© J. Seixas (DFIST) 2001
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• Onde se propaga a luz?
• Como diferem a luz e o som?
• Como varia a velocidade da luz com a velocidade do observador?
• A experiência de Michelson-Moreley.
• Dificuldades com o grupo de Galileu.
• Então e o éter?
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Diferenças de tempo = Diferença de fase
Interferómetro: Medida extremamente precisa
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Detalhes...

V
c

V
d
Ach so!
c
Vêlocidade da luz
sêrr independente
da vêlocidade do
observadorr!
d
d
d
2d
T1 


c
c2 V 2
c2 V 2
d
d
2d
T2 


c V c V
c
1
V2
1 2
c
2d  V 2 

1  2 
c  2c 
1
2d  V
 1  2
2
c  c
V
1 2
c
2



Mas experimentalmente
não se observa diferença!
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Referencial S’
'
e3
Leis da Física devem
sêrr as mesmas parra
Referencial S
tôdos os rêfêrrênciais
Vdeinêrrcia!
const (Mêcânica
ê Êlêctromagnetismo)

e2
'
e2
'
e1

e3

e1
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l
Referencial S’
'
e3 
V
Referencial S
t' 
d
d
Vt

e3
d d 2d
 
c c
c
'
e2
2
'
e1
t 
l
t'
V2
1 2
c

e2
1 
2
2
 Vt   d  l
2 
2
2
2
1
1
1
  
  
 Vt    ct     ct 
2  2  2 

e1

Exemplo:

e
e
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
Uma partícula  tem uma vida média em repouso de 1.53×10-6 s. Estas
partículas encontram-se facilmente nos raios cósmicos com velocidades da
ordem de 0.992 c. Em quanto tempo percorrem a distância de 1920 m do
ponto de vista do referencial próprio do muão?
Resposta:
O tempo que um  demora apercorrer 1920 m é (no referencial do laboratório)
t
1920
 6.45  10 6 s
0.992 c
No referencial próprio do  isto corresponde a
t 
6.45 106
1  0.9922
 5.1 105 s
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Referencial S’
'
e3
t 
2l 
c
2l   ct 

2
e3
 ll 

V

Vt
Vt
2
cl
1
2
1t  2t 
2l  tct
12t
1
2
 c 2 ccV 2
Referencial S

V
'
e2

e2

e1
' l
e1
Dilatação do tempo 
2
V
l  l 1  2
c
Vt 2
l
Vt 1
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O grupo de Lorentz
Referencial S’
Referencial S
2 2 2
r c t

e2
'
e2 
v  const
vt

r'

r

e1

e3
'
e3
O ponto x’ = 0 de S’
corresponde ao ponto x = vt de
S
 2  2' 2
r   ec 1t 
x2  y2  z2  c2t 2
A x' 2  y' 2  z' 2  c 2 t' 2
y'  y
z'  z
O?
O
O O
x'  k(x  vt)
t'  a(t  bx)
Galileu:
k=a=1
b=0
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Usando as novas relações entre x, x’,t e t´



k 2 x 2  2xvt  v 2 t 2  y 2  z 2  c 2 a 2 t 2  2xbt  b 2 x 2

2

 2 2
v
2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
k  b a c x  2 k v  ba c xt  y  z   a  k 2 c t
c 

2
v
k 2  b 2 a 2 c 2  1 k 2 v  ba 2 c 2  0 a 2  k 2 2  1
c




Resolvemos este sistema de 3 equações para obter k, a e b
ka
x'  k(x  vt)
1
v2
1 2
c
t'  a(t  bx)
v2
b  2
c
G
r
u
p
o
d
e
L
o
r
e
n
t
z
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x  vt
x 
v2
1 2
c
y  y
z  z
t 
v
x
c2
v2
1 2
c
t
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Invariantes
A distância
s  x A  xB    y A  y B   z A  z B   c t A  t B 
2
2
2
2
2
é um invariante
A distância
 
s  rA  rB
2
é um invariante
2
2
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Referencial S

e2
Referencial S’

v
?
V  const

v

e1

e3
' 
e2

v
'
e3
'
e1
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Como abordar o problema:
x  Vt
x 

v
V 2
1 
c2
?
dz
dx
dy
vx 
vy 
vz 
dt
dt
dt
y  y
z  z
V
x
c2
V 2
1 
c2
t 
t 

dx  
dx  V dt
1
dy   d y
dz   d z
dt  
2
V
c2


v
vx  V
1
2
V
c2
dt
Dividir
V vx
V
d
x
1

2
c2
c

dt
2
2
V
V
1 2
1 2
c
c
dt 
dz 
dx 
dy 
v x 
v y 
v z 
dt 
dt 
dt 
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A
d
i
ç
ã
o
d
e
v
e
l
o
c
i
d
a
d
e
s
v x 
v V
dx 
 x
Vv
dt 
1  2x
c
V2
vy 1  2
dy
c
v y 

Vv
dt 
1  2x
c
V2
vz 1  2
dz 
c
v z 

Vv
dt 
1  2x
c

V
Vxx  cc ?
OK!
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E as acelerações?
dv
ax  x
dt
ay 
dv y
dt
az 
3
 V  2
1  2 
c 
dv x dv x dt

a x 

 ax
3
dt 
dt dt 
 Vv x 
1  2 
c 

ay
az


ay 
az 
2
V
V2
1 2
1 2
c
c
2

dv z
dt

 
V a
2
a 
2
2
c
a 
V2
1 2
c
 
Va

2
 
V || a
a 
a
 V
1  2
c

2



3
2
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Exemplo 1:
A vida média de um + no seu referencial próprio é
2.510-8 s. Num feixe de mesões + com a velocidade
0.99 c, qual é a distância média que percorrem no
laboratório antes de decair? Qual seria essa distância
se os efeitos relativistas não existissem?
Resposta:
No referencial do +:
O + está em
repouso
•formação do + : (x’,y’,z’,t’)=(0,0,0,0)
•desintegração do + : (0,0,0,t’=2.5 10-8 )
No referencial do laboratório:
•formação do + : (xi,yi,zi,ti)
•desintegração do + : (xf,yf,zf,tf)
Grupo de
Lorentz
x 
O
x   Vt 
V2
1 2
c
y  y
z  z
t 
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Atenção à
velocidade
relativa!
V
x
2
c
V2
1 2
c
O
t
xf  xi 
xi  0
xf 
yi  0
zi  0
yf  0
ti  0
zf  0
tf 
Vt 
2
V
1 2
c
x 2  x 1  52.7m
tf  ti 
t
2
Vt 
V2
1 2
c
t
V2
1 2
c
V Dilatação
1  2 do tempo!
c
Não relativista: x 2  x 1  7.43m
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Exemplo 2:
Um foguete tem um comprimento L=600m medida em
repouso na Terra. Ele move-se directamente para longe
da Terra com uma velocidade constante. Um sinal
radar é enviado da Terra e reflecte-se em instrumentos
colocados na cauda e no nariz do foguete. O sinal
reflectido da cauda é detectado na Terra 200 s depois da
emissão e o que vem do nariz 17.410-6 tarde. Calcule a
distância e velocidade do foguete em relação à Terra.
Resposta:
1ª parte: A velocidade do impulso é 3108
2.6110 3  600
8
V 

2.31

10
ms
6
8.7 10
R
3R10
 3810
 10
200
m  2R
1
3 108  17.4 10-6  2.61 10 3m
2
6


t 
17.4 10
2
 8.7 10 6 s
V~c!!
L  Vt
1
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Lorentz:
Do cálculo
anterior:
βV
c
 0.77
L 1  β2  Vt  ct
ct 

L
β
ct L 
2
2
1
1
 0.9
A distância
R tem o
mesmo valor,
claro!