CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2013.2
Função Modular
Lucas Araújo - Engenharia de Produção
NA AULA DE HOJE...
Módulo de um número real;
Equações modulares;
Inequações modulares;
Função Modular.
Módulo de um número real
O módulo ou valor absoluto de um número real r, é
representado por |r| e definido da seguinte maneira:
r se r ≥ 0
|r|=
-r se r < 0
Então:
• Se r é positivo ou zero, | r | é igual ao próprio r.
• Se r é negativo, | r | é igual a -r.
Módulo de um número real
O módulo de um número real é sempre positivo ou
nulo, nunca é negativo.
Geometricamente, o módulo de um número indica, na
reta real, a distância desse número ao zero. Assim:
a unidades a unidades
0
Módulo de um número real
PROPRIEDADES
1º) Para todo r  , temos que |r|=|-r|.
Exemplos:
a) |7| = |-7| = 7
b) |-4|=|4| = 4
c) |1/2|=|-1/2| = 1/2
CUIDADO!! |-r|≠ r
2º) Para todo r   , temos |r²|=|r|²= r²
Exemplos:
a) Para r = 6  r² = 36, |r²| = |36| e |r|² = |6|² = 6² = 36
b) Para r=-5  r² = 25, |r²| = |25| e |r|² = |-5|² = 5² = 25
Módulo de um número real
3º) Para todo r e x pertencentes a R, |r . x|=|r|.|x|
Exemplo:
a) r=2 e x=3 -> |2 . 3| = |2| . |3|
|6| = 2 . 3 -> 6 = 6
4º) Para todo r e x pertencentes a R, |r + x| ≤ |r|+|x|
Exemplo:
a) r=-3 e x=4 -> |(-3) + 4| ? |(-3)| + |4|
|1| ? 3 + 4
1< 7
Módulo de um número real
5º) Para todo r e x pertencentes a R, ||r| - |x|| ≤ |r - x|
Exemplo:
a) r = -1 e x = 2
||-1| - |2|| ? |-1 – 2|
|1 - 2| ? |3|
|-1| ? |3|
1< 3
Equações modulares
Toda a equação que contiver a incógnita em um
módulo num dos membros será chamada equação
modular.
Para resolvê-las é útil lembrar das propriedades dos
módulos.
Exemplos:
a) | x - 5 | = 3
Resposta : x=8 ou x=2
b) | 3x - 5 | = | x + 3 |
Resposta : x=1/2 ou x=4
Inequações modulares
Chamamos de inequações modulares as inequações nos
quais aparecem módulos de expressões que contém a
incógnita.
Exemplos:
a) | x - 3 | < 7
b) 2 < |x - 1| < 4
Resposta : -4 < x < 10
Resposta : -3 < x < -1 ou 3 < x < 5
Função Modular
Chamamos de função modular a função f, de R em R, tal
que f apresenta o módulo na sua lei de formação. A
função modular mais elementar é dada por f(x)=|x|, que
pode ser reescrita por:
 x, se x  0
f ( x)  
 x, se x  0
Observe, então, que a função modular é uma função
definida por duas sentenças.
Função Modular
DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO
Vamos determinar o domínio de algumas funções
utilizando inequações modulares:
Exemplo 1:
f ( x) 
1
| x | 3
Resolução:
1
Sabemos que
só é possível em IR se | x | 3  0.
| x | 3
Então : | x | 3  0  | x | 3  x  3 ou x  3
Resposta : D  {x  IR | x  3 ou x  3}
Gráficos
GRÁFICO
Gráfico da função f(x)=|x|:
x
-1
-2
0
1
2
y=f(x)
1
2
0
1
2
Gráficos
EXERCÍCIOS
Construa o gráfico de f ( x) | x  2 |
Resolução:
f ( x) | x  2 |
x - 2, se x - 2  0
- x  2, se x - 2  0
Ou seja,
f ( x) | x  2 |
x - 2, se x  2
- x  2, se x  2
Gráficos
EXERCÍCIOS
Resolução (continuação):
Assim, a função é a reta y=-x+2 , antes do ponto x=2, e a
reta y=x-2, após esse ponto.
Gráficos
Comparando os dois gráficos vistos:
Deslocamento horizontal para a direita em a unidades.
Gráficos
EXERCÍCIOS
Construa o gráfico de f ( x) | x  3 |
Gráficos
Comparando os gráficos das funções:
f ( x) | x  3 |
f ( x) | x |
Deslocamento horizontal para a esquerda em a unidades.
Gráficos
EXERCÍCIOS
Construa o gráfico de f ( x) | x | 1
Gráficos
Comparando os gráficos das funções:
f ( x) | x | 1
f ( x) | x |
Deslocamento vertical para cima em a unidades.
Gráficos
EXERCÍCIOS
Construa o gráfico de f ( x) | x | 2
Gráficos
Comparando os gráficos das funções:
f ( x) | x |
f ( x) | x | 2
Deslocamento vertical para baixo em a unidades.
Gráficos
De modo geral podemos perceber que:
• O gráfico de uma função g(x) = |x| + k é semelhante ao de
f(x) = |x|, porém transladado para cima (quando k > 0) ou
para baixo (quando k < 0). O número de unidades do
deslocamento é o valor absoluto de k.
• O gráfico de uma função h(x) = |x - m| é semelhante ao de
f(x) = |x|, porém transladado para a direita (quando m > 0)
ou para a esquerda (quando m < 0). O número de unidades
do deslocamento é o valor absoluto de m.
Obrigado pela atenção!
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