Probabilidade II
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios
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Distribuição de funções de vetores aleatórios
Uma variável aleatória X é uma função definida a partir do espaço amostral Ω
para os números reais.
Ao definir uma variável aleatória bidimensional (X , Y ) estamos interessados em
um par de funções, X = X (ω), Y = Y (ω), que associa um número real a todo
ω ∈ Ω, fornecendo o vetor bidimensional [X (ω), Y (ω)].
Considere Z = h(X , Y ) uma função das variáveis aleatórias X e Y .
O valor de Z depende de ω, o resultado original do experimento.
Ou seja, Z = Z (ω) é uma função que associa um número real Z (ω) a todo
resultado ω ∈ Ω.
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Distribuição de funções de vetores aleatórios
É evidente que Z é uma variável aleatória.
Algumas importantes variáveis aleatórias que podemos ter interesse, são: X + Y ,
X − Y , XY , X /Y , mín(X , Y ) e máx(X , Y ).
RESUMINDO
(i) Executar o experimento e obter o resultado ω.
(ii) Calcular os números X (ω) e Y (ω).
(iii) Calcular o número Z = g [X (ω), Y (ω)].
O problema que resolvemos anteriormente para as variáveis unidimensionais,
surge novamente: dada a distribuição de probabilidade conjunta de (X , Y ), qual é
a distribuição de probabilidade de Z = g (X , Y )?
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CASO DISCRETO
Um método muito conveniente para o caso discreto, consiste em realizar
operações algébricas simples aplicando a definição da transformação
diretamente na função de distribuição ou de probabilidade.
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas com função de probabilidade
conjunta p(x , y ) e seja Z = g (X , Y ).
A variável Z também será discreta com valores no contra-domínio da função g.
Sua função de probabilidade é dada por:
Função de Probabilidade
X
pZ (z ) = P (Z = z ) = P (g (X , Y ) = z ) =
p(x , y ),
(x ,y )∈Az
em que Az = (x , y ) : g (x , y ) = z. Ou seja, para cada z fixo, a soma se dá em
todos os pares (x , y ) cuja aplicação da função g resulta no valor z.
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CASO DISCRETO
EXEMPLO 1
Duas linhas de produção fabricam um certo tipo de peça. Suponha que em
qualquer dia a capacidade seja 5 peças na linha I e 3 peças na linha II. Seja
(X , Y ) a variável aleatória bidimensional que fornece o número de peças
produzidas pela linha I e II, respectivamente.
As seguintes variáveis aleatórias poderão interessar à questão:
U = min(X , Y ) = menor número de peças produzidas pelas duas linhas;
V = max (X , Y ) = maior número de peças produzidas pelas duas linhas;
W = X + Y = número total de produzidas pelas duas linhas.
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CASO DISCRETO
EXEMPLO 2: A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada na tabela
abaixo
X /Y
0
1
0
1/4
1/4
1
1/8
0
2
1/ 8
1/ 4
Obtenha as distribuições de probabilidade das seguintes variáveis:
a)
b)
a)
a)
X +Y.
X −Y.
XY .
min(X , Y ).
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CASO DISCRETO
EXEMPLO 2:
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CASO DISCRETO
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CASO CONTÍNUO
Se (X , Y ) for uma variável aleatória bidimensional contínua e se Z = g (X , Y ) for
uma função contínua de (X , Y ), então Z será uma variável aleatória contínua
unidimensional.
A função Z = g (X , Y ) é uma variável aleatória definida no mesmo espaço
amostral.
A partir do conhecimento da função de distribuição de (X , Y ) ou da função de
densidade será possível obter a distribuição de g (X , Y ).
Vamos determinar a função de distribuição de Z , que denotaremos por FZ (z ).
Para um z fixo, o evento {Z ≤ z } é equivalente ao evento {(X , Y ) ∈ Az }. Em que
Az é o subconjunto de R2 definido por
Az = {(x , y ) : g (x , y ) ≤ z }.
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CASO CONTÍNUO
Vamos determinar a função de distribuição de Z .
Função de distribuição
FZ (z ) = P (Z ≤ z )
= P (g (X , Y ) ≤ z )
= P ((X , Y ) ∈ Az )
Z Z
=
f (x , y )dxdy
Az
Se pudermos obter uma função não-negativa g tal que
Z Z
Z
z
f (x , y )dxdy =
g (u )du ,
−∞ < z < ∞
−∞
Az
então g será uma densidade de Z .
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