola pública federal de Belo
Horizonte foi escolhida para a realização das atividades e, em seguida, mediante autorização dos
pais, os alunos que voluntariamente se dispuseram foram selecionados. Em um total de doze
alunos, oito efetivamente participaram de todas as seções e os quatro restantes participaram de
75% das atividades. Esses alunos foram agrupados em duplas para facilitar a observação e na fase
final, foram organizados em grupos de quatro alunos para uma discussão dos resultados e
estratégias, antes da socialização final envolvendo todos os alunos.
A terceira fase foi composta por cinco sessões, sendo quatro delas com duração de 150
minutos e uma sessão, a segunda, com duração de 90 minutos. Nesta fase foram propostas quatro
atividades investigativas, que juntas formam a seqüência didática proposta, sendo que as segunda
e terceira atividades envolveram uso de computador para a construção e exploração de gráficos
através do software livre Geogebra. Observação e descrição dos fatos ocorridos durante esta fase,
bem como a postura dos alunos diante de cada atividade proposta, foram realizadas para
comparação com a análise feita na primeira fase. A última sessão foi realizada em duas partes,
sendo a primeira em grupo de quatro pessoas, quando as duplas puderam discutir os resultados
obtidos e comparar estratégias de resolução. A segunda parte foi uma ampla discussão sobre a
experiência, dificuldades e o que foi feito pela dupla para resolver todas as atividades.
A última fase consistiu na análise de dados obtidos após a aplicação das atividades em
comparação com alguns dados obtidos pelas discussões na fase de elaboração, durante as
orientações. Tendo em vista as evidências levantadas e o referencial teórico, algumas questões
foram respondidas e contribuíram para a consolidação da seqüência didática.
63
4.3 A SEQUENCIA DIDÁTICA
A seguir serão descritas as quatro atividades integralmente apresentadas em anexo, que
formam a seqüência didática sobre a abordagem curricular em rede de valor absoluto e função
modular. Cada atividade será dividida em partes que serão analisadas de acordo com as possíveis
estratégias de resolução e as interações que podem ser feitas dentro da Matemática e em outras
áreas de conhecimento.
Primeira atividade
A primeira atividade, denominada “o conceito de módulo e seu significado geométrico”,
possui um foco no campo da Aritmética e propõe discussões relativas a introdução à Álgebra e o
uso de Geometria para a compreensão do significado de valor absoluto e função modular. As
atividades enfatizam as propriedades numéricas e estabelece interações entre a Aritmética e a
Geometria e em algumas situações, com a Álgebra. As propriedades enfatizadas são
fundamentais para a resolução de equações e inequações modulares e formam a essência das
ligações em rede, que mais adiante, serão realizadas entre a Álgebra, Geometria e Aritmética.
Nesta atividade será apresentada a interpretação geométrica na reta numérica, explorando
interpretação geométrica de distância e a relação entre os conectivos lógicos, desigualdades
modulares e intervalos de reta.
64
A primeira parte, intitulada “definição e interpretação geométrica” é precedida pela
seguinte definição de valor absoluto:
|x| = máximo{x,-x}
A partir desta definição, são propostos alguns problemas para o aluno, referente a cálculo
de expressões numéricas do tipo 4 − 7 , sua representação na reta numérica, determinação da
distância relativa à origem e comparação das representações feitas na reta numérica, buscando
identificar casos de simetria. Esta parte é finalizada com a definição de números simétricos ou
opostos e sua comparação com o conceito de distância. Percebe-se, então, a possibilidade de
integrar Aritmética e Geometria através do conceito de distância na reta numérica. As estratégias
de resolução são bem simples e consistem na aplicação imediata da definição de módulo de um
número real.
A segunda parte trata das propriedades aritméticas do valor absoluto de um número real.
Em princípio, pede-se os possíveis valores de x, caso existam, para igualdades como x = π ,
x = 0 e x = −1 . Em seguida, questiona-se em quais igualdades foram determinados dois, um ou
nenhum valor para x, solicitando sempre a justificativa para que o aluno reflita sobre as condições
de existência que serão sistematizadas na segunda atividade. A estratégia de resolução, assim
como na primeira parte, vem da aplicação da definição de valor absoluto.
Na mesma perspectiva de aplicação do conceito de módulo de um número real, são
propostas duas tabelas para exploração das propriedades mais relevantes do valor absoluto.
As propriedades, estudadas de modo intuitivo, são |x.y| = |x|.|y| para todo x ∈ IR e y ∈ IR , x
x
y
para todo x ∈ IR ,
n
y
=
y ∈ IR * e x n = x , sendo n natural par. A partir dos valores
65
encontrados, são levantadas algumas questões para a compreensão das propriedades que estão
sendo estudadas por meio da tabela.
Por meio destas propriedades, propõe-se uma conexão com a definição e uma das
propriedades de radiciação no conjunto dos números reais com o problema que encerra esta parte.
Neste problema, a radiciação é apresentada como uma das operações inversas da potenciação.
Assim,
n
a = b ⇔ b n = a para a, b ≥ 0 se n é par ou a, b ∈ IR se n é ímpar. Em seguida, é
questionado se pelas condições de existência da radiciação e pela definição de módulo, podemos
afirmar que
n
a n = a, ∀a, n ∈ IR . Nesta conexão é possível explorar as condições de existência
da radiciação e entender, conseqüentemente, algumas propriedades gráficas de funções como a
exponencial e logarítmica, no que diz respeito a restrição estritamente positiva para o domínio da
primeira e o contra-domínio da segunda.
Na terceira parte, são exploradas as desigualdades modulares em sua forma básica, a saber
x ≥ a e x ≤ a , sendo a ∈ IR+ . Por meio da interpretação geométrica na reta numérica, isto é,
em IR, propõe-se uma pequena discussão sobre o uso dos conectivos lógicos que indicam
conjunção e disjunção.
A primeira atividade se encerra com uma aplicação em Estatística envolvendo o conceito
de desvio médio absoluto. Nesta parte é proposta uma situação problema, próxima ao contexto
escolar, envolvendo um grupo de 20 alunos e suas respectivas notas numa avaliação bimestral. A
partir do conceito de média aritmética simples e valor absoluto, apresenta-se o conceito de desvio
médio absoluto e pede-se os cálculos de cada desvio para determinação da média dos desvios. O
conceito de valor absoluto e distância são utilizados na compreensão deste conceito estatístico
que por sua vez, contribui para a interpretação de desvio padrão em dados discretos ou
agrupados.
66
Segunda atividade
Essa atividade, denominada “função modular e sua família de curvas”, trata das
propriedades gráficas, em especial a simetria em relação aos eixos coordenados e translação de
eixos. Também são estudadas as funções combinadas, sendo este o eixo integrador entre a função
modular e as outras funções que são estudadas no Ensino Médio. A interpretação geométrica por
meio das imagens das funções será usada nas próximas atividades para a resolução de equações e
inequações modulares no plano cartesiano, visto que na atividade anterior foi priorizada a
interpretação na reta numérica.
Na primeira parte é explorada a função formada por várias sentenças. Assim, é proposta
uma situação problema envolvendo o valor da conta da água de um determinado local em função
de seu consumo. A partir de uma tabela, pede-se para esboçar o gráfico daquela função, que será
formado por vários segmentos de retas com inclinações distintas. Esta aplicação à Matemática
Financeira está diretamente ligada ao cotidiano de qualquer família e contribui para a
interpretação de cobranças tarifárias por faixas de consumo.
Na segunda parte da atividade, a definição da função modular na sua forma básica é
explorada a partir de princípios gráficos como a simetria e a distância de pontos no plano
cartesiano em relação aos eixos coordenados. A partir destes princípios, desenvolve-se o conceito
de função modular como função formada por duas sentenças:
 x se x ≥ 0
f ( x) = x = 
− x se x < 0
A partir da construção do gráfico, é realizada a análise no que diz respeito ao domínio, imagem,
raízes ou zeros da função, simetria em relação aos eixos coordenados, ponto de mínimo,
67
intervalos de crescimento e decrescimento. Nesta parte, consolida-se a interação com as
propriedades e elementos da função assim como o princípio de distância de ponto a reta na
Geometria Analítica.
Na terceira parte, a família de curvas é explorada através da translação de eixos. Desse
modo, constrói-se gráficos de tipo f (ax ± b) ± c com a ∈ IR * e b, c ∈ IR a partir do gráfico de
f ( x) = x , considerada uma função elementar. Após cada construção, segue-se a análise de cada
gráfico em relação ao domínio, imagem, ponto mínimo, zeros da função, intervalos de
crescimento e decrescimento. A partir da construção de gráficos de função modular é possível
estabelecer uma rede com tantas interações quantas se desejar com as funções do 1º e 2º graus,
exponencial e logarítmica. Em algumas situações é possível explorar funções trigonométricas.
Sabendo da forma básica de cada uma delas, usa-se combinação de funções e translação de eixos
na interpretação geométrica, para a construção dos gráficos de suas transformadas e em seguida,
quando for o caso, observa-se a simetria em relação aos eixos coordenados. Em algumas
situações estuda-se primeiro a simetria para em seguida aplicar translação de eixos.
Por exemplo, para construir o gráfico de f ( x) = 2 x − 1 + 2 , ao final da terceira parte desta
atividade, sugere-se a construção do esboço de p ( x) = x e em seguida, g ( x) = 2 x para enfim
determinar h( x) = 2 x − 1 e f ( x) = 2 x − 1 + 2 . Essa construção gráfica é um exemplo de situação
problema que integra o conceito de função do 1º grau e suas propriedades com o valor absoluto.
68
Figura 8: seqüência da construção do gráfico de
p ( x) = 2 x − 1 + 2 a partir de f ( x) = x
A segunda atividade finaliza com algumas tarefas complementares que exploram as
propriedades estudadas na atividade anterior. É o estabelecimento de interações entre as partes
69
que compõem o estudo do valor absoluto e função modular. Ao traçar os gráficos de
f ( x) = x − 3 e f ( x) = 3 − x , propriedade vinda da definição e do conceito de distância podem
ser explorados, uma vez que a − b = b − a , ∀a, b ∈ IR .
A partir desta atividade, começa a ser utilizado o software livre Geogebra 4 . Trata-se de
um software de fácil acesso e que pode ser utilizado nos sistemas operacionais Windows e Linux.
Possui uma boa navegabilidade, interface de fácil compreensão, comandos dedutíveis e por ser
um software de geometria dinâmica, permite múltiplas explorações e conexões entre Álgebra e
Geometria, através da Geometria Analítica. Desenvolvido por Markus Hohenwarter, da Florida
Atlantic University, desde 2001 com contribuições de Yves Kreis, da University of Luxembourg
(desde 2005), Loic Le Coq (França, desde 2006), Joan Carles Naranjo, Victor Franco e Eloi
Puertas, da University of Barcelona (desde 2007) e Philipp Weissenbacher (Áustria, desde
2007).
Barra de
ferramentas
Janela de
álgebra
Janela de
geometria/
gráficos
Campo de
entrada
Figura 9: interface do software Geogebra.
_____________________
4
O software Geogebra pode ser obtido no sítio da Internet: http://www.geogebra.org
70
Terceira atividade
A terceira atividade abrange o estudo de igualdades que envolvem valor absoluto e suas
resoluções algébrica, em palavras, geométrica na reta numérica e no plano cartesiano. Nesta
atividade, a integração curricular ocorre nas diferentes resoluções propostas para cada equação
modular. Ao apresentar de maneira gradual cada uma das resoluções, a interação entre elas ocorre
na comparação dos resultados obtidos e na percepção das diferentes estratégias utilizadas em
cada problema.
Na primeira parte da atividade, estuda-se a aplicação do conceito de distância em
equações modulares, buscando a expressão verbal para que se entenda o significado da aplicação
que está sendo realizada. Ao representar na reta numérica a distância entre x e – x, a escrita em
palavras do significado desta representação contribuirá para a resolução de equações modulares,
em especial as que envolvem expressões algébricas lineares.
i) Resolução na reta numérica
Na segunda parte da atividade, três equações modulares são propostas, pedindo-se
inicialmente para descrever cada equação verbalmente, usando o conceito de distância para em
seguida representar na reta numérica a resolução da equação. Ao resolver uma equação do tipo
x − 2 = 4 , verbalmente, tem-se:
71
“valores de x que são abscissas dos pontos cuja distância ao ponto de abscissa 2 é igual a 4”.
Desse modo, a representação na reta numérica torna-se simples de ser realizada. A solução é
constituída pelos valores -2 e 6, abscissas dos pontos A e B respectivamente.
Figura 10: resolução da equação
x − 2 = 4 na reta numérica.
ii) Resolução no plano cartesiano
A terceira parte inicia-se com a resolução no plano cartesiano das mesmas equações
modulares que foram resolvidas na reta numérica. Através do princípio de igualdade entre
funções, estabelece-se que cada membro da igualdade representa uma função, e em seguida,
representa-se no plano cartesiano as funções definidas em cada membro da igualdade,
considerando-se cada ponto de interseção dos gráficos das funções como solução da equação
modular.
Desse modo, uma equação do tipo x − 2 = 4 pode ser escrita como uma igualdade entre
as funções y = x − 2 e y = 4 . A solução obtida é a mesma da resolução na reta numérica, isto é,
os pontos de abscissas -2 e 6.
72
Figura 11: resolução da equação
x − 2 = 4 em no plano cartesiano.
Além das três equações propostas inicialmente, são apresentadas mais duas equações,
com destaque para a igualdade x − 2 = 2 − x , que trata-se de uma identidade. Após as
resoluções, algumas questões contribuem para que se compare os resultados obtidos no plano
cartesiano como os observados na reta numérica. Este tipo de comparação, para Friedlander
(1995), é o fundamento para a abordagem em espiral do valor absoluto.
A quarta parte ocupa-se com a resolução algébrica de cada equação resolvida
anteriormente através da interpretação geométrica na reta numérica e no plano cartesiano.
A última parte trata de uma aplicação de equações modulares na Física, por meio do
estudo da Óptica, em especial os trajetos dos raios luminosos ao serem refletidos em espelhos
planos. Em seguida, por meio de uma situação problema em que uma pessoa vê sua imagem
refletida em um espelho plano, propõe-se, a descrição de cada trajeto de raio luminoso como uma
73
função modular, considerando-se o plano horizontal como eixo y e a origem como o ponto de
interseção do espelho com este plano horizontal. Em seguida, pede-se a localização exata do olho
do observador.
Figura 12: situação problema envolvendo Óptica e função modular.
Este tipo de interação com outras áreas de conhecimento como a Física, mostra como a
rede pode ser estabelecida dentro da própria Matemática, entre os diversos temas que a compõem
e suas respectivas aplicações, envolvendo conteúdos extra-matemáticos.
O uso de software torna-se fundamental devido ao grande número de gráficos explorados
no decorrer das atividades. Sobre as contribuições no processo ensino aprendizagem, pode-se
afirmar que a informática é
uma extensão da memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias
da inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de
pensar, baseados na simulação, na experimentação e em uma “nova linguagem” que
74
envolve escrita, oralidade,
PENTEADO, 2001, p.46)
imagens
e
comunicação
instantânea.
(BORBA,
Assim, percebe-se que linearidade do raciocínio cede espaço para a descontinuidade,
característica dos inúmeros caminhos que se pode percorrer no estabelecimento da rede. Esta
descontinuidade é retratada na terceira atividade nas questões comparativas entre os diferentes
métodos de resolução de uma equação modular.
Quarta atividade
A quarta atividade refere-se ao estudo das desigualdades modulares. Esta atividade foi
aplicada em duas versões para fins de comparação de resultados. Metade dos grupos realizou a
versão que inicia com a interpretação na reta numérica para em seguida apresentar a interpretação
no plano cartesiano. A outra metade realizou a versão que inicia com a interpretação no plano
cartesiano para depois resolver na reta numérica as mesmas desigualdades modulares.
i) Resolução na reta numérica
Na parte que considera a resolução na reta numérica, o valor absoluto é estudado por meio
de interpretação geométrica na reta numérica e o uso da expressão verbal para descrever as
inequações. Uma inequação do tipo x − 3 + x − 1 ≤ 3 pode ser expressa verbalmente como:
75
“a soma da distância de um número cuja abscissa é x até o 3 e do mesmo ponto de
abscissa x até o 1 é menor ou igual a 3”.
Após ser expressa em palavras, a interpretação geométrica na reta numérica fica mais simples de
ser representada. Neste caso, procura-se o intervalo real que contém os números que satisfazem a
desigualdade. Primeiro se estabelece o ponto médio entre 1 e 3 e em seguida, sabendo que a
distância pode ser igual a 3, obtém-se os pontos de abscissa 0,5 e 3,5, uma vez que em relação ao
ponto de abscissa 2 ambos são eqüidistantes (distância igual a 1,5). Como a distância pode ser
menor que 3, segue o intervalo [0,5; 3,5] como solução da equação.
Figura 13: resolução da inequação
x − 3 + x − 1 ≤ 3 na reta numérica.
ii) Resolução no plano cartesiano
Na parte que considera a resolução no plano cartesiano, as desigualdades apresentadas
anteriormente são resolvidas usando o mesmo raciocínio explorado nas equações, isto é,
considera-se cada membro como uma função e a partir da interseção dos gráficos é estabelecido o
intervalo que satisfaz a inequação modular proposta. Na equação x − 3 + x − 1 ≤ 3 , que pode ser
escrita como x − 3 ≤ 3 − x − 1 , percebe-se a comparação entre duas funções, a saber y = x − 3 e
76
y = 3 − x − 1 . Pede-se os valores em que a primeira função é menor ou igual à segunda função.
Ao representar graficamente as funções em um mesmo plano, as interseções ocorrem nos pontos
de abscissas 0,5 e 3,5. Assim, pela imagem das funções, determina-se o intervalo [0,5; 3,5] como
solução da inequação, apresentado graficamente a seguir.
Figura 14: resolução da inequação
x − 3 + x − 1 ≤ 3 no plano cartesiano.
Após cada resolução no plano cartesiano, compara-se a resposta com a obtida na
interpretação geométrica na reta numérica e em seguida propõe-se a resolução algébrica da
inequação x − 3 + x − 1 ≤ 3 .
77
Na parte complementar, são propostas mais duas inequações, sendo que uma delas
envolvendo o princípio da função do 2º grau:
x 2 − 3 ≤ 2 x − 3 . Essas inequações são
interpretadas geometricamente no plano cartesiano, sem envolver a solução algébrica, que em
muitas situações é longa e subdividida em várias partes. Desse modo, como Friedlander (1995)
afirma, a resolução geométrica é mais rápida e significativa para o aluno.
4.4 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES
As atividades foram aplicadas na segunda quinzena do mês de setembro de 2007.
Conforme descrição anterior, doze alunos participaram da aplicação das atividades, sendo que
oito alunos participaram de todas as seções. Foram selecionados alunos da primeira série do
Ensino Médio de uma escola federal de Belo Horizonte.
Na primeira sessão, que contou com a participação de 12 alunos, foi aplicada a primeira
atividade, sobre o valor absoluto e o significado geométrico de seu conceito. A aplicação ocorreu
no dia 17 de setembro de 2007, entre 10h e 12h 30 min, em uma das salas de aula da escola e
nela, os alunos foram organizados em dupla. Quase a totalidade das duplas resolveram todas as
partes da primeira atividade antes do tempo estimado, que foi de 150 minutos. Apenas uma dupla
terminou a atividade depois de decorridos 120 minutos.
Na segunda sessão, que ocorreu no dia seguinte ao da primeira atividade, foi realizada a
atividade sobre função modular e sua família de curvas no laboratório de informática da escola.
Esta sessão contou com a presença do orientador desta pesquisa, conforme previsto no estágio
78
curricular. Na ocasião, os alunos desenvolveram as atividades com auxílio do software Geogebra.
Apesar de ser o primeiro contato dos alunos com o programa, todos o utilizaram sem maiores
problemas. As dúvidas quase sempre se restringiam à lembrança de alguns comandos. Neste dia,
devido a uma aplicação de prova bimestral, a atividade teve duração de apenas 90 minutos e dos
doze alunos presentes, seis (três duplas) não terminaram a atividade, ficando para o dia seguinte o
término das atividades.
A terceira sessão ocorreu no dia 19 de setembro de 2007 e foi aplicada no laboratório de
informática. Participaram desta atividade nove alunos, sendo que os demais ausentes justificaram
a ausência por motivos diversos. A proposta inicial era retornar à sala de aula, mas os alunos
solicitaram a continuação do uso do programa Geogebra para encerrar a segunda atividade e
realizar as etapas da terceira atividade, que na resolução das equações modulares em IR² poderia
dar continuidade ao uso do programa. Desse modo, o programa foi fundamental para garantir aos
alunos a continuidade das tarefas sem gerar atrasos que pudessem comprometer o andamento das
atividades, que foram desenvolvidas neste dia com um prazo de 150 minutos.
A quarta sessão ocorreu no dia 24 de setembro de 2007 devido a disponibilidade no
calendário escolar da instituição. Esta atividade, sobre as desigualdades modulares ocorreu dentro
do prazo previsto, que era de 150 minutos e contou com a participação de dez alunos. A atividade
ocorreu em uma das salas de aula da escola, sem auxílio do software Geogebra. A grande maioria
dos alunos terminaram a atividade antes do prazo previsto.
A última sessão contou com a participação de 11 alunos e ocorreu no dia 26 de setembro.
Este último encontro foi dividido em duas partes. Em um primeiro momento, com duração de 60
minutos, as duplas foram organizadas em grupos de quatro alunos para trocar experiências,
estratégias e comparar os resultados obtidos. Em seguida, os alunos participaram de uma
79
socialização que teve duração de 90 minutos, sendo que os 30 minutos finais foram registrados
em vídeo.
4.5 ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS
A seguir serão apresentados alguns resultados sobre as atividades quanto à sua aplicação e
as respostas apresentadas pelos alunos durante as quatro primeiras sessões. Para efeitos de
análise, serão apresentados protocolos contendo as respostas das duplas que evidenciaram alguns
fatores apresentados no referencial teórico quanto a organização curricular de rede. Também
serão mostrados os protocolos que em comparação com os dados da primeira fase da pesquisa, a
de elaboração das atividades, possibilitaram algumas alterações na estrutura da seqüência
didática.
A análise das respostas foi feita em duas etapas. Na primeira etapa, cada dupla teve as
respostas de cada uma das atividades analisadas tendo em vista a evolução do desenvolvimento
dos conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais. Na segunda etapa, as respostas das
duplas para um mesmo problema foram comparadas entre si tendo em vista os mesmos conteúdos
propostos por Zabala (1998) e as observações feitas durante a aplicação do instrumento de
pesquisa e a socialização final.
80
Primeira atividade
Na primeira atividade, a grande maioria dos alunos não apresentou grandes dificuldades.
O debate inicial dos componentes das duplas consistiu na questão: “a distância pode ser
negativa?” Após alguns poucos minutos de discussão eles chegaram a conclusão que não poderia
ser negativa. Apesar do levantamento dessa questão, a primeira parte que tratava da definição e
sua interpretação geométrica foi resolvida com considerável facilidade.
Na segunda parte, sobre propriedades, a polêmica entre os alunos concentrou-se logo no
início dessa parte, problema 5, item c, quando foi solicitado aos alunos determinar os possíveis
valores de x caso existam para x = 0 e no problema 6, item c, perguntando por que foi
observado a presença de apenas um valor para x. Quase todas as duplas afirmaram, após um
pequeno tempo de discussão, que o zero é um número neutro, que para eles, implicava não ser
nem negativo e nem positivo.
As tabelas dessa segunda parte foram preenchidas rapidamente e as questões colocadas
logo a seguir, que buscavam levar o aluno a refletir sobre as propriedades exploradas,
contribuíram para estabelecer algumas interações entre a Aritmética e o valor absoluto.
A conexão entre a definição da radiciação e a definição do valor absoluto pode ser observada de
forma intuitiva na resposta a seguir:
81
Figura 15: protocolo extraído de uma das duplas, referente à primeira atividade, problema 11.
Duas das duplas afirmaram que a proposição do problema 11 estava correta e aplicaram a
propriedade do expoente fracionário sem perceber as restrições da condição de existência da
radiciação e sem lembrar que a propriedade do expoente fracionário só pode ser aplicada se o
máximo divisor comum entre o índice da raiz e o expoente da base for igual a 1.
A parte sobre as desigualdades, isto é, o uso dos conectivos, fator integrador entre a lógica
matemática, valor absoluto, inequações e intervalos reais, ficou mais evidenciado no raciocínio
dos alunos. A interpretação geométrica na reta numérica contribuiu para a compressão do uso dos
conectivos lógicos, ainda que de forma intuitiva.
Figura 16: protocolo extraído de uma das duplas referente à primeira atividade, problema 14.
82
A última parte, que apresenta uma interação entre um conteúdo matemático (módulo de
um número real) e outro extra-matemático (desvio médio absoluto), demandou um pouco mais de
tempo por partes dos alunos. As discussões foram ricas e a representação em IR contribuiu para
que o conteúdo conceitual, desenvolvido até aqui por meio das partes anteriores, proporcionasse
de maneira integrada o desenvolvimento do conteúdo procedimental inerente à aplicação no
cotidiano. Isso ficou evidenciado na forma como os alunos se posicionaram diante da aplicação,
com respostas que mostraram a compreensão da atividade proposta e com uma postura de
interesse por se tratar de uma análise que eles mesmos podem fazer diante da divulgação de
algum resultado das notas de uma sala de aula.
figura 17: protocolo de resolução da primeira atividade, referente à aplicação em Estatística.
83
Em relação a primeira atividade, percebe-se que trata-se mais de uma seqüência de
conteúdos, como propõe Zabala (1998), visto que a ênfase está no tema valor absoluto. Porém
percebem-se ainda algumas tendências que poderiam classificar esta atividade com seqüência
didática. A investigação e o estímulo à busca pelas respostas através das conexões estabelecidas
entre Aritmética e Geometria são fatores que caracterizam esta primeira atividade como parte da
seqüência didática.
Segunda atividade
Esta atividade foi iniciada com uma aplicação de função descrita por várias sentenças.
Tratava-se de um problema que envolvia a segmentação tarifária na cobrança de uma conta de
água. O fato da atividade ter iniciado com uma aplicação que estava mais extensa comprometeu o
tempo de aplicação. Os alunos apresentaram dificuldades relativas ao problema original que,
além de representar a situação problema inicial, simulava uma outra situação problema com
alteração percentual em seus valores, resultando em um novo gráfico. Portanto, a dificuldade não
estava presente na contextualização, mas no excesso de atividades ligadas à situação problema
original referente ao pagamento de uma conta de água. As devidas alterações foram feitas na
atividade, de modo que a versão apresentada no anexo já está alterada.
O fato de a tabela tarifária apresentar uma descontinuidade entre 10 e 11m³ provocou um
intenso debate sobre questões como: “qual o valor a pagar por um consumo de 10,5m³?” ou
“por que apenas entre estas faixas apresenta uma interrupção?” Essas questões contribuem para
84
a integração entre os diversos saberes em Matemática. Sem ainda estudar o princípio da
continuidade, o aluno pode ter um contato inicial com uma situação problema bem próxima ao
seu cotidiano. Esse contato rompe com a linearidade presente na maioria dos currículos de
Matemática e abre perspectivas para a organização curricular em rede, proposta por Pires (2000).
Figura 18: protocolo de resolução retirado da segunda atividade, problema 2.
A segunda parte da aplicação tem como objetivo apresentar a definição de função modular
em sua forma básica elementar (y=|x|) e o estudo de sua representação gráfica. Para evitar um
salto entre Aritmética e Álgebra, a Geometria foi utilizada para uma série de questões sobre
simetria e representação gráfica, afim de criar condições para a compreensão da função modular
como uma função formada por suas sentenças.
Figura 19: protocolo de resolução retirado da segunda atividade, problema 3, item i.
85
Alguns detalhes foram esquecidos pelas duplas, como por exemplo, a inclusão do zero em
uma das condições. A grande maioria reconheceu o esquecimento após uma pequena intervenção
por parte do pesquisador no momento de socialização.
A partir do gráfico da função modular básica, a saber, f ( x) = x , foram propostas várias
construções para explorar princípios como a translação de eixos e combinação de funções. Neste
momento, o uso do software Geogebra contribuiu para ampliar a quantidade de gráficos que
foram feitos e facilitar a visualização das propriedades estudadas. Mesmo usando o software, os
alunos transcreveram cada representação gráfica na folha da atividade (em folha de papel). Em
seguida, responderam questões básicas sobre o gráfico, tais como domínio, imagem, intervalos
em que é crescente e/ou decrescente, raízes e ponto de mínimo/máximo.
Figura 20: protocolo de resolução retirado da segunda atividade, problema 6.
86
Após o esboço gráfico de cada caso, a questão que se segue contribuiu para uma reflexão
mais apurada dos alunos em relação às propriedades estudadas. A aprendizagem mostrou-se mais
significativa e integrada com os demais problemas, uma vez que a comparação entre os diferentes
casos gráficos ocorre naturalmente na medida em que a atividade se desenvolve.
Figura 21: protocolo de resolução da segunda atividade, problema 7.
Com exceção de uma dupla que apresentou mais dificuldades, as demais realizaram todas
as atividades, inclusive a parte complementar que encerra esta atividade. Nesta parte, os alunos
realizaram os gráficos de funções modulares combinadas com a função quadrática sem
dificuldades. Percebe-se que uma vez entendida a combinação da função modular com qualquer
uma das funções, é possível combinar com as demais, tecendo a rede curricular de forma ampla e
consistente.
A utilização do software contribuiu para a construção do significado da função modular e
em que condições ocorrem sua família de curvas, evitando vícios cometidos em grande parte dos
livros didáticos, como por exemplo, que a imagem da função modular é sempre positiva.
87
Terceira atividade
Esta atividade, sobre as igualdades modulares, inicia-se conjugando a representação na
reta numérica com a expressão verbal o conceito de distância entre dois números para várias
situações. Alguns alunos apresentaram uma certa resistência em escrever verbalmente o
significado de cada expressão, mas ao resolver equações modulares na reta numérica perceberam
a importância da verbalização para uma interpretação geométrica adequada.
Ao depararem com uma equação do tipo x − 2 = 3 − x , a interpretação geométrica na
reta numérica e sua expressão verbal tornou-se complicada para a maioria das duplas, que
ficaram agitadas.
As duplas não conseguiram perceber a igualdade x − 3 = 3 − x . O conteúdo
conceitual estudado nas propriedades da primeira atividade não estabeleceu uma conexão com o
conteúdo procedimental que começa a ser aplicado nesta atividade. Neste caso, como Ernest
(1996) apresenta, a atividade deve ser guiada para que o aluno possa realmente compreender a
situação problema e assim, estabelecer a estratégia que julgar conveniente para a resolução.
Figura 22: protocolo de resolução da terceira atividade, problemas 6 e 7.
88
Com relação ao protocolo de resolução anterior, é interessante observar que na resolução
algébrica, uma das partes da resolução não apresenta solução. Isso levantou questionamentos do
tipo: “não era para ter duas raízes?” ou “ainda não consegui achar a outra raiz!” Este tipo de
equação remete a uma reflexão que na função modular, a diversidade de situações rompe com a
tendência tecnicista de resolver todos os problemas da mesma maneira, como por exemplo, a
equação do 2º grau, que sempre pode ser resolvida pela fórmula conhecida como “de Bháskara”.
Assim, a rede curricular fica favorecida devido a diversidade dos casos ser acompanhada por uma
diversidade ainda maior de possíveis interações que podem ser estabelecidas dentro da própria
Matemática ou com outras áreas de conhecimento.
Ao introduzir a resolução em no plano cartesiano das mesmas equações que na parte
anterior foram resolvidas na reta numérica, os alunos não apresentaram dificuldades em
identificar os valores de x que satisfazem a igualdade. Desse modo, afirmaram que se tratava de
uma resolução mais fácil que a anterior.
A parte seguinte, referente a resolução algébrica demandou um tempo excessivo devido a
tendência de separar em partes e fazer a resolução de cada parte dentro das condições de
existência, determinando assim, a solução da equação.
Figura 23: protocolo referente a resolução do problema 8, terceira atividade.
89
Sobre a equação x − 2 + x + 3 = 4 , proposta no problema 11, uma aluna afirmou que
“equações modulares sem solução são mais fáceis de visualizar no plano cartesiano”. De fato, a
resolução na reta numérica não permite uma rápida visualização desse tipo de situação, mesmo
que seja trabalhada a expressão verbal.
Figura 24: protocolo da atividade 11, itens e-f, terceira atividade, sobre a interpretação no plano cartesiano.
90
A terceira atividade se encerra com um problema de aplicação da função modular na
Física, estudo de Óptica e formação da imagem em espelhos planos. Como se trata de reflexões
simétricas bilateralmente, foi proposta uma situação em que o aluno escreve a equação de cada
trajetória dos raios. Neste problema, os alunos apresentaram um pouco de insegurança em relação
ao novo conteúdo da Física, mas o conhecimento em função modular contribuiu para a interação
entre Matemática e Física, formando uma rede entre duas áreas de conhecimento distintas.
Figura 25: última parte da terceira atividade – protocolo de resolução.
91
Quarta atividade
Esta atividade foi realizada por quatro grupos (formados por dois ou três alunos), de modo
que a metade dos grupos realizou a atividade na seguinte ordem: resolução na reta numérica para
depois resolver no plano cartesiano e a outra metade dos grupos fez a mesma atividade em ordem
inversa. De acordo com Friedlander (1995) em seu artigo sobre o ensino de valor absoluto numa
abordagem espiral, os alunos e professores tendem a achar mais fácil a resolução em no plano
cartesiano. Porém, as duplas que resolveram na reta numérica primeiro apresentaram maior
desenvoltura e facilidade na resolução das inequações. Isto se deve ao fato daqueles que
resolveram primeiro no plano cartesiano apresentarem uma certa dificuldade em resolver os
mesmos problemas na reta numérica, sendo que o contrário não se verifica, ou seja, ao resolver
na reta numérica, a resolução no plano cartesiano ocorre de modo mais natural, caso seja feito em
seguida.
As inequações modulares que são propostas nesta atividade estão organizadas em ordem
crescente de dificuldade. Por essa razão, todos os grupos realizaram no tempo proposto todas as
atividades, inclusive as complementares. A resolução das desigualdades se deu numa agilidade
consideravelmente maior se comparada com a resolução das equações (sem considerar as
resoluções algébricas).
Optou-se por não explorar demasiadamente a resolução algébrica, por ser extensa e pelo
foco integrador entre Álgebra e Geometria, presente nesta pesquisa.
Os alunos perceberam que a resolução das inequações segue o mesmo princípio das
equações modulares. Isso torna-se perceptível nas resoluções na reta numérica e no plano
92
cartesiano, quando os pontos válidos no caso de uma igualdade são marcados e a partir deles,
determina-se, se for o caso, o(s) intervalo(s) que satisfaz(em) a desigualdade.
Todos os alunos se equivocaram na resolução de uma desigualdade do tipo
3 x − 5 > 2 x − 1 . Muitos consideraram que o simples fato de existir uma variável externa às
barras de módulo implica que a expressão externa deve ser estritamente positiva ou igual a zero.
É possível que este tipo de equívoco seja resultante de uma generalização indevida dos princípios
restritivos de uma equação.
Figura 26: protocolo de resolução da inequação modular
3 x − 5 > 2 x − 1 no plano cartesiano.
93
5 CONCLUSÃO
O ensino do valor absoluto e função modular, por meio de uma seqüência didática
formada numa perspectiva curricular em rede, foi abordado nesta pesquisa qualitativa. As
evidências levantadas ao longo da elaboração das atividades investigativas e os dados e
informações obtidos na aplicação contribuíram para a formação de uma seqüência didática que
integra características de uma seqüência de conteúdo, currículo em rede e os tipos de conteúdos:
conceituais, procedimentais e atitudinais, além de suas peculiaridades.
Em relação ao problema de pesquisa, as evidências mostram que a função modular e o
valor absoluto, por serem assuntos que possuem diversas estratégias para resolução de problemas,
estabelecem interações diversificadas, de modo que o uso de combinação de funções e translação
de eixos permitem conexões com outras funções matemáticas e com alguns princípios da
Geometria Analítica que estejam relacionados com distância.
Logo, a formação de ligações entre os diversos nós (assuntos) da Matemática abrem
perspectivas para interações entre diferentes áreas de conhecimento, como a língua Portuguesa e
a Matemática na expressão verbal de equações e inequações modulares; Física e Matemática na
trajetória de raios na formação de imagens em espelhos planos; Estatística e Matemática com a
definição de desvio médio absoluto. Como afirma Pires (2000), as conexões não ocorrem apenas
em nível intra-matemático.
A resolução de igualdades e desigualdades modulares, a partir da expressão verbal e
interpretação geométrica, na reta numérica e no plano cartesiano, contribui para uma abordagem
integrada entre Álgebra e Geometria, que segundo Friedlander (1995) resulta num ensino em
94
espiral. Ora, se a abordagem é espiral, ao percorrer um caminho com essa trajetória se faz
necessário a interligação entre as diversas partes para romper com a linearidade dos currículos.
Desse modo, as estrutura do Ácido Desoxirribonucléico ADN (ou DNA na língua Inglesa)
constitui uma boa metáfora para indicar o perfil do caminho que assuntos como a função modular
percorrem. Trata-se de uma junção entre a abordagem espiral e a curricular em rede, que
possibilita várias interações entre os diversos temas, numa referência à dupla hélice que liga
fortemente as duas longas fitas que constituem o ADN. A informação genética que cada ADN
traz são os tipos de conteúdos que podem ser formalizados por meio das interações.
O nó escolhido para análise das interações estabelecidas na rede revela que qualquer
assunto pode ser integrador. Basta focar nas interações, pois assim o significado de cada nó será
amplamente conhecido.
O uso de informática para explorar gráficos foi essencial para a aprendizagem
significativa das propriedades da função, evitando concepções equivocadas a respeito de
princípios matemáticos como a definição de valor absoluto de um número real e a representação
gráfica de funções modulares. Assim, a utilização de software contribuiu para a conexão entre os
conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais.
A aplicação das atividades mostrou que a ordem entre os tipos de resolução possíveis no
estudo de determinado tema não segue a coerência rígida presente no currículo linear e
compartimentado. Antes, segue a flexibilidade condicionada à organização curricular em rede.
A aplicação também revelou que o grau de dificuldade dos alunos em relação a temas
específicos não são relevantes na formação de estratégias de resolução e no raciocínio
desenvolvido. Mesmo temas de outras áreas de conhecimento que ainda não são conhecidos pelos
alunos, ao serem associados com temas que estão sendo estudados e aplicados no processo ensino
e aprendizagem, tornam-se acessíveis e passíveis de um significado integrador.
95
Os dados obtidos na aplicação, ao serem confrontados com os dados do processo de
elaboração das atividades, não evidenciaram o motivo que levou algumas conexões entre as
atividades a não subsistirem. Algumas das propriedades aritméticas e gráficas não foram
aplicadas na resolução de equações, mesmo as atividades sendo aplicadas em dias consecutivos.
Contudo, algumas questões surgiram com o a análise de resultados:
•
Como associar o ensino de função modular e valor absoluto com a Matemática
Financeira e as restrições estritamente positivas de funções como demanda e receita?
•
Como desenvolver o estudo de lugar geométrico na Geometria Analítica através do
conceito de módulo?
•
Como realizar a mesma abordagem curricular no Ensino Superior, envolvendo
números complexos?
•
Como se dá a interação entre valor absoluto e a introdução ao cálculo diferencial na
definição de limite de uma função?
Propõe-se como temas de futuras pesquisas sobre o ensino de valor absoluto e função
modular a utilização da definição de valor absoluto, lugar geométrico, distância e cônicas para a
resolução de igualdades e desigualdades algébricas modulares na reta numérica e no plano
cartesiano. Pode-se estender a pesquisa para a resolução em IR³.
Portanto, espera-se que a pesquisa aqui apresentada contribua para o desenvolvimento de
mais ações integradas no currículo e desperte o interesse em projetos que envolvam o estudo do
valor absoluto e da função modular, tendo em vista suas múltiplas abordagens.
96
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BICUDO, Maria A. V. Pesquisa Qualitativa e Pesquisa Qualitativa segundo a abordagem
fenomenológica. In: Marcelo C. Borba & Jussara Loiola Araújo (orgs.): Pesquisa Qualitativa em
Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004, p.99-112.
BORBA, Marcelo; PENTEADO, Miriam.
Informática e educação Matemática. Belo
Horizonte: Autêntica, 2001.
BRAGA, Ciro. Função: a alma do ensino da Matemática. São Paulo: Annablume - FAPESP,
2006.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio) . Secretaria de Educação Média
e Tecnológica - Brasília: MEC/SEMT, 2002.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio) – Orientações Educacionais
complementares (PCN+). Secretaria de Educação Média e Tecnológica - Brasília: MEC/SEMT,
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ZABALA, A. A Prática Educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998.
nova
100
APÊNDICE – SEQUENCIA DIDÁTICA: VALOR ABSOLUTO
E FUNÇÃO MODULAR.
1ª atividade: O conceito de módulo e seu significado geométrico.
Alunos: _________________________________________________________________
Prezado(a) aluno(a),
Convidamos você a explorar o conceito de módulo na Matemática. Este conceito possui
diversas aplicações e interações com outros conteúdos matemáticos e nossa proposta é explorar
algumas delas.
Sabe-se que o módulo (valor absoluto) de um número real x, é definido como sendo o
maior valor entre x e -x, isto é:
|x| = máximo{x,-x}
1ª parte: Definição e interpretação geométrica.
1) Usando a definição acima, determine qual o valor de cada expressão numérica abaixo.
a) 4 − 7 = ........................
b) 3 + 5 = ........................
c) π − 4 = .......................
d) 4 − π = .......................
e) 7 − 4 = ........................
2) Represente na reta numérica cada valor relativo no item anterior e em seguida represente
seu valor absoluto correspondente.
3) Determine a distância de cada número assinalado na reta numérica em relação a origem
(zero).
a)
b)
c)
d)
e)
4 – 7 – Distância: .............................
3 + 5 – Distância: .............................
π − 4 - Distância: ............................
4 − π - Distância: ............................
7 – 4 – Distância: .............................
101
4) Verifique que o valor absoluto indica em IR a distância do número a origem.
Sendo assim, podemos afirmar que o módulo representa a distância de um número até a
origem.
Quando existem dois números com módulos iguais e valores relativos com sinais opostos,
dizemos que esses números são opostos ou simétricos.
Identifique os pares de números simétricos na representação feita no questão 02.
2ª parte: Propriedades.
5) Determine os possíveis valores de x em cada item (se existir).
a) x = 4 ...................................................................................
b) x = π ..................................................................................
c) x = 0 ...................................................................................
d) x = −4 ................................................................................
e) x = −1 ................................................................................
6) Responda as seguintes questões sobre o exercício anterior.
a) Em quais itens você observou a existência de dois valores para x? Por quê?
b) Em quais itens você observou a inexistência de valores para x?
c) Em quais itens você observou a presença de apenas um valor para x? Por quê?
102
7) Calcule os módulos e efetue as operações indicadas, completando as tabelas a seguir.
Tabela 1
x
1
-3
-4,5
π
4
y
|x|
|y|
|x.y|
|x|.|y|
x
x
y
y
-2
-4
6
−π
5
Tabela 2
8)
a) Quais igualdades podem ser estabelecidas a partir da tabela 1?
b) Este tipo de propriedade poderia ser usada em adição e subtração de valores absolutos e
módulo da soma ou diferença dos respectivos valores relativos? Explique dando contraexemplos.
9) Na tabela 2, identifique pares de colunas que apresentam resultados congruentes.
103
10) Generalizando, para que tipo de expoente temos resultados iguais valor absoluto e
relativo? Justifique.
11) A radiciação é uma das operações inversas da potenciação.
Assim, n a = b ⇔ b n = a para a, b ≥ 0 se n é par ou a, b ∈ IR se n é ímpar.
Pelas condições de existência da radiciação e pela definição de módulo, podemos afirmar
que
n
a n = a, ∀a, n ∈ IN * − {1} ? Justifique.
SÍMBOLOS: ∀ - para todo
⇔ se, e somente se
3ª parte: desigualdades.
12) Determine o conjunto de todos os valores reais de x para os quais tem-se:
a) x ≥ 6 ⇒ x ≥ ........ ou x ≤ ............
b) x > 4,5 ⇒ x > ....... ou x < ...............
c) x ≤ 3 ⇒ x ≤ ......... e x ≥ ............
d) x < 5 ⇒ x < .......... e x > .............
13) Represente cada conjunto acima na reta numérica.
a)
104
b)
c)
d)
14) Conectivo lógico é um operador lógico que se liga a uma ou mais proposições simples
transformando-as em proposições compostas. O conectivo “e” é usado para indicar conjunção e o
conectivo “ou” é usado para indicar disjunção.
Observe que na questão 12 foram empregados conectivos lógicos distintos. Explique a
distinção no uso dos conectivos lógicos.
15) Se a ∈ IR+ logo x ≥ a se ........................ e x ≤ a se .......................................
Geometricamente, como podemos representar as condições acima na reta numérica?
105
4ª parte: Aplicações.
16) Considere uma sala de aula da primeira série do Ensino Médio com 20 alunos.
O professor de Matemática decidiu fazer um levantamento estatístico das notas que os
alunos apresentaram na sua última avaliação bimestral. Ao fazer o levantamento, ele
obteve as seguintes notas, numa escala de 0 a 10:
3,4
7,5
4,5
7,6
5,6
8,0
5,7
8,3
6,1
9,1
6,2
9,4
6,7
9,7
7,1
9,8
7,1
10,0
7,2
10,0
Determine a média aritmética simples das notas nesta sala, sabendo que a média aritmética de
n elementos é dada pela divisão por n da soma dos n números dados.
17) Ao determinar o valor de uma grandeza em um experimento ou levantamento de dados, é
necessário determinar o intervalo de valores ao qual pertence o valor determinado.
Podemos escrever esta grandeza da seguinte forma: x = x ± d , sendo x o valor da
grandeza, x o valor mais provável e d o desvio médio absoluto, isto é, média aritmética
simples dos desvios dos valores a contar da média, ignorando-se o sinal de diferença.
Assim:
d 1 + d 2 + d 3 + ... + d n
d=
n
sendo n a quantidade de dados e cada d n o desvio que afeta sua respectiva medida.
Complete a tabela a seguir com a medida de cada desvio e em seguida determine o desvio
médio absoluto.
106
Tabela 3
xi
d i = xi - x
di
d = .................................................................
18) Ao realizar este tipo de tratamento de dado, o professor está procurando a nota média e
seu respectivo desvio. Escreva o resultado da grandeza procurada pelo professor
conforme definição apresentada no item anterior.
107
19) Represente numa mesma reta numérica cada nota, a média aritmética simples das notas,
cada desvio e o desvio médio absoluto. O que você observa nesta representação? (Para
facilitar sua observação, represente a média e o desvio absoluto médio com cores
diferentes).
20) Por que deve ser usado módulo para calcular o desvio médio absoluto?
108
ATIVIDADES INVESTIGATIVAS EM MATEMÁTICA.
2ª atividade: A função modular e sua família de curvas.
ALUNOS: _____________________________________________________________
1ª parte: Função formada por várias sentenças.
1) Observe a tabela abaixo que ilustra um documento referente ao consumo de água
residencial em um determinado mês. Observe que a conta possui uma tarifa mínima e
diferentes faixas de tarifação.
COMPANHIA DE SANEAMENTO (tarifas de água/m³)
Faixas de consumo
Tarifa – R$
consumo
Valor – R$
6,50
Tarifa mínima
6,50
Até 10
0,95
5
4,75
11 a 15
1,75
5
8,75
15 a 20
2,50
3
7,50
20 a 25
3,00
---------------Acima de 25
Total
---------23
27,50
Represente graficamente o valor da conta de água acima em função do consumo em m³.
Em seguida, trace os segmentos de retas que unem os pontos assinalados para observar a
generalização desta situação.
109
2) Observe a seguir as equações das retas suportes de cada segmento acima traçado e
determine suas respectivas condições que descrevem a função da conta de água em função
do consumo.
* f ( x) = 6,50 .................................................................
* f ( x) = 6,50 + 0,95 x ......................................................
* f ( x) = 11,25 + 1,75 x........................................................
* f ( x) = 19 + 2,50 x.............................................................
* f ( x) = 26,50 + 3 x..............................................................
A função acima é um exemplo de função formada por várias sentenças. Neste tipo de função
encontramos várias equações descrevendo uma mesma função, porém em intervalos de domínio
distintos.
110
2ª parte: a Função Modular.
Os subitens a, b, c, d da atividade 4 devem ser realizadas no primeiro plano
cartesiano.
3) Dê o que se pede:
a) Trace a reta f ( x) = x , conhecida como função identidade. Esta reta é bissetriz dos
1º e 3º quadrantes do plano cartesiano.
b) Determine a equação g (x ) da reta que é bissetriz dos 2º e 4º quadrantes e em
seguida trace esta reta.
c) Determine as imagens a seguir e trace suas coordenadas no plano cartesiano
f (−3), f (−1), f (0), f (1), f (3), g (−3), g (−1), g (0), g (1) e g (3).
d) Trace no plano cartesiano as distâncias de cada ponto do item c ao eixo das
abscissas e ao eixo das ordenadas.
111
e) Complete a tabela referente ao item d da questão 04.
Tabela 1:
x
f(x)
Distância do
ponto em relação
ao eixo das
abscissas.
Distância do
ponto em
relação ao eixo
das ordenadas.
|x|
g(x)
Distância do
ponto em relação
ao eixo das
abscissas.
Distância do
ponto em
relação ao eixo
das ordenadas.
|x|
Tabela 2:
x
f) O que você observa em relação às distâncias aos eixos coordenados para cada
ponto observado na tabela?
112
g) Trace os gráficos dos valores absolutos de f ( x ) e g ( x) no plano abaixo, obtendo
assim o gráfico que será chamado h(x).
h) O que você observa para os valores de x e suas respectivas imagens nos gráficos
dos valores absolutos de f ( x ) e g ( x) ?
113
i) Reescreva a equação do gráfico de h( x) = x como função formada por duas
sentenças e seus respectivos domínios.
j) Sobre o gráfico de h(x) , determine:
•
Domínio da função.
•
Imagem da função.
•
intervalo de crescimento.
•
intervalo de decrescimento.
•
ponto mínimo da função.
•
se existe simetria em relação aos eixos coordenados. E em caso afirmativo, a quais eixos.
•
zero da função.
114
3ª parte: o gráfico das funções modulares transformadas.
Na 3ª parte será fundamental a utilização de um software para construção de gráficos.
Sugerimos a utilização do software GEOGEBRA.
4) Esboce num mesmo plano cartesiano a seguinte família de funções e transcreva o esboço
para o plano abaixo:
a) f ( x) = x
b) f ( x) = x − b para b = 1.
c) f ( x) = x + b para b = 1.
115
d) Sobre os gráficos traçados acima, determine:
Tabela 3:
**************
f ( x) = x
f ( x) = x − b para b = 1.
f ( x) = x + b para b = 1.
Domínio
Imagem
Ponto mínimo
Zero da função
Intervalo
crescimento
Intervalo
decrescimento
de
de
6) Esboce num mesmo plano cartesiano a seguinte família de funções e transcreva o esboço
para o plano abaixo:
a) f ( x) = x
b) f ( x) = x − b para b = 2, 3, 4 ...
c) f ( x) = x + b para b = 2, 3 , 4 ...
116
7) O que você observa nos gráficos de f ( x) = x − b e f ( x) = x + b em relação a f ( x) = x ?
(Considere b ∈ Z ).
8) Esboce num mesmo plano cartesiano a seguinte família de funções:
a) f ( x) = x
b) f ( x) = x + b para b = 1.
c) f ( x) = x − b para b = 1.
117
d) Sobre os gráficos traçados acima, determine:
Tabela 4:
**************
f ( x) = x
f ( x) = x + b para b = 1.
f ( x) = x − b para b = 1.
Domínio
Imagem
Ponto mínimo
Zero da função
Intervalo
crescimento
Intervalo
decrescimento
de
de
e) Por que a imagem assume alguns valores negativos nas funções f ( x) = x ± b , b = 1?
9) Esboce num mesmo plano cartesiano a seguinte família de funções e transcreva o esboço para
o plano abaixo:
a) f ( x) = x
b) f ( x) = x + b para b = 2, 3, 4 ...
c) f ( x) = x − b para b = 2, 3, 4 ...
118
10) O que você observa nos gráficos de f ( x) = x + b e f ( x) = x − b em relação a
f ( x) = x ? (Considere b ∈ Z ).
119
11) Esboce num mesmo plano cartesiano a seguinte família de funções:
a) f ( x) = x
b) f ( x) = ax para a = 2.
c) f ( x) = ax para a = ½.
d) Sobre os gráficos traçados acima, determine:
Tabela 5:
**************
Domínio
Imagem
Ponto mínimo
Zero da função
Intervalo
crescimento
Intervalo
decrescimento
de
de
f ( x) = x
f ( x) = ax para a = 2.
f ( x) = ax para a = ½.
120
12) Esboce num mesmo plano cartesiano a seguinte família de funções e transcreva o esboço para
o plano abaixo:
a) f ( x) = x
b) f ( x) = ax para a = 3, 4, 5 ...
c) f ( x) = ax para a = 1/3, ¼, 1/5 ...
13) O que você observa nos gráficos de f ( x) = ax em relação a f ( x) = x ? (Considere
a ∈ R * e a ≠ 1).
121
14) Reescreva a função f ( x) = 2 x − 1 + 2 como uma função formada por duas sentenças.
15) A partir das observações levantadas em exercícios anteriores, determine o esboço
gráfico de f ( x) = 2 x − 1 + 2 a partir da translação de eixos.
Sugestão: determine o esboço de f ( x) = x e em seguida, g ( x) = 2 x para enfim
determinar h( x) = 2 x − 1 e p ( x) = 2 x − 1 + 2 .
122
ATIVIDADES COMPLEMENTARES.
16) Esboce o gráfico de f ( x) = x − 3 e f ( x) = 3 − x . O que você observa em relação a
estes gráficos?
17) Escreva cada função a seguir como função formada por duas sentenças e em seguida,
esboce seu gráfico.
2
a) f ( x) = x − 4 ⋅ x − 5
123
b) f ( x) = x 2 − 4 ⋅ x − 5
124
18) Por que os gráficos do exercício anterior não são congruentes?
125
ATIVIDADES INVESTIGATIVAS EM MATEMÁTICA.
3ª atividade: A equação modular.
1ª parte: Equação modular e o conceito de distância em IR.
1) Represente na reta numérica e escreva em palavras a distância entre:
a) x e –x
b) x e 3 com x > 3.
c) x e 3 com x < 3.
d) x e -5 com x > -5.
e) x e -5 com x < -5.
126
f) x + 5 e x.
g) x + 2 e x.
h) x + 5 e x + 2.
i) x – a e x + a.
j) a – x e x – a.
2ª parte: Resolução de equações modulares em IR.
2) Com o conceito de distância, escreva em palavras a equação x − 2 = 4
127
3) Mostre na reta numérica a resolução da equação acima.
4) Com o conceito de distância, escreva em palavras a equação x + 2 = 4
5) Mostre na reta numérica a resolução da equação acima.
6) Escreva em palavras a equação x − 2 = 3 − x com o conceito de distância.
7) Mostre na reta numérica a resolução da equação acima.
128
3ª parte: Resolução de equações modulares em IR².
8) Observe a equação x − 2 = 4 e dê o que se pede.
a) Escreva em palavras a equação acima como igualdade entre duas funções.
b) Expresse algebricamente as duas funções.
c) Represente graficamente estas funções e determine o(s) ponto(s) de interseção dos gráficos em
R² .
129
d) Comparando com a resolução em IR, o que você observa em relação ao conjunto solução e a
interseção dos gráficos?
9) Observe a equação x + 2 = 4 e dê o que se pede.
a) Escreva em palavras a equação acima como igualdade entre duas funções.
b) Expresse algebricamente as duas funções.
c) Represente graficamente estas funções e determine o(s) ponto(s) de interseção dos gráficos em
R² .
130
d) Comparando com a resolução em IR, o que você observa em relação ao conjunto solução e a
interseção dos gráficos?
10) Observe a equação 3 − x = x + 2 e dê o que se pede.
a) Escreva em palavras a equação acima como igualdade entre duas funções.
b) Expresse algebricamente as duas funções.
c) Represente graficamente estas funções e determine o(s) ponto(s) de interseção dos gráficos em
R² .
131
d) Comparando com a resolução em IR, o que você observa em relação ao conjunto solução e a
interseção dos gráficos?
11) Observe a equação x − 2 + x + 3 = 4 e dê o que se pede.
a) Com o conceito de distância, escreva em palavras a equação acima.
b) Mostre na reta numérica a resolução da equação acima.
c) Escreva em palavras a equação acima como igualdade entre duas funções.
d) Expresse algebricamente as duas funções.
132
e) Represente graficamente estas funções e determine o(s) ponto(s) de interseção dos gráficos em
R² .
f) Comparando com a resolução em IR, o que você observa em relação ao conjunto solução e a
interseção dos gráficos?
12) Observe a equação x − 2 = 2 − x e dê o que se pede.
a) Escreva em palavras verbalmente a equação acima como igualdade entre duas funções.
133
b) Represente graficamente estas funções e determine o(s) ponto(s) de interseção dos gráficos em
R² .
4ª parte: Resolução algébrica de equações modulares.
13) Resolva algebricamente as equações.
a) x − 2 = 4
134
b) x + 2 = 4
c) 3 − x = x + 2
135
d) x − 2 + x + 3 = 4
136
5ª parte: aplicação em Física.
14) Considere um espelho plano horizontal sobre o qual incide um raio de luz com
inclinação de 60º em relação ao plano do espelho. Dê o que se pede:
a) Represente no diagrama a seguir a trajetória do raio que será refletido pelo espelho.
b) Qual o ângulo, em relação ao plano do espelho, formado pelo raio refletido?
c) Supondo que o ponto do espelho em que ocorre a reflexão do raio de luz seja o ponto de
origem do plano cartesiano, escreva matematicamente a função que melhor descreve a
trajetória do raio de incidência e do raio de reflexão.
15) Considera-se espelho plano toda superfície plana e lisa onde predomine a reflexão
regular da luz.
Formação de imagens num espelho plano
•
•
O objeto e a sua imagem fornecida por um espelho plano são simétricos em relação ao
espelho.
Um espelho plano associa a um objeto real uma imagem virtual.
137
Considere a situação a seguir e escreva as equações das funções que representam a trajetória
do raio 1, com inclinação de 60º em relação ao espelho e seu raio refletido e a trajetória do
raio 2, com inclinação de 30º em relação ao espelho e seu raio refletido. Considere ainda os
pontos (3,0) e (5,0) sendo A e B respectivamente.
(Observação: considere o plano horizontal como eixo y e a origem como o ponto de
interseção do espelho com este plano horizontal).
a) Escreva as equações das funções determinadas.
138
b) Determine a posição exata do olho do observador na situação proposta e justifique
sua resposta.
139
ATIVIDADES INVESTIGATIVAS EM MATEMÁTICA.
4ª atividade: Desigualdades modulares.
1ª parte: Expressão verbal de desigualdades modulares e representação na reta
numérica.
1) Complete a tabela que apresenta a expressão verbal de inequações modulares.
Inequação
Expressão verbal
Representação na reta numérica
x ≥3
x ≤6
x−2 > 4
Números cuja distância
até o 2 é maior que 4
unidades
x−2 < 4
x +1 ≤ 3
x +1 ≥ 3
2) Usando o conceito de distância, escreva em palavras a desigualdade modular
x − 3 > x −1 .
3) Represente na reta numérica sua solução.
140
4) Usando o conceito de distância, escreva em palavras a inequação x − 3 + x − 1 ≤ 3 .
5) Representa na reta numérica a solução da inequação acima.
2ª parte: Representação de desigualdades modulares em IR².
5) Considere a desigualdade x − 2 > 4 .
a) Escreva em palavras a inequação acima como comparação entre duas funções.
141
b) Represente no plano cartesiano cada função, determinando as interseções entre os
gráficos (se for o caso).
c) Hachure a região da solução e determine o conjunto solução da desigualdade.
d) Compare a solução obtida com a apresentada na tabela da atividade 1.
142
6) Considere a desigualdade x − 3 > x − 1 e dê o que se pede.
a) Escreva em palavras a inequação acima como comparação entre duas funções.
b) Represente no plano cartesiano cada função, determinando as interseções entre os
gráficos (se for o caso).
143
c) Hachure a região da solução e determine o conjunto solução da desigualdade.
d) Compare a solução obtida com a apresentada na tabela da atividade 3.
7) Considere a desigualdade x − 3 + x − 1 ≤ 3 e dê o que se pede.
a) Escreva em palavras a inequação acima como comparação entre duas funções.
144
b) Represente no plano cartesiano cada função, determinando as interseções entre os
gráficos (se for o caso).
c) Hachure a região da solução e determine o conjunto solução da desigualdade.
d) Compare a solução obtida com a apresentada na tabela da atividade 5.
145
e) Determine a solução algébrica da inequação.
146
8) Considere a seguinte desigualdade modular 3 x − 5 > 2 x − 1 .
a) Existe alguma restrição para esta desigualdade?
b) Escreva em palavras a inequação acima como comparação entre duas funções.
c) Represente no plano cartesiano cada função e, caso exista, as interseções entre os
gráficos.
147
d) Hachure a região da solução e determine o conjunto solução da desigualdade.
e) A solução determinada é compatível com a restrição?
ATIVIDADES COMPLEMENTARES:
9) Considere a seguinte desigualdade modular 3 x − 5 + x − 1 > 2 .
a) Expresse verbalmente a desigualdade como comparação entre duas funções.
148
b) Representa no plano cartesiano cada função, suas respectivas interseções com os eixos
coordenados e, caso exista, as interseções entre os gráficos.
c) Hachure a região da solução e determine o conjunto solução da desigualdade.
d) Resolva algebricamente a inequação proposta.
149
10) Considere a seguinte desigualdade modular x 2 − 3 ≤ 2 x − 3
a) Expresse verbalmente a desigualdade como comparação entre duas funções.
150
b) Representa no plano cartesiano cada e, caso exista, as interseções entre os gráficos.
c) Hachure a região da solução e determine o conjunto solução da desigualdade.